第03章_轴向拉压变形_张1_

1、1.1.材料的强度指标：材料的强度指标：s或或0.2 塑性材料塑性材料b 脆性材料脆性材料3.3.拉压杆强度条件：拉压杆强度条件：maxmaxAN 复习：复习：2.2.材料的材料的塑性塑性指标：指标：第4讲Tensile or Compressive Deformation 材料力学解决：强度、刚度、稳定性。材料力学解决：强度、刚度、稳定性。 刚度刚度变形。变形。一、轴向拉压变形一、轴向拉压变形.刚度条件：刚度条件： 实际变形或位移实际变形或位移允许变形或位移允许变形或位移、拉压杆变形与叠加原理、拉压杆变形与叠加原理虎克定律：当虎克定律：当p EA抗拉刚度抗拉刚度EANll blb1 l1PP

2、1）轴向变形与虎克定律）轴向变形与虎克定律 E绝对变形绝对变形: l = l1l，ll 应变定义：应变定义：llEAN 虎克定律另一种形式虎克定律另一种形式 2)横向变形与泊松比横向变形与泊松比 当当 p 泊松比泊松比Poisson ratio = 0 0.5常数常数 blb1 l1PP横向线应变：横向线应变：bbbbb 1横向线应变横向线应变与与轴向应变轴向应变异号。异号。 Foam structures with a negative Poissons ratio, Science, 235 1038-1040 (1987). Simon Denis Poisson Poissons ra

3、tio （1829）蜂窝蜂窝结构为负结构为负泊松比泊松比横向线应变横向线应变与与轴向应变轴向应变同号。同号。例外越拉越粗越拉越粗!3 ）多杆变形与叠加原理）多杆变形与叠加原理 变形分段均匀时：变形分段均匀时： 变形非均匀时：变形非均匀时：l =lN(x)E A(x)dx iiiiiAElNll例小锥度变截面杆例小锥度变截面杆 dx =NEAdxl =lNEAdx例例1.已知圆杆已知圆杆d=5mm， E=200GPa，求，求 A。解：解：1）做轴力图）做轴力图+-1kN2kNN21llA 5030P1=2kNP2=3kNA12mmEAlNl024. 0101 . 25010245531112 m

4、mEAlNl00728. 0101 . 23010145532222 mmllA0167. 000728. 0024. 021 注意：求位移时注意：求位移时 为代数和！为代数和！APBC 30ml15. 11 ml12 mma170 mmd341 例例2. E1=210GPa， E2=10GPa， P=40kN，求，求 B 。解：解：1）求内力）求内力yPN1N2xB 30kNPN8021 kNCOSNN3 .693012 2）求各杆变形）求各杆变形mmEAlNl48. 0101 . 21015. 110804345331112 mmEAlNl24. 0170101 . 0101103 .69

5、2533222 切线代替圆弧！切线代替圆弧！3）求总变形）求总变形mm.lxB2402 ByAPBC 301l2l2l 1l BxBymm.yxBBB397122 步步骤骤1 拆开结点，分别求各杆变形。拆开结点，分别求各杆变形。2 变形后两杆应相交（画圆）。变形后两杆应相交（画圆）。3 小变形时，小变形时，切线切线代替代替圆弧圆弧。注意：变形与受力相应：拉力-伸长；压力-缩短如何计算位移？如何计算位移？寻找简便方法！寻找简便方法！301sinl302tgl301sinlmmtgl3761302.例例3 AB为刚性梁，为刚性梁， CD为刚杆。知为刚杆。知CD杆杆E、A， a 求求A点位移。点位移

6、。解：解：1）求内力）求内力（压力）（压力） 4 0PNMCDB 2）求）求CD杆变形杆变形（缩短）（缩短）EAPaEACOSPaEAlNlCDCDCD38304 ABDaa 30CPANCD 30CaaBP注意小变形概念：注意小变形概念：切线切线代代圆弧！圆弧！3）求）求A点位移点位移fAEAPalsinlyycA33243022 0 Axv画变形图：画变形图：BDCAaa 30Pl AyCCy例例4 ABCD为刚性块，为刚性块， EA已知，已知，A点受点受P力，求力，求 A。BP2aaN解：解：1）求内力）求内力PNMB2 01 2）求）求杆变形杆变形BDCA2aaaP（伸长）（伸长）EA

7、PaEAlNl2111 3）求）求 A1l AyAAEAPAly 4210 Ax判断图示结构变形后节点判断图示结构变形后节点A的位置的位置A哪一个正确哪一个正确 ？ 二、拉二、拉压静不定问题压静不定问题 1. 静定静不定概念静定静不定概念 1）静定问题）静定问题仅用静力平衡方程就能求出仅用静力平衡方程就能求出全部未知力。全部未知力。 实质：未知力的数目实质：未知力的数目等于等于静力平衡方程的数目。静力平衡方程的数目。 2）静不定问题）静不定问题仅用静力平衡方程不能求仅用静力平衡方程不能求出全部未知力。又称超静定问题。出全部未知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目实质：未知力的数目多于多于静

