第二章极限

1、第一节 数列的极限教学目的：理解数列极限的概念、计算，为研究微积分作好工具准备教学重点：数列的极限定义与计算教学难点：数列极限概念的理解教学内容：1. 数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆

2、面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正

3、整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为。以后，数列也简记为数列。如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当时的极限，记作它的解析定义是：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然收敛数列有下述3个性质性质1（极限的唯一性）数列不能收敛于两个不同的极限。性质2（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界。性质3（收

4、敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。小结：本节讲述了函数在各种趋势下的极限定义，熟练计算函数的极限。作业： P38第二节 函数的极限教学目的：理解函数极限的概念、左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：函数极限概念的理解教学内容： 数列作为定义在正整数集上的函数，它的自变量在数轴上不是连续变动的.因此说数列反映的是一种“整标函数”.但是，自然现象和社会科学及工程实际中的很多问题存在着“连续性”的变化过程，为了研究这类变化过程，就需要讨论函数的极限.在实践中，有时需要讨论当自变量的绝

5、对值无限增大（记作）时对应的函数值的变化情况；有时需要讨论当自变量在数轴上连续地变动而无限接近于(记作)时对应的函数值的变化情况.总之，经常需要研究在自变量的某一变化过程中，对应的函数值的变化趋势问题.如果在自变量的某一变化过程中，对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就称为在该自变量变化过程中的函数的极限.本节先讨论函数在无穷大处的极限，即时的极限，然后再讨论函数在点处的极限，即时的极限.一、函数在无穷大处的极限对于函数= (0)，当自变量的绝对值无限增大时，对应的函数值=无限接近于常数3.一般地，设函数在>处有定义，如果当自变量的绝对值无限增大(记作)时，对应的函数值无

6、限接近某个确定的常数，则称为函数当时的极限.时函数的极限可视为数列=当时的极限的推广，为此仿照数列极限的定义，可以给出时，函数极限的精确定义如下：定义1 设函数在>处有定义，如果对于任意给定的正数(无论它多么小)，总存在正数()，使得适合不等式>的所有，对应的函数值都满足<，那么常数就称为函数当时的极限，记作=或（当时）.如果>0且无限增大(记作+)，将上述定义中的>改写为>，就得=的定义；同样，<0而绝对值无限增大(记作)，将>改写为<，就得=的定义.从几何上来看，=的意义是：作直线和，则总存在一个正数，使当<一或>时，函数的

7、图形位于这两条平行直线和之间(图22).图22由上述这些极限定义不难得到如下结论： 存在当且仅当与都存在且相等.例1证明：.证这里，要使只要<，即>，因而对于任意给定的正数，取=，当>时，就有<，故 .例2 证明：.证这里，要使<，只要<，即<，对于任意的正数0<<1，取=，当<时，就有<，因此 .如果=或=，则直线是函数的图形的水平渐近线.由以上两例可知，是和的图形的水平渐近线.二、函数在有限点处的极限1.函数在有限点处的极限 先考察如下例子：例3 函数在（，+）内有定义，如图23所示.考察当时，函数的变化情况.图23为更直观

8、些，列表21如下：表2-10-0.1-0.3-0.4-0.49-0.5-0.51-0.6-0.8-0.9-1-1-1.2-1.6-1.8-1.98-2-2.02-2.2-2.6-2.8-3由上表可以看出，当越来越接近时，与2的差值越来越接近于0，当无论从大于还是从小于两侧趋向于时，可以任意小，即对于任意给定的正数，要使，只要取就可以，换句话说，当在点=的的邻域（，）内时，<恒成立.对于这种情形，我们可以称当时，=21有极限2.例4 函数=在（，1）（1，+）内有定义，考察当1时，函数的变化情况，列表22如下：表2-20.90.990.9991.00011.0011.011.11.91.9

9、91.9992.00012.0012.012.1由上表可以看出，当越来越接近1时，与2的差值越来越接近于0，无论是从大于1还是小于1的两侧趋向于1时，可以任意小，即对于任意给定的正数，恒成立.对于这种情形，我们可以称当1时，有极限2.从上面两个实例考察看到，研究趋向于时函数的极限，是指充分接近于时，函数值的变化趋势，而不是求在处的函数值.因此，研究趋向于时的极限问题，与函数在=处是否有定义无关.一般地，设函数在点的某个去心邻域内有定义，为常数，如果在自变量的变化过程中，对应的函数值无限接近于，就称是函数当时的极限.在的过程中，函数值无限接近于，就是无限接近于0.由于函数值无限接近于是在过程中实

