第十二讲恒等变形2乘法公式学生版

1、学习改变命运，思考成就未来！：62164116第十二讲 恒等变形（2）乘法公式一、 基础知识（一）乘法公式1. 除了上一讲的几个基本公式外，乘法公式还有如下几条：) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = a3 + b3 + c3 - 3abc) (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + abn-2 + bn-1) = an - bn.a2 + b2 + c 2 ab ac bc = 1 (a b)2 + (a c)2 + (b c)

2、2 2)（二）配方法配方法是乘法公式应用的拓展，在恒等变形中应用十分广泛。在配方时，还常用到拆在配方法中要熟悉两组关系：补项的技巧。x+y、xy，与x2+y2、x3+y3、x4+y4、x7+y7的关系。x+x-、x-x-，与x2+x-2、x2-x-2、x4+x-4、x4-x-4的关系。1.2.二、名校回放例 1（20052006 首师大附中初一期中测试）x2+2ax+l6 是一个完全平方式，则 a 的值是 .例 2（20052006 首师大附中初一期中测试）与(a -1)(a2 + a +1)的积等于 a6-1 的多项式是 .例 3（20052006 首师大附中初一期中测试）若3(a2 + b

3、2 +c2 ) = (a + b + c)2 ，则 a，b，c 三者的关系为 .例 4（20052006 首师大附中初一期中测试）求证： x (x +1)(x + 2)(x + 3) = (x2 + 3x +1)2 -1三、活题巧解（一）乘法公式例 1(2000 年重庆市初中竞赛题)已知(2000-a)(1998 -a)=1999，那么，(2000-a)2+(1998-a)2=学而思教育06 年秋季班讲义初一竞赛班第十二讲学生版Page 1 of 5学习改变命运，思考成就未来！：62164116例 2（2001 年市中考题）观察下列各式（x1）(x+1)=x21；（x1）(x2+x+1)=x3

4、1；（x1）(x3+x2+x+1)=x41.根据前面的规律可得（x1）(xn+xn1+x+1)=例 3(2002 年初中数学竞赛题) 设 a、b、c、x、y、z 满足下列等式x = a2 - 2b + p , y = b2 - 2c + p , z = c2 - 2a + p , 则 z，y，z 中，至少有一个值()36(B)等于 02(A)大于 0(c)不大于 0(D)小于 0例 4如图，立方体的每一个面上一个自然数，已知相对的两个面上二数之和都相等，如果 13、9、3 的对面的数分别为 a、b、c，则 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac 的值为a 4 + a 2 + 1

5、1例 5（希望杯训练题）已知 a+ =5，则a=a 2例 6（2000 年重庆市竞赛题）1111乘积（1）（1）（1）（223219992120002）等于（）。1999200119992001A、B、C、D、2000200040004000例 7. 已知 a3+b3+c3=a2+b2+c2= a+b+c=1，求证：abc=0学而思教育06 年秋季班讲义初一竞赛班第十二讲学生版Page 2 of 5学习改变命运，思考成就未来！：62164116例 8. (北京市竞赛题)若 x+y=a+b，且 x2+y2= a2+b2证明：x 1997 +y 1997 =a 1997 +b1997例 9（200

6、1 年黄冈市竞赛题）观察：1 2 3 4+1=522 3 4 5+1=1123 4 5 6+1=192（1）请写出一个具有普通性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算 2000 2001 2002 2003+1的结果（有一个最简式子表示）.（二）配方法例 10. （希望杯竞赛题）已知 x、y 满足 x2+y2+ 54xy=2x+y,则代数式的值为（）x + y431323A.B.C.1D.例 11. (太原市竞赛题)已知 a、b 满足等式 x=a 2 +b 2 +20，y=4(2b-a)，则 x、y 的大小关系是AxyBxyCxy()学而思教育06 年秋季班讲义初一竞赛班第十二讲学生版Pa

7、ge 3 of 5学习改变命运，思考成就未来！：62164116例 12. （希望杯训练题）已知 x + 1 = 2 ，求 x2 +x1x21x3x3 +和的值。例 13（北京市竞赛题）已知 a+b=p，ab=q，求a5 + b5 的值例 14. (西安市竞赛题)设 a+b=1,a2+b2=2,则 a 7 +b 7 的值为.四、练习11a41a4则a4 +， a4 -1.(第 13 届希望杯数学邀请赛试题)已知 a+=-2,a=2. (2002 年的值为（A.0初中竞赛题)已知 a=1999x）B.1，b=1999x，c=1999x,则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-acC.2D.2x2

8、13（2003 年重庆市初中数学竞赛试题)若 x += 3 ，则x的值为()x4 + x2 +111018A.10B8CDa + b4（2002 年初中竞赛题）设 ab0 , a2+b2=2.5ab,则的值为（）a - bA.1.5B.3.5C.2D.3学而思教育06 年秋季班讲义初一竞赛班第十二讲学生版Page 4 of 5学习改变命运，思考成就未来！：621641165（希望杯训练题）有 10 位乒乓球手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用 xl，yl 顺序表示第一号选手胜与负的场数；用 x2，y2 顺序表示第二号选手胜与负的场数；用 x10,y10 顺次表示第十号选手胜与负的场数x2 +. + x2 = y2 + y2 + y2 .求证：21012106（希望杯训练题）已知 a-b=4,ab+c 2 +4=0，则 a+b=()A4B0C2D-2市选拔赛试题) 已知 x2 + y2 + z2 - 2x + 4y - 6z +14 = 0 则 x+y+z=7(2001 年8(2003 年河北省竞赛题) 已知 a 满