8、力平衡方程的数目。静力平衡方程的数目。 二二. 静不定问题的解法：静不定问题的解法： 1. 判断静不定次数：判断静不定次数： 方法方法1: 未知力数目平衡方程数目未知力数目平衡方程数目 方法方法2：多余未知力数目多余未知力数目 2. 列平衡方程列平衡方程 3. 列几何方程：列几何方程：反映各杆变形之间的反映各杆变形之间的 关系，需要具体问题具体分析。关系，需要具体问题具体分析。 4. 列物理方程列物理方程：变形与力的关系。：变形与力的关系。 5. 列补充方程列补充方程：物理方程代入几何方：物理方程代入几何方 程即得。程即得。 例题例题1 1 已知：已知：E E1 1A A1 1=E=E2 2A

9、 A2 2 ，E E3 3A A3 3, , l1 1= =l2 2 ，l3 3 求：各杆轴力求：各杆轴力yxPN3N2N1PE3A3 l3E2A2 l2= E1A1 l1E1A1 1 l1 1ABCD 解：解：1.1.判断判断：一次静不定。：一次静不定。2.列平衡方程列平衡方程PyxN3N2N1Y=0, N3N1cos N2cos P = 0 N1 = N2 X=0, N1sinN2sin=0P(3) cos321 lllE1A1 l1E2A2 l2=E1A1 l1E3A3 3 l3 3ABCD l1 1 l3 l2 2A (4) ,33333211111AElNllAElNl 4.4.列物

10、理方程列物理方程（4）代入（）代入（3）5. 列补充方程列补充方程(5) cos333322221111 AElNAElNAElN 23cos21333111lAElAEPN coscos211133321lAElAEPNNPABCD N1 = N2 （N1N2）cos N3 P = 0 cos333322221111AElNAElNAElN静不定结构特点（静不定结构特点（1）内力按刚度比分配内力按刚度比分配。 23cos21333111lAElAEPN coscos211133321lAElAEPNNABCDPABDP（静定结构呢？）刚度比越大，受力越大！ 能者多劳！注意事项：注意事项：变形

11、与受力协调变形与受力协调 内力假设与变形假设应一致内力假设与变形假设应一致。变形伸长拉力，背离节点；变形缩短压力，指向节点。窍门作业：3.1-5，3.1-7，3.3-2，3.4-4EANll 1. 拉压变形当 p第5讲切线代替圆弧！切线代替圆弧！APBC 301l2l2l 1l BxBy如何计算位移？如何计算位移？寻找简便方法！寻找简便方法！切线切线代替代替圆狐，圆狐，这样可使计这样可使计算简化，又能满足精度要算简化，又能满足精度要求。求。切线代替圆弧！切线代替圆弧！APBC 301l2l2l 1l BxBy如何计算位移？如何计算位移？寻找简便方法！寻找简便方法！ 小变形情况下，计算节点位移可

12、以用切线代替圆弧线，这样可使计算简化，又能满足精度要求。思考：思考：受力图与变形图的协调受力图与变形图的协调BCDN1N3N2N1N3N2Al3l1l2A变形伸长变形伸长拉力，背离节点；拉力，背离节点；变形缩短变形缩短压力，指向节点。压力，指向节点。例例1、共线力系、共线力系: 求支反力求支反力NANB几何几何方程：方程：l1= l2平衡方程：平衡方程：NA+ NB=PABl1l2A1A2P物理方程：物理方程： ,22221111AElNlAElNlBA 方法方法1：设：设1杆受拉伸长，杆受拉伸长，2杆受压缩短杆受压缩短l1= l2方法方法2：两杆均设为拉力伸长，总变形为：两杆均设为拉力伸长，

13、总变形为0。NANBABl1l2A1A2Pl1+ l2几何方程：几何方程：l1+ l2 =0平衡方程：平衡方程：NA- NB=P物理方程：物理方程： ,22221111AElNlAElNlBA 思考：求支反力思考：求支反力杆各段内力均设为拉力，总变形为杆各段内力均设为拉力，总变形为0。简单方法：简单方法： 04321 lllllANN 1PNNA 2PNNA 3PPPNNA324 EAlNliii NBP2P3PANANAN2P例例2、平行力系、平行力系: 求各杆内力。求各杆内力。已知：已知：AB为刚性梁，两杆为刚性梁，两杆A=1000mm2，P=50kNl2l1几何：几何：l2=2l1物理方

