第五章微分学SECTION32

1、四、隐函数1. 单变量隐函数对于由方程F(x,y)=0所确定的隐函数有下述定理:存在定理 设函数F(x,y)在点M0(x0,y0)的某一邻域* 邻域的概念见第二十一章，这里M0的领域是指包含M0的某一矩形R内定义并且满足下列条件:(i) F(x,y)及其偏导数在R内连续,(ii) F(x0,y0)=0,(iii)0,那末在点M0(x0,y0)的某一邻域;)内有唯一的单值函数y=f(x)存在,具有下列性质:1°Fx,f(x)0,且f(x0)=y0, 2° 在区间()内函数f(x)连续,3° 它在这区间内有连续的导数.导数的计算(0)(0)2. 多变量隐函数对于由方程

2、F(x,y,z)=0所确定的隐函数有下述定理:存在定理 设函数F(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义并且满足下列条件:(i) F(x,y,z)及其偏导数,在R内连续,(ii) F(x0,y0,z0)=0,(iii) (x0,y0,z0) 0,那末在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域;)内有唯一的单值函数z=h(x,y)存在,具有下列性质:1°Fx,y,h(x,y)0,且h(x0,y0)= z0,2° 函数h(x,y)连续,3° 它有连续的偏导数.导数的计算,(0) 如果需要求所有一,二,各阶的偏导数,只要将恒等式F(x,y,z)=0两边求

3、一阶,二阶,三阶,.各阶的全微分,然后和全微分dz,d2z,的定义形式对比,即得.注意,对于由方程F(x1,xn,y)=0所确定的隐函数有类似结果.3. 由方程组所确定的隐函数对由方程组(1)所确定的隐函数有下述定理:存在定理 设函数F(x,y,z)及G(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义,并且满足下列条件:(i) F(x,y,z),G(x,y,z)及其所有偏导数都在R内连续,(ii) F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0, (iii) 行列式J(x,y,z)=在点P0(x0,y0,z0)不等于零:J(x0,y0,z0)0.那末在点P0(x0,y0,z

4、0)的某一邻域;)内有唯一的一组单值函数y=f(x),z=g(x)存在,具有下列性质:1° Fx,f(x),g(x)0,Gx,f(x),g(x)0,且f(x0)=y0,g(x0)=z0,2° 在区间()内函数f(x),g(x)连续,3° 在这区间内有连续导数.导数的计算 将y和z看作x的隐函数,将方程组(1)对x微分得这是关于及的线性方程组,其行列式J0,由此可以解出及.注意,对于由方程组所确定的隐函数有类似的结果.五、微分表达式中的变量替换1.单变量函数设y=f(x),并有一个含有自变量、因变量及其导数的表达式H=F(x,y,)当作变量替换时,各导数可按下列方法

5、计算:作自变量变换的情形 设变换公式为x=这时 ,(1)自变量和函数都作变换的情形 设变换公式为x=,y=式中t为新的自变量,u为新的函数.这时,由复合函数的微分法则得到,把这些式子代入公式(1),即得结果.2. 多变量函数作自变量变换的情形 设z=f(x,y),并有一个含有自变量、因变量及其偏导数的表达式H=F(x,y,z, ,)变换公式为x=,y=式中u和为新的自变量,则偏导数, 由下列方程确定:=+其它高次偏导数也可仿此求出.自变量和函数都作变换的情形 设变换公式为x=,y=,z=其中u, 为新的自变量, w=w(u,v)为新的函数,则偏导数, 由下列方程确定:+)+)=+其他高次偏导数

6、也可仿此求出.注意,当H内出现的不是个别的偏导数,而是已给阶次的全部偏导数,那末求逐次偏导数时利用全微分比较方便.六、微分学的基本定理(中值定理)洛尔定理 如果(i)函数f(x)定义在闭区间a,b上而且是连续的,(ii)在开区间(a,b)内存在有限导数,(iii)在区间的两端点处函数值相等: f(a)= f(b).那末在a与b之间至少存在一点c,使=0.即曲线y= f(x)在点(c, f(c)处的切线是水平的(图5.6).特别,若f(a)= f(b)=0,洛尔定理可简述如下:在一个函数的两个根之间,它的一阶导数至少有一个根.注意,函数f(x)须在闭区间a,b上连续,并且在开区间(a,b)内点点