10、现的，所以对任意给定的无论多么小的正数，要求充分接近于的所对应的函数值都满足<，而自变量充分接近于可表达为落在某个去心的邻域内，即0<<或（，）（，+），为某个正数.下面给出时函数极限的精确定义：定义2设函数在点的某个去心邻域内有定义，为常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得适合不等式0<<的一切，对应的函数值都满足不等式<，那么常数称为函数当时的极限，简称是在处的极限，记作=或（当时）.应该注意如下两点：（1）定义中0<表示.它揭示了时有没有极限与在点是否有定义无关；<揭示了与距离小于，所以0<<表示（，）（，+），其中（，

11、）是的左邻域，（，+）是右邻域，这两个邻域的并集就是的去心邻域，通常记为（，）或0<<；（2）定义2中的是随的给定而选定的，这个可以小于从<中解出的数，但不能比它大.函数当时的极限为的几何意义是：对于任意给定的正数，在直线的上方和下方各作一条直线和，则总有正数，使得在区间（，）与（，+）内函数的曲线介于这两条平行直线和之间.也就是说，这些点落在上面所作的矩形内（图24）.图24例5设c是常数，是定点，证明：.证因为=0，因此，对于任意给定的正数，可任取一个正数，例如取=1，当0<<1时，有=0<，所以.例6 证明：.证因为=，要使<，只要<，因此

12、可取=，这样，对于任意给定的正数，取=，当0<<时，有=<，所以.例7证明：.证因为=，所以对于任意给定的正数，要使=<，只要<，因此可取=，则当适合不等式0<<时，对应的函数值就满足不等式<，故 .例8 证明.证=，要使=<，即<sin<，只要.由于只需对充分小的，能找出满足条件的，因此不妨就小于1的正数来论证.对于任意给定的正数（0<<1），取，当0<<时，就有<，所以.利用函数极限的定义可以验证某个常数是在处的极限，但不是求函数在处的极限是的方法，求函数极限问题将在以后的章节中讨论.但可以证明

13、：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数等基本初等函数在其各自的定义域内任意点处的极限都存在，且等于该点处的函数值.例9指数函数，证明：.证因为=，要使<，即,只要 .所以只需要对充分小的正数，找出满足条件的正数，就可以对小于的任意正数进行论证.对于任意给定的（0<<），取=，当0<时，有<，故.例10 证明：.证 函数在点=1是没有定义的，但是函数当时的极限是否存在与函数在=1处有无定义无关.事实上，对于任意给定的正数，不等式，当约去因子后，化为，因此，只要取，当时，就有，故 .2.函数在有限点处的左、右极限在时函数的极限概念中，自变量可以是左侧的点（

14、即<），也可以是右侧的点（即>）.但有的函数仅在的左邻域有定义或者实际问题只需要讨论函数在左邻域的变化情况.为明确起见，引入函数的“左极限”的概念，它是指从左侧趋向于时，对应的函数值接近于一个常数.类似地有“右极限”的概念，其定义如下：设函数在某个左（右）邻域内有定义，如果对于任意给定的正数，存在正数，使得对满足不等式的一切，对应的函数值适合不等式<，那么常数称为函数在点处的左(右)极限.左极限记作或或；右极限记作或或.根据时函数的极限定义和左、右极限的定义，容易证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限都存在且相等，即=（记号“”表示等价）因此，当及都存在，但不相

15、等，或者与中至少有一个不存在时，就可断言在处极限不存在.例11 设函数=证明：当0时，的极限不存在.证因为=1，=1，即，所以不存在（图25）.图25例12 设函数=求，并由此判断是否存在.解=，因为，所以由函数在=处极限存在的充要条件知，=5.三、函数极限的性质 1.函数极限的唯一性如果（或）存在，那么该极限是唯一的，它的证明方法与上节证明数列极限的唯一性类似. 2.局部有界性与局部保号性如果=，则有(1)局部有界性：在的某个去心邻域内，函数有界；(2)局部保号性：当0（或0）时，在某个去心邻域内0(或0).证（1）由函数在有限点的极限定义知，对于=1时，存在一个正数，当0<<时

