电磁场与电磁波第四章时变电磁场

1、第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波1第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波2 本章内容本章内容 4.1 电磁场波动方程电磁场波动方程 4.2 时变电磁场的矢量位和标位时变电磁场的矢量位和标位 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 4.4 唯一性定理唯一性定理 4.5 简谐电磁场简谐电磁场第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波34.1 电磁场波动方程电磁场波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有质，则有 无源区域中电磁场波动方程无源区域中电磁场波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，阶矢

2、量微分方程，揭示电磁场的波动性。揭示电磁场的波动性。 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。间的相互作用关系。 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程。波动方程。0222tHH0222tEE电磁场波动方程电磁场波动方程第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波40222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同理可得同理可得 推证推证 问题：问题： 在有源空间，电磁场波动方程的形式怎样？在有源空间，电磁场波动方程的形式怎样？真空无源区域中电磁场波动方程：真空无源区域中电磁场波动方程：222210E

3、Ect001c 注意：注意：该方程适用于真空中的一切电磁波，而不该方程适用于真空中的一切电磁波，而不只适用于只适用于“简谐波简谐波”，也不只适用于，也不只适用于“平面波平面波”。 一般电磁波中有多种频率成份，也就是说，一般电磁波中有多种频率成份，也就是说，复杂电磁波应该是多种简谐电磁波叠加而成。复杂电磁波应该是多种简谐电磁波叠加而成。 电磁波的波阵面可能是各种各样的。其中，电磁波的波阵面可能是各种各样的。其中，最简单、也是最常见的就是平面电磁波和球面电最简单、也是最常见的就是平面电磁波和球面电磁波。磁波。 在讨论静电场和静磁场问题时，分别引进了在讨论静电场和静磁场问题时，分别引进了静电场标位和

4、磁矢位静电场标位和磁矢位。在静电场中0EE在静磁场中0 BAB 我们讨论电磁波时所遇到的电场和磁场都是我们讨论电磁波时所遇到的电场和磁场都是随时间变化的。那么在随时间变化的电磁场中，随时间变化的。那么在随时间变化的电磁场中，是否还可以使用标位和矢位讨论问题呢？是否还可以使用标位和矢位讨论问题呢？4.2 4.2 时变电磁场的矢位和标位时变电磁场的矢位和标位tAtBE所以矢位的定义不变矢位的定义不变。AB在变化的电磁场中0 B仍然成立。0)(tAEtAEBE场矢量场矢量A标位矢位标位矢位1.1.时变电磁场中矢位和标位的定义时变电磁场中矢位和标位的定义tAE2. 电磁场的规范变换不变性电磁场的规范变

5、换不变性tAAAEtAtAEBAAB称为称为规范变换规范变换 因此，为了确定矢位和标位，必须增加约束因此，为了确定矢位和标位，必须增加约束条件，而且条件，而且附加约束条件的选择并不是唯一的。选附加约束条件的选择并不是唯一的。选择择不同的附加约束条件，称为不同的规范不同的附加约束条件，称为不同的规范。（1）库仑规范）库仑规范附加约束条件：0 A 上式显示：电场的无旋分量和无散分量彻底电场的无旋分量和无散分量彻底分开分开。电场的无旋分量是电荷产生的，无散分量是交变磁场产生的，属于涡旋电场。tAE根据定义：（2）洛仑兹规范）洛仑兹规范附加约束条件：012tcA)(22000000tAtJtEJBAA

6、AB2)()(JJtcAtAcA002222211)(3. 时变电磁场中矢位和标位的微分方程时变电磁场中矢位和标位的微分方程洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件02AtE2221tcAt022221tcJtAcA022221达朗贝尔方程达朗贝尔方程 洛仑兹规范的优点是矢位和标位所满足的方洛仑兹规范的优点是矢位和标位所满足的方程具有对称形式，这在电磁场理论中非常重要。程具有对称形式，这在电磁场理论中非常重要。)(22000000tAtJtEJBAAAAB22)()(JttAcA00022221）（库仑规范条件库仑规范条件02AtE02库仑规范条件下标位和矢位的微分方程库仑规范条件下标位和矢位的微分方程

