第五章___不定积分

1、第五章 不定积分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解原函数、不定积分的概念及其性质2掌握不定积分的基本公式3掌握不定积分的换元法和分部积分法重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法难点 不定积分的换元法和分部积分法（二）内容提要1原函数与不定积分（1）原函数设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得在该区间任一点处，均有,则称为在该区间上的一个原函数关于原函数的问题，还要说明两点:原函数的存在问题：如果在某区间上连续，那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明）原函数的一般表达式：若是的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数(2)不定积分若是

2、在某区间上的一个原函数，则的全体原函数（为任意常数）称为在该区间上的不定积分，记为，即 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数对于这两个式子，要记准，要熟练运用2不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式如下： 3不定积分的性质（1）积分对于函数的可加性，即,可推广到有限个函数代数和的情况，即 (2)积分对于函数的齐次性，即 4分部积分公式 二、主要解题方法1直接积分法例1 计算（1） ， （2）解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即 =（2

3、）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换 得原式=+=小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理然后分项计算2换元积分法（1）第一换元积分法(凑微分法） = .例2 计算 （1） ， （2）解 （1） 选择换元函数使所给积分化为基本积分形式，再求出结果 为此，令 ，则 ，于是 =为简便起见，令 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,= （ 称为凑微分）（2）=小结 凑微分法一般不明显换新变量，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便（2）第二换元积分法= （其中 是单调可微函数） 例3

4、计算 （1） ， （2）解（1） 令, 则 , ,于是原式=.（2） 设 , , 于是1原式= = = = 小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像 也可用函数的三角代换求出结果通常 当被积分函数含有根式 时，可令 ,当被积分函数含有根式 时，可令 , 当被积分函数含有根式 时，可令 .3. 分部积分法 分部积分的公式为 =.应用此公式应注意:（1） 要用凑微分容易求出,（2） 比容易求.例4 计算 （1） ， （2） 解 （1） 选 ， ， , 于是 原式 , 对于 再使用分部积分法,选， , 则 ，,从而 =原式=（）,为了简便起见，所设 , 等过程不必写出来，其解题步

5、骤如下:=.（2） = = = =+ =+,式中出现了“循环”，即再出现了移至左端，整理得=+小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有以及上面所讲的等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数三、学法建议1本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式如 ， ，,等等2不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法如 ，先换元，令，再用分部积分法即