第02章 平面问题的基本理论_all

1、第二章第二章平面问题的基本理论平面问题的基本理论本章将系统地平面问题的基本理论基本方程和边本章将系统地平面问题的基本理论基本方程和边界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内容如下：容如下：1 1、两类平面问题的定义；、两类平面问题的定义；2 2、关于一点应力状态的分析；、关于一点应力状态的分析； 3 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理方程；方程；4 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及

2、、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及圣维南原理的应用；圣维南原理的应用；5 5、按位移求解方法和按应力求解方法；、按位移求解方法和按应力求解方法；本章学习指南本章学习指南为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求做到：要求做到：1 1、清楚地了解上述有关问题的提出与分析的、清楚地了解上述有关问题的提出与分析的方法；方法；2 2、自己动手推导公式，以加深理解；、自己动手推导公式，以加深理解；3 3、及时对内容进行总结，掌握其要点；、及时对内容进行总结，掌握其要点；本章学习指南本章学习指南q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平

3、面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.1 2.1 平面应力与平面应变问题平面应力与平面应变问题 任何一个弹性体是空间物体，外力为空间力系。实际的任何一个弹性体是空间物体，外力

4、为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间问题。弹性力学问题都是空间问题。空间问题的简化与近似：当弹性体具有特殊形状、承受特空间问题的简化与近似：当弹性体具有特殊形状、承受特殊的外力与约束时，可进行简化，使得分析与计算工作量大殊的外力与约束时，可进行简化，使得分析与计算工作量大大减少，所得结果仍然可以满足工程精度要求。大减少，所得结果仍然可以满足工程精度要求。平面问题平面问题哪些问题可简化为平面问题？哪些问题可简化为平面问题？1 1、平面应力问题、平面应力问题平面应力问题条件：平面应力问题条件：很薄的等厚度薄板，厚度很薄的等厚度薄板，厚度为为h远远小于结构另外两个方远远小于结构另外两个方向的尺度。

5、其所受体力、面力向的尺度。其所受体力、面力和约束均平行于板面，即只是和约束均平行于板面，即只是Oxy面内的量，并沿厚度方向面内的量，并沿厚度方向不变。薄板的两个表面不受任不变。薄板的两个表面不受任何外力和约束的作用。何外力和约束的作用。1 1、平面应力问题、平面应力问题 构件几何特征：构件几何特征：很薄的等厚度薄板。很薄的等厚度薄板。厚度为厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面。薄板的中面为平面。 表面面力边界条件：表面面力边界条件：表面不受外力作用表面不受外力作用外力与约束：外力与约束：其所受体力、面力和约其所受体力、面力和约束均平行于中面束均

6、平行于中面Oxy面内，并沿厚度方面内，并沿厚度方向向Oz不变。而且薄板的两个表面不受外不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。因此应力沿厚度方向不变。力作用。因此应力沿厚度方向不变。因此只剩下因此只剩下Oxy面内的三个应力分量面内的三个应力分量，且只是坐标，且只是坐标x, y的函的函数，沿厚度方向数，沿厚度方向Oz不变，即不变，即 应力分量分布特点：应力分量分布特点：由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，同时应力沿厚度还是连续分布的，因此应力分量也沿厚度均匀同时应力沿厚度还是连续分布的，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以板中各点均有：分布，所以板中各点均有：1 1、平面

7、应力问题、平面应力问题应变分量分布特点：应变分量分布特点：应变分量也只是坐标应变分量也只是坐标x, y的函数，沿厚度的函数，沿厚度方向方向Oz不变。且不变。且g gzx= =g gzy=0=0，但但e ez00，这表明薄板变形时，两底面这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。但是由于平板很薄，这种畸变也是很小的。将发生畸变。但是由于平板很薄，这种畸变也是很小的。1 1、平面应力问题、平面应力问题平面应力问题小结平面应力问题小结：1 1、平面应力问题，就是只有平面应力分量、平面应力问题，就是只有平面应力分量（s sx，s sy和和t txy）存在，且仅为）存在，且仅为x、y的函数的弹性的函数的弹性力

