第6讲微分方程

1、第六讲 微分方程内容提要： 一、 微分方程的概念1 微分方程：2 微分方程的阶3 微分方程的解隐式解4 微分方程的通解与隐式通解5 微分方程的特解6 微分方程的初值问题7 微分方程的积分曲线8 增根与失根问题：（奇解：不能从通解中得到的解）例1 求微分方程的通解。解：。 增根：原方程解的曲线不过原点例2 解方程。解：JCP306，通解为：；失根：实际上微分方程的解包括或说积分曲线过原点。 建议：注意题目是 解方程 还是 求方程的通解二、 一阶微分方程1 可分离变量方程： 例。解：拆不成就捆令成可分离了注意倒过来的情况：-JCP3132 齐次方程： 3 一阶线性方程：其解：建议：例即：注意倒过来

2、的情况：，即4 *贝努利方程三、 *可降阶的微分方程1 直接积分型2 不显含Y型3 不显含X型四、 高阶线性微分方程解的结构1 齐次的：结论1：如果与是方程的两个解，则也是其解结论2：如果与是方程的两个无关的解，则是方程的通解推论：如果是齐次方程的N个无关的解，则其通解为 2 非齐次的：结论1：设是方程的一个特解，则是对应的齐次方程的通解，则是非齐次的通解结论2：如果非齐次方程为而与分别是方程 和的特解，则是原方程的特解五、 二阶常系数线性微分方程1 常系数齐次线性微分方程特征方程的两个根微分方程的通解两个不相等的实根两个不相等的实根一对共轭复根例1： 例2： 例3： 2 常系数非齐次线性微分

3、方程（简单的） 特解的求法：待定系数法，（常数变易法，微分算子法） 结论1：如果，则方程有形如的特解， 例1： 例2： 例3 解1：不是特征方程的根，故代入原方程得C=1 解2：是特征方程的单根，故代入原方程得解3：是特征方程的重根，故代入原方程得 结论2：如果，则方程有形如的特解， ， 例4： 例5 解4：是特征方程的单根，故代入原方程得即： 解5：不是特征方程的单根，故代入原方程得即：六、 微分方程的简单应用1 几何中的应用2 *力学中的应用3 经济应用第六讲 微分方程-题型一、 解与通解问题例 ，通解，不包括二、 一阶线性方程：其解：例1 设可导，且，求解：将原方程两边乘以X，得对左端积

4、分令，求导得：即：通解：例2 求解微分方程解：，对应的齐次方程：的解为，再用常系数变易法代入原方程求出解。解二：直接用公式：通解为，故通解为练习：求方程的通解。 （ 三、 高阶线性微分方程解的结构例 解：对应齐次方程通解为： （特征方程为）的特解为代入得C=1/2，即的特解为代入得：即： 原方程的通解为四、 微分方程的初值问题例 设为一阶连续函数，且满足，求解：显然，则， 注意边值条件： 齐次方程的通解为： 非齐次方程的一个特解为：代入解得故通解为： 由初值条件得故注意：积分方程化为微分方程时，不要忘记找出隐含的初始条件。五、 简单应用例 （01S2）设L是一条平面曲线，若上任一点到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在Y轴上的截距，且L经过，试求L的方程。解：设曲线L过点的切线方程为，令X=0，则该切线在Y轴上的截距为，由题设有这是齐次微分