14、程：物理方程： ,2222211111AElNlAElNl 32 21PaaNaN 平衡：平衡： 0 AM ,602 ,3053121kNNNkNPN APaaalB1 N2 N例例3、汇交力系、汇交力系:l1l23030PAl已知：已知： A1、 A2、 A3，P，求，求Nil3几何方程：几何方程： 301sin lN2N1N3AP平衡方程：平衡方程：0N30cos)N(N , 0X231 0P30sin)N(N , 0y31 物理方程：物理方程： AElNliiiii 2313 lll CDE30A3030AD-AE=2CD 303sin l 3022tgl PAa2aaa例例4、平面一般

15、力系、平面一般力系已知各杆已知各杆EA相等，求杆内力。相等，求杆内力。几何方程：几何方程：212 ll PN1N2A PaaNaN 2221 平衡：平衡： 0 AM 物理方程：物理方程： EAaNl ,EAaNl2211 l2l1545221PN ,PN BCDABDAAl123BCD已知：已知：三杆三杆EA相同，相同，1杆制造杆制造误差误差，求装配，求装配内力内力l1l2一次静不定一次静不定问题问题平衡方程：内力不可任意假设。平衡方程：内力不可任意假设。l1l2 / cos = 物理方程物理方程 ？虎克定律！？虎克定律！几何方程：几何方程：解题思路：解题思路：因制造误差，因制造误差，装配时各

16、杆必须变形，装配时各杆必须变形，因此产生装配内力。因此产生装配内力。1杆伸长，只能是拉力杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短杆缩短 , 应为压力。应为压力。AN1N2N3装配应力是不容忽视的，如：装配应力是不容忽视的，如： /l=0.001, E=200GPa, =30 1 =113 MPa ，2 =3 = 65.2 MPa AN1N2N3l1Al123BCDl22. 2. 装配应力装配应力例：已知杆件抗拉刚度例：已知杆件抗拉刚度EAEA，求，求N1N1、N2N2。12Pl1l2几何方程：几何方程： l 1- l 2= 平衡方程：平衡方程： N1+N2=P物性方程：物性方程： , ,222111E

17、ALNlEALNl21122121LLEAPLNLLEAPLN ,12P l1 l2N1N2DBCAT CABDT C3. 温度应力温度应力 定义：由于温度改变引起的结构内的应力。定义：由于温度改变引起的结构内的应力。 静定杆系特点：无多余约束，可自由变形。静定杆系特点：无多余约束，可自由变形。 温度引起变形：温度引起变形：ll t l t= l t= l（t2-t1） 超静定杆系特点：有多余约束，不允许自超静定杆系特点：有多余约束，不允许自由变形，按超静定问题求解。由变形，按超静定问题求解。例例: : 直杆直杆ABAB的两端分别与刚性支承连结。设杆长的两端分别与刚性支承连结。设杆长l l，杆

18、面积杆面积A A，材料的弹性模量材料的弹性模量E E，线膨胀系数线膨胀系数 ，试求试求温度升高温度升高 t t 时杆内的温度应力。时杆内的温度应力。lABll tABllNNANB几何方程：几何方程： l t= lNEANLlN tllttEAN平衡方程：平衡方程： NA=NB物性方程：物性方程：解出：解出：温度应力：温度应力：tEAN温度引起伸长温度引起伸长内力引起缩短内力引起缩短TEANC/1102 . 15MPa102103EC40tMPa1004010210102 . 135tE（压应力）（压应力）若此杆为钢杆，则当温度升高若此杆为钢杆，则当温度升高40o时时lABaa aaFN1FN

19、2解：解：02N1NFFFy0NFTLLL 阶梯钢杆上下两段在阶梯钢杆上下两段在T1=5被固定被固定,上下上下两段面积为两段面积为 = cm2 ， =cm2，当温度，当温度升至升至T2 = 25时时,求各杆的温度应力。已知，求各杆的温度应力。已知，弹性模量弹性模量E=200GPa，线膨胀系数为，线膨胀系数为C1105 .126 拉压杆超静定问题拉压杆超静定问题 kN3 .332N1N FF由变形和本构方程消除位移未知量22N11NN ; 2EAaFEAaFLTaLFT22N11N2EAFEAFT MPa7 .6611N1AF MPa3 .3322N2AF拉压杆超静定问题拉压杆超静定问题总结与思考DBCAP仅用静力平衡方程不能全部求解仅用静力平衡方程不能全部求解1. 静不定问题：静不定问题：原因：原因：未知量数目多于有效未知量数目多于有效 平衡方程数目平衡方程数目2. 解法：解法：关键：关键：建立几何方程建立几何方程建立物理方程建立物理方程从而可得补充方程从而可得补充方程3. 特点特点 （1）内力按刚度比分配）内力按刚度比分配 （2）装配应力）装