8、学问题。力学问题。2 2、厚度较薄的浅梁和深梁、受上部荷载及、厚度较薄的浅梁和深梁、受上部荷载及自重的墙、平板坝的平板支墩等，都属于平面应自重的墙、平板坝的平板支墩等，都属于平面应力问题。力问题。2 2、平面应变问题、平面应变问题平面应变问题条件：平面应变问题条件：弹性体为等截面的很长柱弹性体为等截面的很长柱体，体力、面力和约束条件均体，体力、面力和约束条件均平行于横截面且不沿长度方向平行于横截面且不沿长度方向变化，即只有变化，即只有Oxy平面内的体平面内的体力、面力和约束，且沿力、面力和约束，且沿z方向不方向不变化。变化。2 2、平面应变问题、平面应变问题 构件几何特征：构件几何特征：具有很

9、长纵向具有很长纵向轴的柱形体，横截面大小和形状沿轴的柱形体，横截面大小和形状沿轴线长度不变轴线长度不变 位移失量分布特点：位移失量分布特点：只沿只沿x和和y方向移动，沿轴线方向方向移动，沿轴线方向位移为位移为0 0，即，即u=u(x,y)v=v (x,y) w=0外力与约束：外力与约束：体力、面力和约束体力、面力和约束与纵向轴垂直，即平行于横截面，与纵向轴垂直，即平行于横截面，并且沿长度不变；柱体的两端受固并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束；定约束；2 2、平面应变问题、平面应变问题应变分量分布特点：应变分量分布特点：应变分量为坐标应变分量为坐标x, y的函数，沿的函数，沿z方向为方向为0

10、0，即，即e ez= =g gxz= =g gyz=0=0，只剩下只剩下oxy平面内的三个应平面内的三个应变分量。变分量。应力分量分布特点：应力分量分布特点：应力分量也是坐标应力分量也是坐标x, y的函数，的函数，沿沿z方向的切应力为方向的切应力为0 0，即，即t txz= =t tyz=0=0。由于沿由于沿z方向的伸缩方向的伸缩要受到约束，故要受到约束，故s sz00。2 2、平面应变问题、平面应变问题平面应变问题小结平面应变问题小结：1 1、平面应变问题，就是只有平面应变分量、平面应变问题，就是只有平面应变分量（e ex，e ey和和g gxy）存在，且仅为）存在，且仅为x、y的函数的弹性

11、的函数的弹性力学问题。力学问题。2 2、挡土墙、很长的管道和隧洞问题，尽管、挡土墙、很长的管道和隧洞问题，尽管不是无限长，但对于离开两端较远处，可按平面不是无限长，但对于离开两端较远处，可按平面应变问题来分析计算，结果在工程上是可用的。应变问题来分析计算，结果在工程上是可用的。平面问题的总结平面问题的总结名称名称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量应力应力s sx、s sy、t txys sz= t txz = t tyz = 0s sx、s sy、t txys sz 0 t txz = t tyz =0应变应变e ex、e ey、g

12、 gxye ez 0 g gxz = g gyz = 0e ex、e ey、g gxye ez = g gxz = g gyz = 0位移位移u、vw 0u、vw= 0外力外力体力、面力和约束作用于体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿板厚均布面内，且沿板厚均布体力、面力和约束作用于体力、面力和约束作用于oxy面内，且沿面内，且沿z轴不变轴不变形状形状等厚度薄板等厚度薄板等截面长柱体等截面长柱体平面问题的总结平面问题的总结平面问题特点：平面问题特点：1 1、基本未知量为、基本未知量为8 8个，均为平面（个，均为平面（oxy面）内的面）内的物理量；物理量；2 2、所有未知量仅是、所有未知量仅是x

13、和和y两个变量的函数；两个变量的函数；3 3、相对于空间问题，其基本物理量、基本方程、相对于空间问题，其基本物理量、基本方程均减少，使得它比一般空间问题简单得多；均减少，使得它比一般空间问题简单得多； 4 4、主要有两类：平面应力、平面应变、主要有两类：平面应力、平面应变例例 题题例例1 1：（本章习题：（本章习题2 21 1）如果某一问题中，如果某一问题中，s szt tzxt tzy=0，只存在平面应，只存在平面应力分量力分量s sx，s sy和和t txy ，且它们不沿，且它们不沿z方向变化，仅为方向变化，仅为x、y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？的函数，试考虑此问题是否就是平

14、面应力问题？例例2 2：（本章习题：（本章习题2 23 3）如图如图211，试分析说明，在不受任何面力作用，试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平的空间体表面附近的薄层中，其应力状态接近于平面应力的情况。面应力的情况。例例 题题例例3、如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则、如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？是平面应力问题，还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题薄板弯曲问题薄板弯曲问题平面应变问题平面应变问题空间问题空间问题空间问题空间问题q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问

