第二章第十三节曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面

1、第二章曲面论第十三节曲面上法曲率的最大值、最小值、高斯曲率、平均曲率、极小曲面根据法曲率的几何意义, 法曲率完全反映了曲面在一点处沿指定方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的弯曲性是完全可以量化. 但实际上是做不到的, 因为曲面在一点处有无穷多个切方向. 于是我们自然提出这样两个问题: 法曲率随方向变化的变化规律是什么? 法曲率是否有最大值和最小值? 下面针对这两个问题展开讨论.得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.一

2、、 法曲率的最大值、最小值曲面上一点 沿一方向上的法曲率为，（1）我们考虑法曲率的最大值、最小值问题。 设，则有，这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。，此二次方程有根，当且仅当，。设是方程，（2）的两个根， 则有， 于是的最大值、最小值分别为 ，且由方程（2）所解出。由韦达定理，便得， 。将代入，解出两个根，就得到使达到最大值、最小值的方向。对曲面上一给定点, 法曲率是切方向的函数, 称法曲率的每个临界值(critical value)为曲面在这一点的主曲率; 对应的方向称为曲面在这一点的主方向.二、高斯(Gauss)曲率、平均曲率设分别为曲面上一点处的法曲率的最大值、最小值，则将它

3、们的乘积称为曲面在这一点的高斯(Gauss)曲率，通常以表示，它描述了曲面在一点处总的弯曲程度, 又称为总曲率或全曲率；它们的平均数称为曲面在这一点的平均曲率，通常以表示，它描述了曲面在一点处的平均弯曲程度, 又称为中曲率。 由方程（2）及韦达定理，便得， 。 。三、 计算高斯(Gauss)曲率、平均曲率的例题 设是半径为的球面，由于，所以球面的高斯曲率，平均曲率 。【例1】 求正螺面的主曲率, 总曲率和全曲率.【解】直接计算得到螺面的第一和第二基本形式如下，由此便知正螺面上所有点都非脐点, 于是其上每点处都有两个不相等的主曲率. 将基本量代入法曲率的计算公式, 得到，由于 ，所以，有，于是正

4、螺面的主曲率k1; k2, 总曲率K和平均曲率H 分别为， 。【例2】 设是一条空间正则曲线, 是自然参数，其切线构成的曲面为，其中是的单位切向量. 求的Gauss曲率.【解】记曲线C 的曲率和挠率分别为，基本向量为。则，于是进一步计算得到，；所以，因此曲面S 的Gauss曲率为 。例1、 求曲面：的高斯曲率、平均曲率。解我们已经得出第一类基本量为，；第一基本形式为；第二类基本量为，第二基本形式为。 代入计算，可得，。容易验证 。求上半椭球面上的高斯曲率；求下半椭球面上的高斯曲率。 例2、求旋转曲面：。（这里，）的高斯曲率、平均曲率。解 ，。，则有 。， 。将基本量代入，可算出，。（2）若的全

5、曲率处处为零, 试判断曲面的形状?(3) 证明: 若的经线有垂直于旋转轴的切线, 则切点是曲面上的抛物点.(2) 由(1)知, 全曲率处处为零的充要条件是，(i) 若 ，则f(常数), 因而曲面是垂直于z -轴的平面.(ii) 若，即，那么，当常数时, 曲面为圆锥面; 当常数时, 曲面为圆柱面.(3) 若经线的切线垂直于旋转轴(即z -轴), 则从而K = 0, 所以切点为抛物点. 特别地，将平面上曲线，绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为，。,将基本量代入，可算出。，。将平面上曲线（，）绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为， 。四、 极小曲面定义 一个曲面如果它在每一点处的平均曲率，则称之为极小曲面。可

6、以证明，给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面，即平均曲率为零的曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。 五、 旋转的极小曲面现在我们要寻找出旋转的极小曲面，即求出的旋转曲面。将平面上曲线，绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为。 我们已知 。由可得，由此得，即积分后，我们得到，。从而可得,上式可变成,积分后，得,于是,又，故得 ，这里省去了积分常数，因为它只不过表示沿平行于旋转轴的平移而己。 因此因此曲面是由悬链线旋转而成，称为悬链面。在形状上它很像压扁了的单叶双曲旋转面。故 旋转的极小曲面是悬链面。将平面上曲线（，）绕轴旋转一周，则所得旋转曲面为，我们已知 。 若，则有， ，常数，（若，此时旋转曲面为平面。），故得 。法曲率的最值的特征值性质考虑法曲率的最值和最值方向的特征值、特征向量性质。令，则有，因此，最大值、最小值问题转化为讨论在条件下的最大值、最小值问题。因为是有界闭集，在上连续，所以在上存在最大值和最小值.存在，使得。记 。对任意的实数及都有，展开计算，得，对时，有， 令，得 ；对于时，有， 令，得 ；故有，（任意）从而， 同理可证， 方程组，有非零解当且仅当，。由于，满足，即是该方程根。由韦达定理，便得，