7、要有导数存在,这对于定理的结论的正确性是很要紧的.例如函数f(x)=在区间0,1上,除去在x=1时有间断以外满足定理的一切条件,但在(0,1)内处处都是=1.又例如由等式f(x)=x()及f(x)=()所定义的函数,在这区间内除去当x=时(双边的)导数不存在以外,它也满足定理的一切条件,可是导数在左半区间内等于+1,而在右半区间内等于.定理的条件(iii)也是很重要的,例如函数f(x)=x在区间0,1上,除去条件(iii)以外满足定理的一切条件,而它的导数处处是=1.中值定理 如果(i)f(x)定义在闭区间a,b上而且是连续的,(ii) 在开区间(a,b)内存在有限导数,那末在a与b之间至少存

8、在一点c,满足等式= (a<c<b)(1)图5.7即曲线y= f(x)在点(c, f(c)处的切线与弦AB平行(图5.7).这个定理也称为有限改变量定理或拉格朗日定理.(1)式也常写成以下几种形式:f(b)f(x+x)x(x<c<x+x)y= f(x+x)()由中值定理可得定理如果在区间a,b上的每一点都有=0,那末函数f(x)在这个区间上是一个常数.柯西定理 如果(i)函数f(t)及g(t)在闭区间a,b上连续,(ii)在开区间(a,b)内有有限导数,(iii)在区间(a,b)内0.那末在a与b之间至少存在一点c,使图5.8=(a<c<b)这公式称为柯西公

9、式(图5.8).柯西定理常称为微分学的广义中值定理,因g(t)=x时,这个公式就是公式(1).多变量函数的中值定理 如果(i)函数f(x,y)定义在闭区域上并且连续,(ii)在这区域内部(即在它的所有内点)有连续的偏导数,今考察D中的两点M0(x0,y0)及M1(x0+x,y0+y)假设这两点能用全部位于D区域内的直线段M0M1来连接,则下面的公式成立:f(x0,y0)=f(x0+x,y0+y)=(0<<1)由中值定理可得定理若在闭连通区域D*内连续的函数f(x,y),在此区域内偏导数都等于零,即=0,则这函数在区域D内必为常数.七、泰勒公式与泰勒级数1. 单变量函数的泰勒公式泰勒

10、局部公式 如果函数f(x)满足条件:(i)在点a的某邻域内有定义,(ii)在此邻域内有一直到阶的导数,(iii)在点a处有n阶导数,那末f(x)在点a的邻域内可表成以下各种形式:1° f(a+h)= f(a)+ * 若区域的任意两点可以用一“折线”来连接，而该折线的一切点都在这区域中，这区域就称为连通区域. = (当h0)2° f(x)= f(a)+ = (当xa)特别,当a=0时,有马克劳林公式f(x)= f(0)+ = (当x0)泰勒公式 如果函数f(x)满足条件:(i)在闭区间a,b上有定义,(ii)在此闭区间上有一直到n阶的连续导数,(iii)当a<x<

11、b时有有限导数,那末f(x)在闭区间a,b上可表成以下各种形式:1°f(a+h)= (a<a+h<b)式中Rn(h)=(0<<1) (拉格朗日型余项)或Rn(h)=(0<<1)(柯西型余项)2° f(x)= ()式中Rn(x)= (a<<b) (拉格朗日型余项)或Rn(x)= (0<<1) (柯西型余项)特别,当a=0时,有马克劳林公式f(x)=()式中Rn(x)= (a<<b) (拉格朗日型余项)或Rn(x)= (0<<1) (柯西型余项)泰勒级数 在带余项的泰勒公式2°中,如果

12、把展开式进行到()的任意高的乘幂,则有f(x)=f(a)+不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x),都称它为函数f(x)的泰勒级数.()的乘幂的系数f(a),称为泰勒系数.马克劳林级数 在带余项的马克劳林公式中,如果展开式进行到x的任意高的乘幂,则有f(x)=f(0)+不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x),都称它为函数f(x)的马克劳林级数.x的乘幂的系数f(0),称为马克劳林系数.多项式的泰勒公式(秦九韶法)见第三章,§2,一.2. 多变量函数的泰勒公式泰勒公式 假定在某一点(x0,y0)的邻域D内二元函数f(x,y)有直到n+1阶为止的一切连续偏导数.分别给x及y以改变量