15、题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.2 2.2 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程 平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题

16、的静力学条件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力分量与体力分量之间的关系。分量与体力分量之间的关系。如图，在弹性体内任一点如图，在弹性体内任一点取一微小的正平行六面体，其取一微小的正平行六面体，其x、y方向的尺寸分别为方向的尺寸分别为dx、dy，为计算方便，设它在为计算方便，设它在z方向方向的尺寸为单位长度的尺寸为单位长度1 1。平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程由于六面体是微小的，各面上的应力可认为由于六面体是微小的，各面上的应力可认为是均匀分布，且作用于对应面的中心。是均匀分布，且作用于对应面的中心。同理，六面体所受的

17、体力也可以认为是均匀同理，六面体所受的体力也可以认为是均匀分布，且作用于它的体积的中心。分布，且作用于它的体积的中心。一般而论，应力分量是变量一般而论，应力分量是变量x和和y的函数，作用于左右两对面或的函数，作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全上下两对面的应力分量不完全相同，具有微小的差量。相同，具有微小的差量。平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程2 2、由通过中心由通过中心C C点并平行于点并平行于z轴轴的直线为转轴，列出力矩的平衡的直线为转轴，列出力矩的平衡条件，并利用小变形假设，可推条件，并利用小变形假设，可推导出导出“切应力互等定理切应力互等定理”，即，即t txy=

18、=t tyx3 3、由由x轴和轴和y轴两个方向的平面轴两个方向的平面力系的平衡条件，可推导出力系的平衡条件，可推导出“平平衡微分方程衡微分方程”，即，即0000yxyyxyxxyxfxyfyxFFtsts1 1、利用连续性假设，根据利用连续性假设，根据Taylor级数展开式，略去高级数展开式，略去高价项，可求出各面上的应力价项，可求出各面上的应力分量。分量。平衡微分方程：注意事项平衡微分方程：注意事项 列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力；和体积，才能得到合力； 应用了两个基本假设：连续性假设（应用了两个基本假设：连续性假

19、设（不同面间应力不同面间应力分量采用泰勒级数展开分量采用泰勒级数展开）和小变形假设（）和小变形假设（受力变形前后受力变形前后微分体尺寸不变微分体尺寸不变），这也是其适用的条件。），这也是其适用的条件。 平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第一式平衡微分方程中各个量的量纲都相同，其中第一式的各项为的各项为x方向的力，第二项为方向的力，第二项为y方向的力；方向的力；平衡微分方程：注意事项平衡微分方程：注意事项 平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同同( (平面应变问题中的正应力平面应变问题中的正应力s sz不影响方程的推导不影响方程的推导) ) 平

20、面问题的平衡微分方程有平面问题的平衡微分方程有2 2个方程，但包含有个方程，但包含有3 3个未知函数，只根据静力学条件无法定解，即是超静个未知函数，只根据静力学条件无法定解，即是超静定的。要想定解，还必须考虑几何学和物理学方面的定的。要想定解，还必须考虑几何学和物理学方面的条件。条件。 平衡微分方程表示了平面区域内任意点的微分单平衡微分方程表示了平面区域内任意点的微分单元体的平衡条件，必然保证任一有限大部分和整个区元体的平衡条件，必然保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的，因而所考虑的静力学条件是严域是满足平衡条件的，因而所考虑的静力学条件是严格和精确的；格和精确的；例题例题例例2.2.

21、12.2.1：如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为如图所示单位宽度薄板悬梁，跨度为l，其其上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据上表面承受三角形分布载荷作用，体力不计。试根据材料力学中的应力表达式，由平衡微分材料力学中的应力表达式，由平衡微分方程导出另两个应力分量。方程导出另两个应力分量。yxlhq330 x2s例题例题0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhqtst解解：（：（1 1）将将s sx代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式02330 xyxxxfyxyxlhqtss)()(2330 xgyxfxylhqys)(32230 xfyxlhqxyt （2 2）将将t t

