第11章 塑性力学02-屈服条件、强化特性和加载法则

1、2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则第第11章章屈服条件、强化特性和加载法则屈服条件、强化特性和加载法则2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则本章讨论一般应力状态下的弹塑性变形规律。 应力分析、应变分析方面的一些基本事实 并引入应力偏量和应变偏量的概念，在此基础上再相继展开关于一般应力状态下的屈服条件和强化法则的探讨， 最后是有关Druker公设和加载法则的一些说明，所有这些都是建立三维弹塑性本构的必要准备。2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则FFo2.1 三维应力分析(应变分

2、析)的若干基本结论 一维状态：典型的低碳钢拉伸曲线。s2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则当应力s FFFF剪切带 45斜截面max2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则三维状态下 八面体与剪应力3122008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则 1.应力状态的表示。ij 2.斜面元上的应力。jijnijjnnn或321, nnnn其上的应力向量为3.坐标转换关系。为斜面元的外法向，3, 21,nnnn2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则2008

3、-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则12,3,4.ijikjlklTijijijijijijijijij 1232112233e e ee e e eeeeeeee直角系由向转换时，应力间服从以下转换规则：写成矩阵形式是：其中为方向余弦矩阵，即坐标转换中应力不变量。2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法

4、则ijijJJJ3331313113323232222121211331313113323232222121211233221133221112008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则最大剪应力。的三个根征方程是相应的特的解答，三个主应力值问题主应力和主方向是特征力状态的主方向）（应，交的方向一定能找到三个相互正的应力状态给出后，主应力和主方向。一点. 60. 532213321321JJJllllllij2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则31max21max213o应力摩尔圆。. 72008-90-302008-90

5、-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则 12,31231112233112233111221228.,1,2,39., ijijjiTijikjlklijijijiji j ,e e ee ,e e II应变状态的表示。取定直角系中可通过九个（六个）应变分量 （）表示出来（其中）坐标转换规则。直角系由向转换时应变分量的转换规则：或者坐标转换中应变张量有如下三个不变量22231113223331333 2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则ijijI3331313113323232222121211TxyzxyzzyxTxyzxyzzyx, , .11.

6、10状态记成一个列阵工程记号。将体元应力应力分析的结论。圆。此等概念均类似于摩尔变，最大剪应变，应变关于应变主方向、主应2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则其中，即克定律用工程记号表出比如弹性变形的广义胡,FeE e1121212111F1eeeFDD其中当然也可写成2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则:的分解看法下体元的应力状态采取如在塑性力学中常需要对2.2 应力偏量和应变偏量2.1.1 应力偏量的概念33221131 mijmmmij其中：s2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和

7、加载法则称为平均应力值，而m时时jijisijijmijij011122333311220,ssssss 分解式中的前一应力状态称为静水应力状态，后一应力状态称为偏量应力状态。偏量应力状态中恒有或者（）00000000000000 00000000023231313121222221111ssssssssssijs2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则应力偏量的第二不变量 2 . 2 . 2的几点简单结论注意：关于有三个不变量应力偏量在坐标转换时2323122321211333322221123322111)(0JJSSSSSSSSSJSSSJijSiji

8、jSSJ21 . 12223122321221133233222221126 61 . 2J2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则2ij221122331212111222 3. i,j1,2,312 3 3ijijJSJJSSJJ即：，塑性力学还定义了一个与有关的量称为应力状态的等效应力（或应力强度），它具有的应力量纲，是偏量作用的一个综合指标，而且不112233120 难验证，在简单拉伸情况下（即，时）有（ 为拉伸应力）2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则22232121133332222112233221131

9、31 2.2.3eeeeeeeeeeijmijijmijmmmij）（。记作应变偏量的第二不变量量张量，后一部分称为应变偏前一部分称为体变张量的三分之一，而应变，它相当于体应变）称为平均（其中以有类似的分解可理，对体元应变状态也参照应力状态的分解处变量应变偏量和它的第二不IIe2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则223122321221133233222221123 61 21 ijijee为拉伸应变）（时），有，压缩（即伸情况下，若材料不可单拉变强度），可以验证在状态的等效应变（或应称为应变有关的常用量是此处，一个与 02134231211332211