16、，就有<1，即，从而证得在的去心邻域（0，）内有界.（2）当0时，就取，则相应地存在一个正数0，在（0，）内，=0.当0时，取=，则相应地存在一个正数0，在U（0，）内，有+=+=0，这就证明了局部保号性. 3.局部不等式性如果=，且在的某个去心邻域内，函数0（或0），那么0（或0）.证设=，0，要证0.用反证法，假设0，则按局部保号性，在的某个去心邻域内应有0，与所给条件矛盾.局部保号性和局部不等式性指出了函数极限的符号与函数符号之间的对应关系.小结：本节讲述了函数在各种趋势下的极限定义，熟练计算函数的极限。作业：P43第三节 无穷大与无穷小教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握

17、无穷小量、无穷大量以及有量之间的关系，掌握它们的性质教学重点：无穷小量和无穷大量的概念教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质教学内容：前面我们研究了数列的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限、函数的极限，这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即定义1 当在给定的下，以零为极限，则称是下的无穷小量，即。定义2 当在给定的下，无限增大，则称是下的无穷大量，记作。显然，时，都是无穷大量，时，都是无穷小量。注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化

18、趋势。关于无穷大、无穷小有如下一些结论：定理1 在自变量的同一变化过程（或）中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限。定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。定理3 有限个无穷小的和也是无穷小。定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。定理5 如果，则存在，且。在这里应该注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如，当时，是无穷小，个这种无

19、穷小之和的极限显然为2。（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当时，是无穷大量，是有界量，显然。（4）下，其极限未必大于0。例如，显然，但。（5）无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。小结：本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质。作业：作业 P3第四节 极限的运算法则教学目的：掌握极限的性质及运算法则教学重点：掌握不同类型的未定式的不同解法教学难点：计算教学内容：在给定的趋势下，和都存在的情况下，有如下运算法则成立（1）（2）（3）（4）这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用，例如是一目了然的，下面就将几种常用的方法总结一下。1. 代入法：

20、直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如，又如，4. 化无穷大为无穷小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用定理求极限例如，（无穷小量乘以有界量）。6. 复合函数的极限运算设函数当时的极限存在且等于，即，但在点的某去心邻域内，又，则复合函数当时的极限也存在，且小结：本节介绍了不同类型的未定式的不同解法

21、，要熟练掌握这些方法作业：作业 P3P5第五节 两个重要极限、无穷小的比较教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法教学重点：利用两个重要极限求极限教学难点：利用第二重要极限求极限的方法教学内容：下面我们来介绍极限存在的两个准则：1. 准则1 如果数列及满足下列条件：（1），（2）那么数列的极限存在，且。准则2 单调有界数列必有极限如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。例求解：而所以原式极限为1。2. 第一个重要极限：利用收敛准则1，我们容易证得第一个重要极限（详见教材

22、）注1 为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型：成立的条件是在给定的趋势下，两个应该是一模一样的无穷小量。例如，。注2 第一个重要极限可以解决型，含三角函数的未定式。自我练习：（1）（2）（3）（4）2第二个重要极限：注1 上述三种形式也可统一为模型成立的条件是在给定趋势下，两个是一模一样的无穷小量。注2 第二个重要极限解决的对象是型未定式。例如，自我练习：（1）（2）（3）（4）（5）3. 无穷小的比较当在给定的趋势下，变量、都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小。如果，就说是和同阶无穷小；如

23、果，就说是关于的阶无穷小。如果，就说与是等价无穷小，记作。注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。小结：本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法，对无穷小量进行了分类。作业：P5P7第六节 函数的连续与间断教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质教学重点：连续的定义，间断点的分类教学难点：连续的定义，间断点的分类教学内容：1 数的连续性对，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。定义 设函数在点的某一邻域内有定义，如果

24、当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，那么就称函数在点连续。它的另一等价定义是：设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续。下面给出左连续及右连续的概念。如果存在且等于，即，就说函数在点左连续。如果存在且等于，即，就说函数在点右连续。在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。2 数的间断点设函数在点的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数有下列三种情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但；则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。下面我们来观察下述几个函数的曲线在点的情况，给出间断点的分类： 在连续。 在间断，极限为2。 在间断，极限为2。 在间断，左极限为2，右极限为1。 在 间断在间断，极限不存在。像这样在点左右极限都存在的间断，称为第一类间