22、xy代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.3 2.3 平面问题中一点

23、应力状态分析平面问题中一点应力状态分析应力是与作用面有关的。应力是与作用面有关的。 s sx，s sy和和t txy作为基本未知函作为基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的应力分量（数，只是表示一点的坐标平面上的应力分量（左图左图）。而）。而校核强度时需要知道过此点的任意斜面上的应力校核强度时需要知道过此点的任意斜面上的应力p。而斜。而斜面上的全应力又可以按坐标轴分解为（面上的全应力又可以按坐标轴分解为（px, ,py），也可沿），也可沿法向和切向分解为正应力法向和切向分解为正应力s sn和和切应力和和切应力t tn（右图右图）。）。2.3 2.3 平面问题中一点应力状态分析平面问题中一点应

24、力状态分析1：求经过该点、平行于求经过该点、平行于z轴而斜交于轴而斜交于x轴和轴和y轴的任何斜面轴的任何斜面上的上的应力应力p？ 2：求经过该点、平行于求经过该点、平行于z轴而斜交于轴而斜交于x轴和轴和y轴的任何斜面轴的任何斜面上的上的正应力正应力s sn和和切应力切应力t tn ？ 3：若经过该点的某一斜面上的切应力为若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜面上，求此斜面上的的主应力主应力s s和和应力主方向应力主方向a a ？4：求经过该点的求经过该点的正应力正应力s sn和和切应力切应力t tn 的最大和最小值的最大和最小值？ 一点应力状态分析就是求解上述有关应力分一点应力状态分析就是

25、求解上述有关应力分量，具体为：已知任一点处坐标面上的应力分量量，具体为：已知任一点处坐标面上的应力分量s sx，s sy和和t txy，求解如下四个问题：求解如下四个问题：过一点任意斜面的全应力过一点任意斜面的全应力问题问题1 1：已知任一点处坐标面上的应力分量：已知任一点处坐标面上的应力分量s sx，s sy和和t txy，求经过该点、平行于求经过该点、平行于z轴而斜交于轴而斜交于x轴和轴和y轴的任何斜面上的轴的任何斜面上的应力应力p？取如图所示的微分三角板或三取如图所示的微分三角板或三棱柱棱柱PAB，当平面当平面AB无限接近于无限接近于P点时，该平面上的应力即为所求。点时，该平面上的应力即

26、为所求。根据该微分单元的力系平衡条根据该微分单元的力系平衡条件，在件，在x和和y轴方向上合力为轴方向上合力为0，从，从而有：而有：mlpmlpFFyxyyxyxxyxstts00过一点任意斜面的正应力与切应力过一点任意斜面的正应力与切应力问题问题2 2：求经过该点、平行于：求经过该点、平行于z轴而斜交于轴而斜交于x轴和轴和y轴的任轴的任何斜面上的正应力和切应力？何斜面上的正应力和切应力？平面平面AB上的上的正应力正应力s sn即为上即为上面所求的全应力面所求的全应力p向法线方向向法线方向n的投影：的投影：平面平面AB上的上的切应力切应力t tn即为上即为上面所求的全应力面所求的全应力P向切线方

27、向的向切线方向的投影：投影：yxnmplp syxnlpmp t222nyxnppst或或过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向问题问题3 3：若经过该点的某一斜面上的切应力为：若经过该点的某一斜面上的切应力为0 0，求此斜，求此斜面上的主应力面上的主应力s s和应力主方向和应力主方向a a ？设如图所示的斜面上切应力设如图所示的斜面上切应力为为0 0，则，则该面上的全应力等于正该面上的全应力等于正应力，也等于主应力应力，也等于主应力，于是有，于是有mmpllpnynxssss又由于有又由于有mlpmlpyxyyxyxxstts过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面

28、的主应力与主方向从而有关于方向余弦从而有关于方向余弦l, ,m的线性方程组：的线性方程组：0)(0)(mlmlyxyxyxssttss有有yxyxyxlmssttss0212IIss221xyyxyxIItssss展开得平面问题的主应力特征方程：展开得平面问题的主应力特征方程：由求根公式有：由求根公式有：2222112 , 1)2(224xyyxyxIIItsssss过一点任意斜面的主应力与主方向过一点任意斜面的主应力与主方向下面求应力主方向。下面求应力主方向。xyxlmtssa1111tan将所求主应力将所求主应力s s2代入第二个方程：代入第二个方程：yxylmssta2222tan0)(

