第七章空间解析几何与向量代数(答案)

1、第七章 空间解析几何与向量代数一、选择题1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量的模是：（A ）A ） B） C） 6 D）92. 设a=1,-1,3, b=2,-1,2，求c=3a-2b是：（ B ）A ）-1,1,5. B） -1,-1,5. C） 1,-1,5. D）-1,-1,6.3. 设a=1,-1,3, b=2,1,-2，求用标准基i, j, k表示向量c=a-b为（A ）A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k4.求两平面和的夹角是：（ C ）A ） B） C） D）5. 一质点在力F=3i+4j+5k的作用下，从

2、点A（1,2,0）移动到点B(3, 2,-1)，求力F所作的功是：（ B ）A ）5焦耳 B）1焦耳 C）3焦耳 D）9焦耳6. 已知空间三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求AMB是：（ C）A ） B） C） D）7. 求点到直线L：的距离是：（ A ）A ） B C） D）8. 设求是：（ ）A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k9. 设的顶点为，求三角形的面积是：（ A ）A ） B） C） D）310. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（ D）A）2x+3y=5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D）11

3、、若非零向量满足关系式，则必有（ C ）；（A）；（B）；（C）；（D）12、已知，则（ D ）；（A）； （B）5； （C）3； （D）13、直线与平面的夹角为B；（A）； （B）； （C）； （D）14、点在平面的投影为A；（A）； （B）； （C）；（D）15、方程表示曲面，其对称轴在上；(A)单叶双曲面,轴; (B)双叶双曲面,轴;(C)单叶双曲面,轴; (D)双叶双曲面,16设为非零向量，且, 则必有（ C ）A BC D17、设向量相平行，但方向相反，则当时，必有（A ）A B C D 18向量与的数量积=（ C ）.A ； B ； C ； D 19非零向量满足，则有（ C ）A

4、; B (为实数)； C ； D 20设与为非零向量，则是（A ）A 的充要条件； B 的充要条件; C 的充要条件； D 的必要但不充分的条件21设，则向量在轴上的分向量是（B）A 7 B 7 C 1； D -922空间曲线的方程是（ B ）.A 惟一的； B 不惟一的； C 可能不惟一； D 不能确定.23方程组 表示 （ B ）.A 椭球面； B 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在平面上的投影.24方程 在空间直角坐标系下表示 （C ）. A 坐标原点； B 坐标面的原点； C 轴； D 坐标面.25设空间直线的对称式方程为 则该直线必（ A ）.A 过原点且垂直于轴； B 过

5、原点且垂直于轴；C 过原点且垂直于轴； D 过原点且平行于轴.26设空间三直线的方程分别为,则必有（ D ）.A ； B ； C ； D .二、填空题1平面的点法式方程是2、坐标面的曲线绕轴旋转生成的旋转曲面的方程是：3、已知两点与，与向量方向一致的单位向量=。4、 平面的一般式方程是:5、平面的截距式方程是:6、已知, 且, 则；7、已知三向量两两互相垂直，且，则向量的模等于；8、旋转曲面是由曲线 绕轴旋转一周而得；9、空间曲线在面上的投影为；10、当_时,直线平行于平面。（1）过点且与直线垂直的平面方程是 _.（2）已知两条直线的方程分别是，则过L1且平行于L2的平面方程是 _.

6、解（1）化参数方程为对称方程：，则所求平面的法向量为 ，依点法式得， 即 （2）取上的点，取.则由点法式可得所求平面方程为 三、判断题1、任何向量都有确定的方向。 （ ）2、若两向量满足关系，则同向。（ ）3、若，则 。 （ ）4、与非零向量同向的单位向量只有1个.（ ）5、与非零向量共线的单位向量只有1个.（ × ）四、计算题1在平面上，求与三点、和等距离的点。解：设所求点为 则， ，。由于与、三点等距，故，于是有：， 解此方程组，得，故所求的点为。2证明是一个球面方程，并求出球心和半径。证：将方程移项并配方，得：，由两点间的距离公式知它是以为球心，3为半径的球面方程。3已知，求的

7、模、方向余弦与方向角。解：由题设知： 则，于是，。4已知，求下列各向量的坐标：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1) ；(2)；(3)；(4)5设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。解： 故在轴上的投影为13，在轴上的分向量为。6在坐标面上求一与已知向量垂直的向量。解：设所求向量为，由题意，取，得，故与垂直。当然任一不为零的数与的乘积也垂直。7求以，为顶点的三角形的面积。解：由向量的定义，可知三角形的面积为，因为，所以，于是， 8求与向量，都垂直的单位向量。解：由向量积的定义可各，若，则同时垂直于和，且，因此，与平行的单位向量有两个：和9指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别