10、22II2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则有意义的结果，由于的变形比能也能给出很性材料表示来考察各向同性弹立足于胡克定律的分解式即将胡克定律表述如下表述，性定律（胡克定律）的用于各向同性材料的弹曾态的上述分解方法，也对于体元应力和应变状胡克定律的分解表示ijijmSGeK2131 4 . 2 . 2m2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则11 112222333311221111 222231 22 1 1 13ijijmijijmijijmmijijij ijmij ijmijijmmij ijKGijijij

11、ijUSeS eeSS eUUe 其中，11 1122 2233 3311223311112222333311223300ijijeeeeeeSSSSSSS2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则2311 22211 11 (2 )2222Km mmGij ijijijij ijUKUS eS SG e eG 可见变形比能也可分拆为两部分，其中2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则屈服条件和屈服面 1 . 3 . 22.3 屈服条件屈服条件 对于简单应力状态，我们可以根据实验很容易确定其屈服条件。（1）单轴拉伸 = s

12、（2）纯剪 = s 对于复杂应力加载，在应力空间中，屈服条件的数学表达式可概括为：f (ij) = 0 屈服条件的一般形式 f (1、2、3、1、2、3) = 02008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则从理论角度可对屈服条件的形式提出如下要求:（1）材料初始是各向同性的。与三个主应力值与主应力方向无关， F(I1 , I2 , I3)=0, F(I1 , J2 , J3)=0 （2）静水压力不影响塑性状态， F( J2 , J3)=0 Mises屈服条件（3）当应力状态退化为简单拉压时,上述形式应能和已知的一维屈服条件形式相符合。2008-90-302008

13、-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则 031033 0 191300 4222223sssijJJJMisesJFF或列如写成不同的形式，在应用中这一条件可以应力。是体元应力状态的等效这里它的形式是），屈服条件（服条件，即学中当前广泛使用的屈就得到了塑性力对屈服的影响不大，这如果进一步认为时在屈服面外。时在屈服面内，2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则。，柱面半径，向为通过应力原点，轴线方此柱面轴线屈服面是一个圆柱面，在主应力空间中，条件：改用主应力来表示这一前者展开之后则是ssszxyzxyxzzyyxMises32333333006212

14、13322123222122222222008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则p平面 屈服面oNPQ2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则213322123222122132232222122242222332maxmax0TrescaTresca31, 06927402 1864Tresca Tresca 3 . 3 . 2sssssssssijJJJJJ且条件相当于屈服空间中应力的时候。在主应力知最大主应力和最小主特别是在已应力空间中形式简单，屈服条件的优点是在主且，对屈服条件的一般要求看出这个形式也能符合一，容易小

15、主应力之差的二分之相当于最大主应力与最由于它的形式是），屈服条件（件另外一个著名的屈服条工程力学中有屈服条件关于2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则角柱面圆柱面的一个内接正六这一屈服面正好是Mises p平面 屈服面2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则例： 一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列三种情况： （1） 管的两端是自由的； （2） 管的两端是封闭的； 分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）解： 将Mises和Tresca中的材料

16、常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示， 并使得两种屈服条件重合，则有 Mises屈服条件: J2 = s2 Tresca屈服条件: 13=2s2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则 （1） 管的两端是自由的； 应力状态为，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t对于Mises屈服条件: p = 3st/R对于Tresca屈服条件: 13 =k1=2s p = 2st/R61222zrzr6131222 s2 =kJ2008-90-

17、302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则 （2）管段的两端是封闭的； 应力状态为，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t对于Mises屈服条件： p = 2st/R对于Tresca屈服条件： p = 2st/R61222zrzr23612008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则Taylor和Quinneyz实验1931年在薄壁圆筒受拉力F 和扭转M联合作用下进行了实验。在这种情况下，应力状态是zzFMhRM RhFZ22,2ppZ2