29、0)(mlmlyxyxyxssttss两个应力主方向是相互垂直的两个应力主方向是相互垂直的将所求主应力将所求主应力s s1代入第一个方程：代入第一个方程：过一点任意斜面的应力极值过一点任意斜面的应力极值问题问题4 4、已知任一点处两个主应力、已知任一点处两个主应力s s1和和s s2，及其应力主，及其应力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值。方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值。 为了分析简便，选取为了分析简便，选取x轴和轴和y轴分别与两个应力主方向轴分别与两个应力主方向一致，则该点的应力分量为一致，则该点的应力分量为 s sx= =s s1， s sy= =s s2

30、 ， t txy= =0 先求正应力的极值。先求正应力的极值。 上式代入正应力公式（上式代入正应力公式（2 24 4），并利用两个方向余弦），并利用两个方向余弦平方和为平方和为1，得，得 s sn= =(s s1- -s s2)l2+ s s2 由此可知，两个主应力就是正应力的最大和最小值。由此可知，两个主应力就是正应力的最大和最小值。过一点任意斜面的应力极值过一点任意斜面的应力极值 再求切应力的极值。再求切应力的极值。 将将s sx= =s s1，s sy= =s s2 ，t txy= =0代入切应力公式（代入切应力公式（2 25 5），并利），并利用两个方向余弦的平方和为用两个方向余弦的平

31、方和为1 1，得，得 由此可知，当由此可知，当 l2=0.5 ，s s1s s2 时，切应力的最大和最小时，切应力的最大和最小值如下，其作用平面的法线方向与值如下，其作用平面的法线方向与x轴和轴和y轴成轴成4545角：角：221212)21(41)()(llmnsssst2)()(21sst极值n一点应力状态分析一点应力状态分析_ _总结总结已知任一点处坐标面上的应力分量已知任一点处坐标面上的应力分量s sx，s sy和和t txy，可求解如下四个问题：可求解如下四个问题：1：任何斜面上的应力：任何斜面上的应力p ：mlpmlpyxyyxyxxstts,2：任何斜面上的正应力：任何斜面上的正应

32、力s sn和切应力和切应力t tn ： xyxyyxnxyyxyxnmllmlpmplmmlmplptssttsss)()(22222一点应力状态分析一点应力状态分析_ _总结总结4：经过该点的正应力：经过该点的正应力s sn和切应力和切应力t tn 的最大和最小值：的最大和最小值： 3：主应力：主应力s s和应力主方向和应力主方向a a ：yxyxyxxyyxyxsstatssatsssss2211222 , 1tan,tan)2(22)(,2)()(,)(212121sssstsss极值n极值n例题例题例例2.3.12.3.1：在负载结构中，某点：在负载结构中，某点O处的等厚平行四面体各面

33、处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（的受力情况如图所示（平面应力状态）。试求（1）主应）主应力的大小及方向（力的大小及方向（2）沿与水平面成）沿与水平面成30倾角的微面上的全倾角的微面上的全应力和正应力。应力和正应力。 45xyO30ABC0t0t0t0t000102, 1002312,2)32() 12()21 (, 0,2tttatsttstsarctgxyyxq 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题

34、的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.4 几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移 平面问题的几何方程是考虑平面问题的几何学条平面问题的几何方程是考虑平面问题的几何学条件，根据弹性体内微分线段及角度的几何学知识来推件，根据弹性体内微分线段及角度的几何学知识来推导出导出形变分量与位移分量之间的关系形变分量与位移分量之间的

35、关系。 与推导平衡微分方程一样，平面问题的几何方与推导平衡微分方程一样，平面问题的几何方程也是要从微分角度导出，这样结果才是精确的。程也是要从微分角度导出，这样结果才是精确的。几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移如图所示，考虑弹性体内任如图所示，考虑弹性体内任意点意点P(x,y)，沿，沿x、y方向取两个方向取两个微小长度的线段微小长度的线段PA和和PB分别为分别为dx、dy。受力变形后受力变形后P、A和和B分别移动到分别移动到P、A和和B 。1、设设P点的位移分量分别为点的位移分量分别为u和和v。利用连续性和小利用连续性和小变形假设，根据变形假设，根据Taylor级数展开式，略去高阶项，可级数