7、库仑规范的最大优点是标位所满足的微分方库仑规范的最大优点是标位所满足的微分方程与静电位的微分方程相同，比较容易求解。程与静电位的微分方程相同，比较容易求解。库仑规范条件库仑规范条件JttAcA00022221）（第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波144.3 电磁场能量守恒关系电磁场能量守恒关系 (第第2章中已讲）章中已讲） 玻印廷定理玻印廷定理 电磁场能量密度电磁场能量密度 玻印廷矢量玻印廷矢量第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波154.4 4.4 唯一性定理唯一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域为边界的有界区域V 中，中，如果如果给定给定t0 时刻的电场强度和磁场强

8、度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，的初始值，并且当并且当t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在，那么，在 t 0 的的任何任何时刻，区域时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么边界条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么边界条件下，麦克斯韦方程的解才是唯一的呢？件下，麦克斯韦方程的解才是唯一的

9、呢？VS 问题的提出问题的提出 时变电磁场时变电磁场唯一性定理唯一性定理 唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。 第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波16作业：作业：P189 4.7 4.9 第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波174. 5 简谐电磁场简谐电磁场 简谐电磁场的麦克斯韦方程简谐电磁场的麦克斯韦方程 简谐场量的复数表示形式简谐场量的复数表示形式 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 简谐电磁场位函数的复矢量方程简谐电磁场位函数的复矢量方程 场复矢量的亥姆霍兹方程场复矢量的亥姆霍兹方程 平均能量密度和平均能流密度平

10、均能量密度和平均能流密度第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波18 设设 是一个以角频率是一个以角频率 随时间随时间t t 作余弦变化的场量，作余弦变化的场量，它可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变它可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的变化关系可以表示为：量，它与时间的变化关系可以表示为：( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtrj( )j0( , )ReeRe( )etrtA r tAA r其中其中j ( )0( )erA rA时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中式中A0代表振幅、代表

11、振幅、 为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。( )r 实数表示法实数表示法或称瞬时表示法或称瞬时表示法复数表示法复数表示法复振幅复振幅 简谐场量的简谐场量的复数表示形式复数表示形式4.5.1 简谐电磁场的复数表示简谐电磁场的复数表示第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波19 复数式只是数学表示形式，不代表真实的场函数。复数式只是数学表示形式，不代表真实的场函数。这样，矢量场的各分量这样，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示为：）可表示为： j( )jm( , )Re( )eReeitrtiiiE r tE rEjm( , )Re( )etE r tErj(

12、)j( )j( )mmmm( )( )e( )e( )eyxzrrrxxyyzzEre Ere Ere Er各分量合成以后，简谐变化的电场强度可以表示为：各分量合成以后，简谐变化的电场强度可以表示为： 有关复数表示形式的进一步说明：有关复数表示形式的进一步说明：复矢量复矢量 真实场函数是其复数式的实部，一般称为场的瞬时表达式。真实场函数是其复数式的实部，一般称为场的瞬时表达式。 由于时间因子是确定的，所以只写出与坐标有关的部分。由于时间因子是确定的，所以只写出与坐标有关的部分。 称为该简谐场的复矢量。称为该简谐场的复矢量。第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波20例例4.5.1 将下列场矢

13、量的瞬时表达式写为复数形式将下列场矢量的瞬时表达式写为复数形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz解：解：由于由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E所以所以第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波21mmmmmmmmjj0HJDEBBD 0tt DHJBEBDjj0HJDEBDB 只要把微分算子只要把微分算子 用用 代

14、替，就可把麦克斯韦方程转换为代替，就可把麦克斯韦方程转换为简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。jtjt 略去略去“.”和下标和下标m4.5.2 简谐电磁场的麦克斯韦方程简谐电磁场的麦克斯韦方程第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波22实际的电磁媒质都存在损耗：实际的电磁媒质都存在损耗： 导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗。当电导率有限时，存在欧姆损耗。 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗。受到极化时，存在电极化损耗。 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗。受到磁化时，存在磁化损耗。 损耗大小与材料性质

15、和电磁场频率有关。一些媒质损耗大小与材料性质和电磁场频率有关。一些媒质 损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 cjj(j)j HEEEE 导电媒质的等效电容率导电媒质的等效电容率其中其中 c= j/、称为导电媒质的等效、称为导电媒质的等效电容率电容率。 对于对于电容率电容率为为 、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波23 有损耗电介质的复有损耗电介质的复电容率电容率 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质电容率同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质电容率

