第五章定积分的习题课

1、第五章定积分复习要点一、基本概念1.定积分的定义：运算法则：，.O主要性质：函数在闭区间上连续，则在区间上至少O存在一点，使得（称其为积分中值定理）2.积分上限函数及其性质，被称为可变上限积分或积分上限函数；性质：若函数在闭区间上连续，则（1）在上连续；（2）在上可导；（3）3.牛顿-莱布尼茨公式函数在闭区间上连续，是在区间上的一个原函数，则.4.反常积分的定义O函数在区间（）上连续，是在区间上的一个原函数，则（1）；（2）；（3）。O函数在区间（）上连续，是在区间上的一个原函数，则（1）；（2）；（3）=（4）【其中，都是瑕点】，这四种积分均称为瑕积分。二、计算方法介绍1.定积分计算方法（按

2、求积分入手的先后顺序排列）（1）首先要分清是正常积分还是反常积分（瑕积分），是正常积分，转入下面的（2）；是反常积直接转入下面的（8）.（2）对正常积分，若积分区间是对称区间，就要判定被积函数是否为奇函数或偶函数，以便简化计算的工作量.当为偶函数，则；当为奇函数，则.（3）无论是正常积分还是反常积分，都要用牛顿-莱布尼茨公式求积分，最关键的还是要求出一个原函数；（4）若直接用不定积分的公式求得原函数，不换元也不换限，用牛顿-莱布尼茨公式可得结果；（5）若用凑微分法求得原函数，若不换元，必不换限，直接用牛顿-莱布尼茨公式可得结果；（6）若用分部积分公式，不换元也不换限，直接用牛顿-莱布尼茨公式可

3、得结果；（7）上述方法都失效，必用变量替换公式，则换元必换限，再用牛顿-莱布尼茨公式可得结果.（8）是在区间=（或或）上的一个原函数，则（1）；（2）；（3）。函数在区间（）上连续，是在区间上的一个原函数，则（1）；（2）；（3）=；（4）.【其中，都是瑕点】。2.函数求导数与求极限方法（1）用公式（P160）求导数；（2）根据上述求导公式，利用洛必达法则求极限。3.有关的证明题往往利用积分中值定理及其它已经学过的定理进行证明。O4.求平面图形面积的方法（微元法）（1）用定积分的几何意义（即曲边梯形的面积,如图）,求平面图形ABCD的面积；OABCD的面积=（2）用微元法求平面图形的面积。设量

4、A与区间及函数有关，且量A对区间具有可加性，则可分两步,把求量A的问题转化为定积分：第一步：任取，得典型小区间，以左端点处的函数值为高，以为宽,得面积微元;第二步：将面积微元作为积分表达式，在区间上进行无限累加（即积分）得所求量A=.这种确定积分表达式的方法被称为“微元法”.实际上，学了二重积分后，也可以用二重积分求面积。5.求体积的方法（微元法）利用微元法可得求体积的如下三个公式：（1）设一立体(如图)，其垂直于轴的截面面积是已知的连O续函数，且立体位于两点处垂直于轴的两个平面之间，则立体体积：.O（2）由连续曲线，以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得O旋转体的体积（如图）：（3）由连续曲

5、线，直线，以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积：三、举例1.计算下列积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）设的一个原函数为，求.（11）.解：（1）=.（2）=（3）=(换元必换限) （4）=，5=，=.（5）,注意：用待定系数法，可得.=+=-+=.（6）,注意：与均为瑕点，又，所以，=.【主值区间为，】（7）=.（8）明显，它是无界函数的反常积分，=.（9）明显它是瑕积分，瑕点是. =.（不要碰到根号就变量替换，要具体情况具体分析，尽量寻找简便方法）（10）-=-.又为的一个原函数，.=-=.(,.)（11）在上是奇函数，而函数在上是偶函数.+称其

6、为多项式的除法=.3.求下列各条件,围成的图形的面积或体积（1）求由曲线与所围成的图形的面积（2）抛物线将圆分成两部分，求这两部分面积之比.（3）求抛物线及其在点处的法线所围成的图形的面积.（4）求曲线及其过的切线与轴所围图形的面积.（5）由,所围成的图形,分别绕轴与轴旋转,计算所得两个旋转体的体积.下面给出做法：2O（1）求由曲线与所围成的图形的面积解：如图，联立，可得交点（-1,1）（1,1），则面积A=. D:,法2：A=,其中，D:,.A=.2OA（2）抛物线将圆分成两部分，求这两部分面积之比.解：如图，设较小部分面积为A，较大部分面积为S.联立，可得，（舍去），由，可得，交点（2,2），（-2,2）.A=.S=.O（3）求抛物线及其在点处的法线所围成的图形的面积.解：如图，是中心在原点，开口朝下的抛物线.先求点处切线的斜率，即在两边对求导，可得，。所以，在点处的法线方程为，即.联立，.,(舍去)，.选为积分变量，所以法线与抛物线所围成的图形的面积S=1O（4）求曲线及其过的切线与轴所围图形的面积.解：如图，先求切线方程，对求导，可得，过点（0,0），且与曲线相切的直线的斜率为.过点（0,0）且与曲线相切的直线方程为.曲线,切线与轴所围图形的面积=.2O图1（5）由,所围成的图形