36、展开式，略去高阶项，可求出求出A和和B的位移分量。的位移分量。几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移2 2、由线应变的定义，可得出线段由线应变的定义，可得出线段PAPA的相对伸缩量如下（的相对伸缩量如下（即即x方向的方向的线应变。由于位移微小，线应变。由于位移微小，y y方向的方向的位移引起的位移引起的PAPA伸缩量是高一阶的微伸缩量是高一阶的微量，忽略不计量，忽略不计）：）：3 3、同理，线段同理，线段PBPB的相对伸缩量（的相对伸缩量（即即y方向的线应变方向的线应变）如下：）如下：yvdyvdyyvvyexudxudxxuuxe几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移4 4、由切应变的定义，可得

37、出线段由切应变的定义，可得出线段PAPA和和PBPB之间的直角的改变量（之间的直角的改变量（即切即切应变应变）由两部分组成，一部分由）由两部分组成，一部分由y方方向的位移向的位移v引起，即引起，即x方向的线段方向的线段PAPA的转角；另一部分由的转角；另一部分由x方向的位移方向的位移u引起，即引起，即y方向的线段方向的线段PBPB的转角，由的转角，由此此xvdxvdxxvvaatanyudyudyyuutan几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移于是，线段于是，线段PAPA和和PBPB之间的直角的改变量（之间的直角的改变量（即切应变即切应变）如下：如下：yuxvxyag综合上述三式，就是平面问题

38、中的几何方程，如下：综合上述三式，就是平面问题中的几何方程，如下：yuxvyvxuxyyxgee几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移平面问题的几何方程平面问题的几何方程适用于两类平面问题适用于两类平面问题意义：意义：平面区域内任一点的微分线段上的形变平面区域内任一点的微分线段上的形变与位移之间的几何关系，实质上是一种变形的连续与位移之间的几何关系，实质上是一种变形的连续性条件（性条件（物体在变形前后都是连续的物体在变形前后都是连续的）。）。适用条件：适用条件：与平衡微分方程一样，满足连续性与平衡微分方程一样，满足连续性和小变形假定和小变形假定几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移 考虑应变分量全

39、为考虑应变分量全为 0 0 的特殊情况，即的特殊情况，即“无形变无形变”时时，由几何方程，仍存在位移解：，由几何方程，仍存在位移解：xyuu00其中其中 u0 和和 0 分别为物体沿分别为物体沿x轴和轴和y轴方向的刚体平移，轴方向的刚体平移，而而 为沿物体绕为沿物体绕z轴的刚体转动。轴的刚体转动。当位移分量完全确定时，形变分量即完全确定；当形当位移分量完全确定时，形变分量即完全确定；当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（3 3个个方程，方程，2 2未知数）未知数） 为什么？为什么？几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移对于上述形变和位移之间的

40、关系，可作如下讨论：对于上述形变和位移之间的关系，可作如下讨论： 1 1、如果物体的位移确定，则形变完全确定。、如果物体的位移确定，则形变完全确定。从物理概念从物理概念角度，当物体变形后各点的位置完全确定时，任一微分线段角度，当物体变形后各点的位置完全确定时，任一微分线段上的形变也完全确定。从数学推导也可见，当位移函数确定上的形变也完全确定。从数学推导也可见，当位移函数确定时，其导数也就确定，即形变分量也完全确定。时，其导数也就确定，即形变分量也完全确定。 2 2、当物体的形变确定时，位移不完全确定。、当物体的形变确定时，位移不完全确定。从物理概念从物理概念角度，当保持物体内部形变不变的条件下

41、，物体还可作刚体角度，当保持物体内部形变不变的条件下，物体还可作刚体运动平移和转动。从数学角度看，由形变求位移是一个积运动平移和转动。从数学角度看，由形变求位移是一个积分过程，在常微分中会出现一任意常数；在偏微分中会出现分过程，在常微分中会出现一任意常数；在偏微分中会出现一个与积分变量无关的未定任意函数，该未定项就是刚体平一个与积分变量无关的未定任意函数，该未定项就是刚体平移和刚体转动量。移和刚体转动量。几何方程及刚体位移几何方程及刚体位移综上所述：综上所述：当形变确定时，与形变有关的位移可以确定，而当形变确定时，与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移尚未确定，须通过边界上的约与形变

42、无关的刚体位移尚未确定，须通过边界上的约束条件来确定。束条件来确定。例题例题例例2.4.12.4.1：当应变为常量时，当应变为常量时，e ex =a, , e ey =b , ,g gxy =c ，试求对应的位移分量。试求对应的位移分量。xcbyyaxuu)(00q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理