8、表示什么图形？(1)；(2)；(3)；(4)。方程在平面解几中表示在空间解几中表示平行于轴的一直线与平面平行且过的平面斜率为1，在轴截距为1的直线平行于轴，过(0,1,0)，(-1,0,1)的平面圆心在原点，半径为2的圆以过轴的直线为轴，半径为2的圆柱面双曲线母线平行于轴的双曲柱面9分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。解：10从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过已知曲线的柱面方程；20从方程组中消去得：，此方程即母线平行于轴且通过此曲线的柱面方程。10求球面与平面的交线在面上的投影的方程。解：由，得，代入，消去得，即，这就是通过球面与平面的交线，并且母线平行于轴的柱面方程，

9、将它与联系，得：，即为所求的投影方程。11求过，和三点的平面方程。解一：点法式：，取，于是所求方程：。解法二：用一般式，设所求平面方程为 将已知三点的坐标分别代入方程得解得 ，得平面方程：。解法三：设点为此平面上任一点，则，共面，由三向量共面的充要条件得，而，所以，即为所求平面的方程。12求平面与面的夹角。解：为此平面的法向量，设此平面与的夹角为，则，故。13分别按下列条件求平面方程(1)平行于面且经过点； (2)通过轴和点； (3)平行于轴且经过两点和。解：(1)因为所求平面平行于面，故为其法向量，由点法式可得：，即所求平面的方程：。(2)因所求平面通过轴，其方程可设为，已知点在此平面上，因

10、而有，即，代入（*）式得：，即所求平面的方程为：。(3)从共面式入手，设为所求平面上的任一点，点和分别用，表示，则，共面，从而，于是可得所求平面方程为：。14用对称式方程及参数式方程表示直线：。解：因为直线的方向向量可设为，在直线上巧取一点（令，解直线的方程组即可得，），则直线的对称式方程为，参数方程为：，。15求过点且与两平面和平行的直线方程。解：因为两平面的法向量与不平行，所以两平面相交于一直线，此直线的方向向量，故所求直线方程为。16确定直线 和平面间的位置关系。解：直线的方向向量 平面的法向量从而，由此可知直线平等于平面或直线在平面上。再将直线上的点的坐标代入平面方程左边，得，即不在平

11、面上，故直线平行于平面。17求过点而与直线，平行的平面方程。解：因为直线的方向向量，直线的方向向量。 取 ，则通过点并以为法向量的平面方程即为所求的平面方程。本章测试题一、 填空题1. 已知,则向量在轴方向上的分向量为_2. 过点和的直线方程为_3. 设，且，则4. 设空间两直线与相交于一点，则5. 已知向量与平行且方向相反，若，则6. 方程在空间直角坐标系中表示的曲面是_7. 平面与平面的夹角为_8. 平面上的双曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程为_二、 选择题1. 设为三个任意向量,则( )A ； B； C ； D .2. 曲面与的交线是 ( )A 抛物线； B 双曲线； C 圆周； D 椭圆3

12、. 设向量与平行且方向相反,又, 则有( ) A ； B ； C ； D 4. 直线 与平面的关系为 ( )A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交； D 相交但不垂直5. 已知,且, 则 = ( )A 1； B ； C 2； D . 6. 下列等式中正确的是( ) A ； B ； C ； D 7. 曲面在平面上的截线方程为 ( ) A ； B ； C ； D 8. 在空间直角坐标系中表示 ( ) A 球面； B 椭圆锥面； C 抛物面； D 圆锥面三、 计算题1.已知,问为何值时,向量与互相垂直2.求过点且垂直于平面的平面法向量3.求两平行面与之间的距离4.求过点且与两平面和的交线平行的直线方程5.一平面过点且平行向量和，试求这平面方程 四、已知三个非零向量中任意两个向量都不平行，但与平行，与平行，试证：测试题参考答案一、 填空题1. 2. 3. 2 4. 5. 6. 顶点在原点,开口向上的旋转抛物面 7. 8. 二、 选择题1. C 2. C 3. A 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B 三、计算题1. 解 由得，即 ，将代入得：，解得 2. 解 由题意知：垂直