18、008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则条件较优。看，从实验点的分布情况它们分别是两条椭圆线或条件则表现为而或屈服条件退化为此时MisesTrescaMisessZszZsZszZ 144 133 ,222s22z222s22z2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则o20.40.60.20.40.60.80.0 . 1铝 铜 软钢 条件Mises条件TrescasZ/sz/2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则例11.2 一种材料在二维主应力空间中进行试验，所得屈服时的应力状态为(1，

19、2)=(3t，t)，假定此材料为各向同性，与静水压力无关且拉压屈服应力相等。 （1）由上述条件推断在12空间中的各屈服点应力。 （2）证明Mises屈服条件在12空间中的曲线通过（1）中所有点。解：由于静水压力无关的条件得出屈服在以下各点会发生：(1，2，3) = (3t，t，0)+ (3t，3t，3t)= (0，2t，3t) (1，2，3) = (3t，t，0)+ (t，t，t)= (2t，0，t)2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则再由于各向同性的条件，很容易看出11空间中的以下五个应力点也是屈服点A2： (1，2，3) = (t，3t，0)B1：

20、(1，2，3) = (3t，2t，0)B2： (1，2，3) = (2t，3t，0)C1： (1，2，3) = (2t，t，0)C2： (1，2，3) = (t，2t，0)2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则还有，由于拉压屈服应力相等，因而可得到12空间中的另外六个应力屈服点A3：(1，2，3) = (3t，t，0)A4：(1，2，3) = (t，3t，0)B3：(1，2，3) = (3t，2t，0)B4：(1，2，3) = (2t，3t，0)C3：(1，2，3) = (2t，t，0)C4：(1，2，3) = (t，2t，0)因此，根据这些点的数据，可以

21、作出在12空间中的屈服面。容易证明Mises屈服条件 通过以上所有屈服点。222122217t2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则0 1 . 4 . 2ijK，可以设想将它记作史有关，体元的前期塑性变形历后继屈服条件的形式与怎样的影响。屈服条件产生强化材料在后继受载时下，先期塑性应变会对三维应力条件变的现象。现在讨论在材料体元的屈服限的改成后继受载时料的先期塑性应变会造曾将这种性质归结为材拉压试验中具有一种性质，在简单应变强化是塑性材料所强化特性的表示2.4 两种强化模型2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则 pij

22、ijpijijpijpijpijspijpijpijspijcScScccKdcKMelan23000 ,0 1938, 2 . 4 . 2ijijijij继屈服面的平移量。屈服面到后即是应力空间中由初始则；屈服面时此式给出的即是初始容易看出，当。仍按取等效应力值理解因子，函数是待定的量纲调节）参数（即参数性变形情况的一个张量期塑应变值，是刻画体元先是体元的先期累积塑性，）式（强化特征）为（它给出的后继屈服条件定，元先期累积塑性应变决移动的大小和方向由体移动得出间中平行其初始屈服面在应力空材料的后继屈服面可由三维随动强化模型2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加

23、载法则hcdcdccSSSSScScScpspsspppppppppijijpijijpij3223,23023 0,21,0313223231233221123121133221111ij 的待定因子这说明应取三维模型中相当于随动强化规律相比较，它与第一章给出的一维一维情况将是可知此强化模型退化到，在简单拉压情况下有2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则到量纲调节因子的作用为塑性模量，在这里起参数形历史的应变值则是刻画先期变作为先期累积等效塑性效值，而表示塑性应变增量的等其中，）（强化特性）是（屈服条件式定，此模型给出的后继累积等效塑性应变值决料体元的先

24、期扩大，扩大的程度由材面在应力空间中的相似初始屈服材料的后继屈服面是其三维等向强化模型认为三维等向强化模型hKdddddhKOdqvistppijpijppsijij,021340, 1933, 3 . 4 . 22008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则00,21,0002312332211psppppppppppsijpdhddddddddddd到一维情况将是可知此种强化模型退化此时在简单拉压变形情况下径”的扩大程度。正好表示出屈服面“半，这个量在式中的地位必有而一旦发生塑性应变，始屈服面此式给出的即是体元初于过塑性应变的体元，由容易看出对于未曾经受200

25、8-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则 , psdhh强化规律相一致的，即的一维等向，这也是与第一章给出作鉴于量纲调节因子已取231初始屈服面2A0A1A）中（图两种屈服面的公共点。当时元当前应力点则始终是而体面也在相应地改变位置屈服应变的连续发展，两种塑性情况，在此过程中随着展的沿着一定的方向向前发状态图中表示的是体元应力 210,AAA2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则spZpZpZpZpijpijppsijspZdddddddhEE44. 13132 342134 0 A. 1 . 0,5 . 2 4 . 4 .