43、及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.5 平面问题的物理方程平面问题的物理方程物理方程：考虑平面问题的物理学条件而得出的应力物理方程：考虑平面问题的物理学条件而得出的应力与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。与应变的关系，又称本构方程和广义胡克定律。E 为拉压弹性模量为拉压弹性模量- -杨氏模量杨氏模量G 为剪切弹性模量为剪切弹性模量m 为横向变形系数为横向变形系数泊松比泊松比)1 (2mEGGGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzx

44、yyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1对于对于理想弹性体理想弹性体，有，有平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程将平面应力问题的条件将平面应力问题的条件s sz= =t tzx= =t tzy=0=0代入代入物理方程，可得物理方程，可得00)1(2)()(1)(1xzyzxyxyyxzxyyyxxEEEEggtmgssmemssemsseGGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程将平面应变问题的条件将平面应变问题的条件 e ez= =

45、g gzx= =g gzy=0=0 和和w=0=0 代入左式，可得代入左式，可得00)1(20)1(1)1(122xzyzxyxyzxyyyxxEEEggtmgesmmsmesmmsme并有并有 s sz= =m(m(s sx+ s sy) ) 和和t tzx= =t tzy=0=0GGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1两类平面问题的物理方程比较两类平面问题的物理方程比较平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程xyxyxyyyxxEEEtmgsmmsmesmmsme)1(2)1(1)1(122平面应力问题的物

46、理方程平面应力问题的物理方程xyxyxyyyxxEEEtmgmssemsse)1(2)(1)(1将平面应力问题物理方程中的将平面应力问题物理方程中的 E 和和 m m 作如下替换，可得平面应变问作如下替换，可得平面应变问题的物理方程题的物理方程mmmm112EE平面问题的基本方程平面问题的基本方程从平面问题的三套基本方程可见，对于两类平面从平面问题的三套基本方程可见，对于两类平面问题，除了物理方程中的有关系数要进行相应的变问题，除了物理方程中的有关系数要进行相应的变换外，其它的平衡微分方程和几何方程完全相同。换外，其它的平衡微分方程和几何方程完全相同。平面问题的基本方程共有平面问题的基本方程共

47、有8 8个：（个：（2 2个平衡微分方个平衡微分方程、程、3 3个几何方程、个几何方程、3 3个物理方程）。这个物理方程）。这8 8个基本方程个基本方程包含包含8 8个未知函数（坐标的未知函数）：个未知函数（坐标的未知函数）：3 3个应力分个应力分量、量、3 3个应变分量、个应变分量、2 2个位移分量。要想求解这些未个位移分量。要想求解这些未知函数，还必须考虑弹性体边界上的条件。知函数，还必须考虑弹性体边界上的条件。q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几

48、何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.6 平面问题的边界条件平面问题的边界条件边界条件：边界条件：表示边界上位移与约束，或应力与面表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，又分为位移边界条件、应力边界力之间的关系式，又分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。条件和混合边界条件。1

49、 1、位移边界条件：、位移边界条件：若给定了部分边界上的约束位移若给定了部分边界上的约束位移分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件)()(),()(ssuuss其中等式左边是位移的边界值，而等式右边则是边界其中等式左边是位移的边界值，而等式右边则是边界上的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。对于上的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。对于完全固定的边界，其约束位移分量均为完全固定的边界，其约束位移分量均为0 0。平面问题的边界条件平面问题的边界条件2 2、应力边界条件：、应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，若给定了部分边界上面力分量，

50、则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应力与面力的关系式：一点的应力与面力的关系式：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyxstts其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则是边界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。是边界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。 l 和和 m 为该点处边界面外法线的方向余弦。为该点处边界面外法线的方向余弦。平面问题的边界条件平面问题的边界条件对于应力边界条件，必须很好地理解和掌握，应注对于应力边界条件，必须很好地理解和掌握，应注意以下几点：意以下几

51、点：1、应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间的关系，的关系， 它是函数方程，在边界上每一点都应满足；它是函数方程，在边界上每一点都应满足；2、公式（公式（2-3）表示的是区域内任一点的斜面上的应）表示的是区域内任一点的斜面上的应力分量与坐标面上的应力分量之间的关系，适用于平力分量与坐标面上的应力分量之间的关系，适用于平面区域内任一点，而边界条件（面区域内任一点，而边界条件（2-15）只能应用于边）只能应用于边界上。因此，必须将边界界上。因此，必须将边界S的方程代入（的方程代入（2-15）的应力）的应力表达式中；表达式中；平面问题的边界条件平面

