第六章积分学SECTION2

1、§2 多重积分、曲线积分与曲面积分一、 多重积分1. 二重积分连续函数f(x,y)在有限可求积的平面区域内的二重积分式中,是对中的所有的下标i，j求和.特定区域内二重积分的计算公式积分区域计算公式（积分限应从小到大）设，则二重积分的变量替换(雅可比式) 若连续可微分的函数把平面Oxy上的有界闭区域单值映射到平面上的闭区域'，其雅可比式为则例 若则所以2. 三重积分直角坐标下的三重积分 假设有界区域V由下列不等式axb,y, z确定，其中,都是连续函数，且函数f(x,y,z)在V上是连续的，则函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分有时采用下面公式计算：式中是用平行于Oyz

2、的平面截区域V所得的截断面(图6.3).例设V表示在第一卦限中由曲面和坐标平面所围成的封闭区域，则当一切常数都是正的时候，有这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到.圆柱坐标下的三重积分 (图6.4)（一般地，02)式中V为直角坐标中的有界区域，V'是区域V在圆柱坐标系中的表达式.球面坐标下的三重积分 (图6.5)（一般地，02,0)式中V'是区域V在球面坐标系中的表达式.三重积分的变量替换(雅可比式) 若连续可微函数把Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'uw空间的闭区域V'，并且当（u,w)V'时其雅可比式则3. 多重积分直

3、接计算多重积分若函数f()在由下列不等式所确定的有界闭区域内是连续的：ab() () () ()式中a,b为常数，()， ()， ()， ()为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算：多重积分的变量替换（雅可比式） 若连续可微函数= (), i=1,2,n把O空间内的有界闭区域双方单值地映射成O'空间内的有界闭区域',并且在闭区域'内雅可比式则特别，根据公式变换成极坐标(r,)时，有：二、 曲线积分对弧长的曲线积分 若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:的各点上有定义并且连续（图6.6）则式中ds为弧的微分，等.这个积分与曲线C的方向无关.对坐标的曲线积分若函数P=P

4、(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C:的各点上连续，这曲线的正方向为t增加的方向，则当曲线C的正向变更时，积分的符号改变.全微分的情形若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C上连续，并且式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数，则式中()为积分曲线C的始点，()为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下，积分值与曲线C的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7).在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分的充分必要条件是：在区域V内等式成立.这时函数u可按下面公式求得：式中

5、()为区域V内的某一固定点.格林公式1°曲线积分与二重积分的关系.设C为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S,这围线的方向使区域S保持在左边，若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏导数在S+C上连续，则有格林公式：2°曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q,在区域S上连续，且则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零，即因而由S中的A到B的积分与线路无关（图6.8)，即三、 曲面积分对曲面面积的曲面积分1°若S为逐片光滑的双侧曲面*z=z(x,y) (x,y)式中为曲面S在Oxy坐标面上的投影，z(x,y)为单值连续可微函数，函数f(x,y,z

6、)在曲面S的各点上有定义并连续，则此积分与曲面S的方向（法线的方向）无关.2°若曲面S由连续可微函数 (u,)给定，则式中* 曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向，它们就是选定方向的法线在曲面上连续移动（不经过曲面边缘）的指向，所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定的法线方向，曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变，曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为双侧曲面.对坐标的曲面积分 若S为光滑的双侧曲面，为它的正面，即由法线方向n(cos, cos,cos)所确定的一侧，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)为在曲面S上有定义并

7、且连续的函数，则若曲面S由连续可微函数 (u,)给定，则式中斯托克斯公式若C是包围逐片光滑有界双侧曲面S的逐段光滑简单闭曲线，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上连续可微函数，则高斯公式若S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶偏导数在V+S上连续，则有高斯公式：式中cos,cos,cos为曲面S的法线正方向的方向余弦.四、 重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算二重积分的近似计算公式式中对于不同的积分区域选取不同的常数，是求积系数，R是余项.为圆形C: Ac=n图示R5(0,0)(±h

8、,0)(0,±h)4n图示R7(0,0)(±h,0)9(0,0)(±h,0)(0,±h)7(0,0)(±h,0)(±h,±h)21(0,0)(k=1,2,10为正方形S: |x|h,|y|h,=4n图示R9(0,0)(±h,±h)(±h,0)(0,±h)n图示R49(0,0)为正三角形T: 外接圆半径为h，n图示R4(0,0)(h,0)7(0,0)7(0,0)为正六边形H: 外接半径为h，n图示R7(0,0)(h,0)7(0,0)三重积分的近似计算公式式中对于不同的积分区域V选取不同的常数，是求积系数，R是余项.V为球体S: .=n图示R7(0,0,0)V为立方体C: |x|h,|y|h,|z|h.=8n图示R621(0,0,0)中心到6个面的距离的6个中点6个面的中心8个顶点n图示R426个面的中心1