16、c j(+) 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率c j 对于存在电极化损耗的电介质，有对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电，称为复介电常数或复电容率。其虚部表示电介质的电极化损耗。在高频情况常数或复电容率。其虚部表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。下，实部和虚部都是频率的函数。 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复电容率电容率为为c j 对于磁性介质，复磁导率数为对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为表示磁，其虚部为表示磁介质的磁化损耗。介质的磁化损耗。第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波24 损耗角正

17、切损耗角正切 材料按其导电性能的分类材料按其导电性能的分类tantan，电介质电介质tan，导电媒质导电媒质磁介质磁介质1 弱导电媒质和绝缘体弱导电媒质和绝缘体1 一般导电媒质一般导电媒质1 良导体良导体 工程上通常用损耗角正切表示介质损耗的大小，其定义为：工程上通常用损耗角正切表示介质损耗的大小，其定义为：复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比。即有复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比。即有 不同材料的导电性能不同，同种材料在不同频率下的导电性不同材料的导电性能不同，同种材料在不同频率下的导电性能也有所不同。一般根据材料导电性能的差异做如下分类：能也有所不同。一般根据材料导电性能的差异做如下分

18、类：第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波25导电媒质中导电媒质中理想介质中理想介质中4.5.4 4.5.4 简谐电磁波场量的波动方程简谐电磁波场量的波动方程 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在简谐情况下，将在简谐情况下，将 、 ，即可得到场即可得到场复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。222t tj 电磁波瞬时场量的波动方程电磁波瞬时场量的波动方程简谐电磁波的波动方程简谐电磁波的波动方程22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHHkcc() 22c22c00kkEEHH第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电

19、磁波264.5.5 4.5.5 简谐电磁波位函数的波动方程简谐电磁波位函数的波动方程 在简谐情况下，矢量位和标量位的定义式，以及它们满足在简谐情况下，矢量位和标量位的定义式，以及它们满足的方程都可以表示为复数形式。的方程都可以表示为复数形式。t BAAE洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时位函数的定义瞬时位函数的定义位函数的复矢量表示式位函数的复矢量表示式j BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波274.5.6 简谐电磁波的简谐电磁波的平均能量密度和平均能流密度平均能量密度和平均能流密度注意：简谐场的二次式不能表示

20、为复数形式，不能采用场的注意：简谐场的二次式不能表示为复数形式，不能采用场的 复矢量直接代入二次式进行计算。复矢量直接代入二次式进行计算。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr例如：某简谐电磁场的电场强度和磁场强度分别为例如：某简谐电磁场的电场强度和磁场强度分别为 简谐场量的二次式，如电磁场能量密度和能流密度等。简谐场量的二次式，如电磁场能量密度和能流密度等。j ( )0( )erE rEj ( )0( )erH rH其复矢量为：其复矢量为：j( )j( )jj00j2(0000Re( ee)ReeeRe ecos 22 ( )trtrtttr)trSEH

21、EHEHEH第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波28 简谐电磁场中二次式的时间平均值简谐电磁场中二次式的时间平均值 在简谐电磁场中，常常要在简谐电磁场中，常常要计算计算二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值。例如：平均值。例如：平均能流密度矢量平均能流密度矢量av0011d()dTTtEHtTTSS平均电场能量密度平均电场能量密度eave00111dd2TTwwtE D tTT平均磁场能量密度平均磁场能量密度mavm00111dd2TTwwtH B tTT 在简谐电磁场中，可采用在简谐电磁场中，可采用复矢量计算复矢量计算二次式的二次式的时间平均值。时间平均值。av1Re() ,2EHSmav1Re()4wH Beav1Re() ,4wE D),(),(Re),(),(*trgtrftrgtrf21第第 4 章章电磁场与电磁波电磁场与电磁波29则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 2av000000111()dcos ( )d2TTttrtTTSEHEHEH如果电场和磁场都用复数形式表示，则有如果电场和磁场都用复数形式表示，则有 j ( )0j ( )0( )e( )errE rEH rHjjavav001Re( e) Re(e)2ttSEHEH*av1Re()2SEHj ( )j ( )000011