52、问题的边界条件3、注意式（注意式（2-15）中的面力和应力具有不同的）中的面力和应力具有不同的正负号规定，且分别作用于通过边界点的不同正负号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。外法线方向余弦则按三角公式确定正负面上。外法线方向余弦则按三角公式确定正负号。号。4、平面问题中应力边界条件都是两个，分别表平面问题中应力边界条件都是两个，分别表示示x和和y两个方向的条件，它是边界上微分体的两个方向的条件，它是边界上微分体的平衡条件，也属于静力学条件。平衡条件，也属于静力学条件。平面问题的边界条件平面问题的边界条件对于边界面为坐标面的情形，应力边界条件对于边界面为坐标面的情形，应力边界条件(2-15

53、)(2-15)可可进行简化如下：进行简化如下：由于面力和应力具有不同的正负号规定，因此，在由于面力和应力具有不同的正负号规定，因此，在正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的。在正正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的。在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号。上，应力分量与面力分量异号。yaxxyxaxxff)(,)(ts若若x=a为正为正x面，面，ybxxyxbxxff)(,)(ts若若x=b为负为负x面，面，平面问题的边界条件平面问题的边界条件由上可知，应力边界条件可采用两种表达形式：由上可知，应力边界条件可采用

54、两种表达形式：1、在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，便可便可得出应力边界条件（得出应力边界条件（2-15）或其简化式；）或其简化式；2、在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）（数值相同，方向一致）。由于面力的数值和方向是给。由于面力的数值和方向是给定的，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应定的，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向。例如：的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向。例如：ysyxsxfpfp)(,)(在斜面上，在

55、斜面上，在正负坐标面上，如同前述简化式。在正负坐标面上，如同前述简化式。平面问题的边界条件平面问题的边界条件混合边界条件：混合边界条件：一部分边界具有已知位移，因而具一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如式（有位移边界条件，如式（2-142-14）；另一部分边界具有）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件，如式（已知面力，因而具有应力边界条件，如式（2-152-15）；）；另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个即两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力边界条件。是应

56、力边界条件。例题例题例例2.6.12.6.1：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水坝如图，为左侧受静水压力、下边固定的水坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。，试写出其应力边界条件（固定边不写）。0sincos0sincosasatatasyxyxyx右侧面：右侧面：gstgtssinsincoscossincosyyyxyxyx左侧面：左侧面：例题例题例例2.6.22.6.2：如图，为上、下边分别受均布力作用的三角如图，为上、下边分别受均布力作用的三角形悬臂梁，试写出其应力边界条件（固定边不写）。形悬臂梁，试写出其应力边界条件（固定边不写）。qyxyyy00)(0)(ts上边界：上边界：p

57、yxyxyxasatatascossin0cossin下边界：下边界：思考题思考题思考题：思考题：如图所示，薄板条在如图所示，薄板条在y y方向受均匀拉力作用方向受均匀拉力作用（视为平面应力问题），试证明在板中间突出部分（视为平面应力问题），试证明在板中间突出部分的尖端的尖端A A处无应力存在处无应力存在( (注：注：Ox是角平分线是角平分线) )。q 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程q 平面问题中的一点应力状态分析平面问题中的一点应力状态分析q 平面问题的几何方程与刚体位移平面问题的几何方程与刚体位移q 平面问题的物理方程平

58、面问题的物理方程q 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 q 圣维南原理及应用圣维南原理及应用q 按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题q 按应力求解平面问题及相容方程按应力求解平面问题及相容方程q 常体力情况下的简化与应力函数常体力情况下的简化与应力函数主要内容主要内容2.7 圣维南原理及应用圣维南原理及应用弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移满足边界条件。满足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位对于工程实际问题，构件表面

59、面力或者位移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提出了局部影响原理。这种限制，圣维南提出了局部影响原理。 圣维南原理主要内容：圣维南原理主要内容：如果把物体如果把物体表面一小部分边界上表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改

60、变，而在距离外力作用点较远处，近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。其影响可以忽略不计。圣维南原理及应用圣维南原理及应用1 1、变换的外力必须与原外力是静力等效的：、变换的外力必须与原外力是静力等效的：主失量相主失量相同，对同一点的主矩也相同同，对同一点的主矩也相同2 2、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。3 3、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。