第十一章无穷级数(答案)

1、第十一章 无穷级数(一)1解：，(),原级数发散。2解：，()，原级数收敛且和为。3解：，()，原级数收敛且和为。4解：，由比值判别法知原级数发散。5解：，由比值判别法知，原级数收敛。6解：，原级数发散。7解：，而发散，由比较判别法知原级数发散。8解：，由比值判别法知，原级数收敛。9解：，由比值判别法知，原级数收敛。10解：，而，故，由根值判别法知，原级数收敛。11解：，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。12解：，而发散，故发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然，且，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13解：，原级数发散。14解：此为交错级数，()而级数发散，故发散，即原

2、级数非绝对收敛，显然单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15解：，当时，级数为发散，当时，级数为收敛。故原级数的收敛区间为。16解：，收敛区间为。17解：，。18解：，。故当，即时收敛，当或时发散，当时，级数为，收敛；当时，级数为，发散。故收敛区间为。19解：，当时，即时收敛，当，即或时发散，。当时原级数为，发散，故收敛区间为。20解：，当时，原级数，发散。故收敛区间为。21解：设，。22解：设，则，即，。23解：，。24解：，。25解：，。26解：，即27解：为偶函数，令，得，且在上连续，。28解：由于是奇函数，故，。29解：，时，。时，所以除上均成立。30解：1）正弦级数，注意到，作奇延

3、拓，使在上恒有。再将周期延拓得，是一个以为周期的连续函数，计算付氏系数如下：，(),.2)余弦函数作偶延拓设，使在上恒有。再将周期延拓得，是一个以为周期的连续函数，计算付氏系数如下：,.(二)1解：, ，原级数收敛且和为。2解：，原级数收敛且和为。3解：，原级数收敛且和为。4解：，由比值判别法知原级数收敛。5解：，由根值判别法知原级数收敛。6解：当充分大时有，而，故，由根值判别法知原级数收敛。7解：，当，即 时，原级数收敛；，即 ，原级数发散，当时不定。8解：当时，级数发散。 当时，()，而收敛，级数发散。9解：，收敛，由比较判别法知级数收敛。10解：，故也发散，故也非条件收敛。11解：，而发

4、散，故级数发散，即原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12解：，而发散，发散，即原级数非绝对收敛。记原级数为为交错级数，又，即，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。13解：，故对，原级数收敛，所以收敛半径为，收敛区间为。14，当时，原级数发散，故收敛区间为，其中。15解：，当，即时，原级数收敛，当，即或时，原级数发散，当，原级数收敛，当时原级数也收敛。故原级数收敛半径为2，收敛区间为。16解：，当，即，原级数收敛。当时，原级数收敛，当时，原级数发散。故原级数的收敛区间为。17解：，但，故有，。18解：，而，。19解

5、：，故，。20证明：考虑级数，逐项微分得：，。，取，得。21解：， 。，。22解：，()。23解：，。25解：，。由于对，有，所以。因此 以周期的周期函数，并且显然只有当，时是及 第一类间断点，所以符合狄利克雷收敛定理的条件，故付氏级数在处处收敛， ，有。26解：奇函数，所以。所以，除均成立，()。27解：又函数展成正弦级数为，又展开成余弦级数为，。(三)1解：,故原级数收敛，且和为。2证：，由比较判别法知原正项级数收敛。3解：，由比值判别法知，原级数发散。4解：考虑函数，由得，易知时的最大值，所以当地，但为收敛的几何级数，原级数也收敛。5解：，有；而当时，有，当时，而级九可判别其是收敛的，原级数收敛。6解：因为已知级数 条件收敛的级数。设其部分和数极限为，则有，而级数，取其前项，其和与的部分和相等且为，当时，故原级数收敛且和为。7解：，当，即时，收敛；当时发散。故，当时，级数为发散，故原级数收敛域为。8解：，由于，而当，故；当时，原级数为，由于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为。9解：当时，级数收敛。设，则，两边积分得：，()；再积分一次，()；，即原级数的和。10解：，因为当时，又当时，故展开式对所有的均成立，在展开式中令，得。11解：，()，故当，即当时级数收敛，