第三章中值定理与导数的应用答案

1、习题3.1（A）一 选择15 BCBDB二 计算与证明1若，证明。证明：令，则 当时，从而在单增 因为，故，即2设，证明。证明：10：令，则 因，则，从而在单减。 故，即20：令，则 当时，从而在单减 故，即由100、20知，（B）一 选择14 CBDD二 计算与证明1求解：令，则在上连续，在可导，故由拉格朗日定理知，存在一点，使 当时，则 故原式2设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。证：令，因为在上连续，且，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即。 下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，在上运用拉格朗日中值定理，则有，使得 这与题设矛盾，故只有一个使。3设在上

2、具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。证明：由题设知在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使得。因为，则由题设知在上连续，在内可导，且，故在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使，4设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。证：在及上都满足拉格朗日定理条件，则存在，使得因为，则，因在内二阶可导，则在上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点，使。习题3.2一 选择15 CBABD二 计算1求解：原式2求解：原式3求解：原式4求解：令，则原式5求解：令，则 故原式 令，则原式6求极限。解：令，则原式7求解：原式习题3.3略习题3.43.6（A）一 选择18 CACB

3、C DCD 二 计算1求函数的单调区间。解： 当时， 当时， 当时， 故在及单增，在单减。2求函数的极值。解： 令得 当时，从而单减 当时，从而单增 故时，取极小值03求函数的单调区间与极值。解： 令，得或 故可疑极值点1，1-+-极小值0极大值4当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。解：由于在处有极值，则，从而 当时，从而单增 当时，从而单减 故在处取得极大值。5求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长。解：设矩形在第一象限的顶点坐标为，则故矩形面积为当时，取最大值， 矩形边长分别为和。6函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。解：，因，则是开口向上的抛物线 要使没有极

4、值，则必须使在是单增或单减 即必须满足或 故只有时，才能使成立 即时，没有极值。7试证的拐点在曲线上。证：，设是的拐点，则 即的拐点在曲线上。8试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。证：， 令得：，故三个拐点， 容易验证：、在同一直线上。9试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。解：， 令，得或-1 则拐点为及 10在拐点处切线斜率为 从而在拐点处法线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以 20在拐点处切线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以。 故时，曲线的拐点处的法线通过原点。（B）一 选择16 DBDDC C二 计算与证明1试证当时，取得极值。证： 故时，有解 当时，从而单增

5、 当时，则单减 当时，则单增 故在处取得极大值在处取得极小值2求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。解：设是抛物线上任一点，则到的距离为 从而 令，得或 10当时，只有一个驻点 当时，从而单减 当时，从而单增 故是的极小值点，极小值为2当时，有三个驻点， 当时，从而单减 当时，从而单增 当时，从而单减 当时，从而单增 故是极小点，极小值为习题 3.7一 选择1. B二 计算略自测题一 选择13 BDC二 解答1求解：令，则，从而 故原式2求解：令，则 故原式3设函数二次可微，有，证明函数，是单调增函数。证：当时，连续 由于 故 因为 所以在处连续，故在上连续。 令，则 当时，单增，从而 当时，单减，从而 故时，从而因为，则，从而有， 故是单调增函数4研究函数的极值。解：10当时， ，从而 令得 当时，则单增 当时，则单减 故是的极大值点，极大值为 20当时，从而 说明单增，故是极小值点，极小值为0 30当时，从而 说明单减，故是极大值点，极大值为15若在上有二阶导数，且，试证在内至少存在一点，满足。证：由泰勒展式，有， 令，得 于是 令  ，则 故结