13、h及k,使连结点(x0,y0)及(x0+h,y0+k)的直线段不越出D外,那末f(x,y)在D内可表成形式:1°f(x0+h,y0+k)= (0<<1)式中符号的意义如下:把,看作一个数(而不是看作微分运算的符号),并根据二项公式展开,得到=20特别,当x0=0,y0=0时,得到马克劳林公式f(x,y)=对二元以上的多变量函数有类似的公式.泰勒级数 在上面泰勒公式2°中,如果把展开式进行到()和()的任意高的乘幂,则有f(x,y)=不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x,y),都称它为f(x,y)的泰勒级数.马克劳林级数 在上面马克劳林公式中,如果把展开式进行

14、到x,y的任意高的乘幂,则有f(x,y)= f(0,0)+不论它是否收敛,以及它的和是否等于f(x,y),都称它为f(x,y)的马克劳林级数.八、幂级数1单变量的幂级数定义 下列形式的级数（1）（式中a0,a1,都是实常数）称为x的幂级数.更一般地，级数(式中a是一个实常数)也称为幂级数.绝对收敛 如果级数（1）当x=时收敛，那末对于满足|x|<|的任何x的值，级数（1）都绝对收敛.收敛半径与收敛区间 对于任何一个幂级数，都有一个数R(0R<+),使得当|x|<R时，级数绝对收敛，当|x|>R时，级数发散.这个数R称为给定级数的收敛半径，区间(R,R)称为它的收敛区间，

15、而在区间的两个端点x=R和x=R，级数可能收敛也可能发散.收敛半径R可按柯西-阿达玛公式或公式R=计算(若极限存在).阿贝尔定理 若幂级数S(x)=( |x|<R)在收敛区间的端点x=R处收敛，则S(R)=内闭一致收敛 若级数（1）的收敛半径等于R，则对任意满足0<<R的，级数（1）在区间，上一致收敛.连续 幂级数的和在收敛区间内的每一点处都连续.逐项积分 在级数（1）的收敛区间内的任何一点x，都有式中S(x)表示级数（1）的和.逐项微分 幂级数（1）的和S(x)在这个级数的收敛区间内的任一点上都可微.逐项微分级数（1）得到的级数与（1）具有同样的收敛半径，并且这个级数的和就

16、等于.高阶导数 若级数（1）有收敛半径R，则它的和S(x)在区间(,R)内的任何一点都有任意阶导数，并且函数（n=1,）就是逐项微分级数（1）n次所得到的那个级数（它的收敛半径也同样是R）的和=（<x<R）2多变量的幂级数双变量的幂级数 按变量x,y的正整数幂次排列的形如（2）的重级数称为双变量x,y的幂级数.多变量幂级数的收敛范围的研究有很多地方与单变量的不同，但仍有定理若在x=x0,y=y0时级数（2）收敛，则当|x|<|x0|,|y|<|y0|时，级数也收敛.收敛范围 如果M是两个变数x,y的区域，在其中各点上幂级数（2）都收敛，而在其外各点上幂级数（2）发散，在

17、边界点上可能发散，也可能收敛.那末区域M称为幂级数（2）的收敛范围.双变量的幂级数的收敛范围并不一定是|x|<R1，|y|<R2的形式，例如1°级数的收敛范围是|x|<1，|y|<1.2° 级数处处收敛.3° 级数=1+x+xy+x2y+x3y+x2y2+(=(1+x+)1+xy+=)的收敛范围是|x|<1，|xy|<1.以上结果容易推广到多变量的幂级数中去.3函数的幂级数展开式幂级数的唯一性定理 如果函数f(x)(或f(x,y)在x=0(或x=0,y=0)可以展开成幂级数f(x)=或那末这个幂级数就是它的马克劳林级数.幂级数的

18、存在性定理1° 若函数f(x)在x=0具有任意阶导数，且当xR时式中Rn(x)是马克劳林公式的余项，则函数f(x)在区间xR上可以展开成幂级数.实际上可以证明，存在由函数f(x)产生的马克劳林级数，它虽然收敛，但它的和却不等于f(x).2° 若函数f(x,y)在点(0,0)具有任意阶偏导数，且当(x,y)是xy平面上某一区域M上的点时式中Rn(x,y)是马克劳林公式的余项，则函数f(x,y)在区域M上可以展开成幂级数.上述理论容易推广到二元以上的多变量函数的情形.九、实数域上函数的幂级数展开式表 函 数幂 级 数 展 开 式收 敛 域二项式(m>0) 函 数(当m为正整数时