26、2按等向强化模型的计算）量（假定材料的弹塑性模后继拉伸的屈服应力值计一下材料的两种不同强化模型来估拉伸试验，以下分别按若此后对圆管再作余应变测得管中各处有均匀残后简单扭转，已知在卸载强化材料的薄圆管实施对线性计算举例2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则spZpZpZspijijssijsspEhccBEdhEEEEEh25. 121 074. 0320 %1616. 1 016. 1 16. 044. 1111. 0 111. 0当前是料体元的后继屈服条件采用随动强化规律，材按随动强化模型的计算出较初始拉伸屈服应力高后继拉伸屈服应力应为再做简单拉伸试验时

27、，服条件应是材料在扭转卸载后的屈当前有注意到材料的塑性模量2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则写成故后继屈服条件可具体又spZc0925. 0 2222220925.0621sZrzrrzzrsZrzrzs987. 00,0服应力值为伸屈带入上式，解得后继拉以2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则2.5 加载，Drucker公设与加载法则00002.5.1 ()0()0,()0(0)ijijijijijijijijijdffffdd加载，加载面在塑性力学中，加载、卸载用于指明体元应力状态已到达当前屈服面时，应力的进一

28、步发展（以表示）所对应的两种情况，若引起塑性应变，是为“加载”；若不引起塑性应变，是为“卸载”。对理想塑性材料（屈服面记作）若且即是为加载（出现塑性应变）2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则000000000()0,()0(0) 0()0,()0(0)()0,()0(0)ijijijijijijijijijijijijijijijijijijijfffdddddd若且即是为卸载（不出现塑性应变）对塑性强化材料（当前屈服面记作）若且即是为加载（出现塑性应变）若且即是为卸载（不出现塑性应变）2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和

29、加载法则系的最后准备。增量本构关推论完成了表述弹塑性即加载法则，正是这一重要推论，载时的塑性应变方向的此公设可以得出关于加公设，由提供的，称为本的准则是由非常基载时的变形行为的一个关于材料体元在经受加形规律的探究上。加载时的变研究实际上将归结到对体元弹塑性变形规律的，于是看到造成塑性应变是显然的时的微小变动，它不致到达加载面至于体元应力状态在未有时也称“加载面”。屈服面法的缘故，体元的当前又应为有此种约定的说Drucker51)Drucker(19 2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则)(0 Drucker )( ,72Drucker Drucker 2

30、.5.20ijijijijijijijijijijijijijijdWdWd对任意的初始应力，即有必定是一个非负的功量如何，此附加应力功量在加载面内的位置力态公设认为，不论初始应积分沿过程路径计算中的功能可表示为此附加应力在整个循环附加应力）。（参看图后再返回到出发点载”并实施“加到达加载面上的指定点应力先向加载面发展，开始，力点环从加载面以内任意应部分所完成的功量：循力力循环时体元上附加应考察体元在经受如下应公设2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则在。了类似后一种情况的存正是从一般意义上否定公设为符合实际现象，可以认值面积，后一种情况不出一个负相应的路

31、径积分必然算中的、将成为负，循环路径体元的塑性应变增量为如果想像在拉伸加载中量，显然有计算附加应力的功依图中路径拉伸加载的应力循环，包括性强化材料示出了一个中对理想塑性材料和塑、分明显的。图维应力情况来观察是十这一论断的合理性从一力力循环时体元上附加应考察体元在经受如下应公设Drucker,620 62Drucker Drucker 2.5.2DCBAdcdWABCDba2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则soBCADsoBCAD0pdsoBCAD0pdsoBCAD a b c d62图2008-90-302008-90-30第二章 屈服条件、强化特性和加载法则，则