章作业参考解答

1、第9章 作业参考解答第190页1. 试用平面直角坐标系把二维波动方程分离变数。解：二维波动方程：（1）分离时间变数t和空间变数，令：（2）代入（1），得：（3）分解为两个方程：（4）（5）方程（4）的解为（6）（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在直角坐标下的表示式为（7）设：（8）代入上式，整理后有（9）（10）（11）第190页2. 试用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。解：二维输运方程：（1）分离时间变数t和空间变数，令：（2）代入（1），得：（3）分解为两个方程：（4）（5）方程（4）的解为（6）（5）式是亥姆霍兹（Helmholtz）方程，它在极坐标下的表示式为（7）将

2、分离，设：（8）代入上式，整理后有（9）得（考虑自然的周期条件）（10）（11）解（10）得本征值与本征函数为令 ，则方程（11）化为m阶贝塞尔（Bessel）方程（12）解得（13）第194页 2. 在的邻域上求解。解：（1）这里，所以是方程的常点。设，（2）代入（1），整理得即（3）由项系数，得；由项幂次的系数和为零，得系数递推公式 或 （5）由（5）得，由递推公式，可求出幂级数和的收敛半径就是说，只要x有限，级数解就收敛。第212页 2. 在的邻域上求解。这个方程即（9.1.2）解：（1）点是的一阶奇点，的二阶奇点，即是方程的正则奇点。在的邻域内，解具有如下形式，（2）将（2）代入（1）

3、，整理得（3）比较两边最低次幂项的系数，得：，因为，得判定方程：两个根为 ，。将大根代入（3），比较的系数有：得：，（）；得一特解：因为为整数，将（4）代回方程（1），有即因为是方程的解，所以，与项有关的系数为零，将代入，整理得（5）当，由项的系数和为零得，所以 ，可取任意值由（5） 项的系数和为零得： ，则，（，）所以仅存系数及项，同时将，代入（4），得方程（1）的解为第10章 作业参考解答第240页 1 以勒让德多项式为基，在上把展开为广义傅里叶级数。解：由于是l次多项式，而是四次多项式，所以 ，即比较两边系数，得解得所以第241页 5. 在本来是匀强的静电场中放置导体球，球的半径为。试求

4、解球外的静电场。解：取球坐标系，以球心为极点，过球心而平行于的直线为极轴。因为是导体球，所以球内电势处处相等，设为u0。无论是感应电荷产生的电势，或是总电势都是绕极轴旋转不变的，所以问题与无关。又因球面上感应电荷在无限远处产生的电场为零，所以在无穷远处，仍是原来的电场。因为在球外处处没有电荷，所以在球外的电势满足Laplace方程。定解问题为（1）在轴对称情况下，（1）的一般解为代入边界得，解得：，所以有代入边界，得比较两边的广义傅里叶系数，得， 所以最终解为第241页 6. 均匀介质球，半径为，介电常数为，把介质球放在点电荷的电场中，球心跟点电荷相距。求解这个静电场中的电势。解：取球心为球坐

5、标系的极点，极轴通过点电荷，无论是极化电荷产生的电势v，或是总电势u都是绕极轴旋转不变的，所以问题与无关。除了在介质球的表面（有极化电荷）和点电荷所在的点外，在球内外其他各处的电势都满足三维Laplace方程。1、球内电势：在轴对称情况下的一般解为：，考虑在球心应有限，所以，有（1）2、球外电势：在球外，由于有点电荷存在，电势在球外并不处处满足Laplace方程。这个问题可以这样解决：根据电势叠加原理，球外一点的总电势为点电荷电场的电势和极化电荷的电势（待求）之和。即（2）而极化电荷的电势在球外满足Laplace方程，考虑极化电荷在无穷远处电势应趋于零，定解问题为考虑边界条件，所以有（3）把（3）代入（2）（4）3、与的衔接电势在球面上连续，（5）电位移矢量的法向分量