第三章微分中值定理导数的应用

1、第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4 握用洛必达法则求未定式极限的方法。5 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6 了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1 罗尔定理如满足：（1）在连续. （2）在可导. （3）则至少存在一点使例设，则在区间（-1，0）内，方程有

2、2个实根；在（-1，1）内有2个根例设在0，1可导，且，证明存在，使。证：设在a,b可导，存在使即例设在0，1可导，且,证明存在 。解: 设，且由罗尔定理存在使即，亦即例习题6 设（复合函数求导）2、 拉格朗日中值定理如满足：在a,b连续；在（a,b）连续，则存在使。推论：如果在区间I上，则如果在区间I上，在单增（减）例对任意满足的x，都有设例设，证明求导证明作业：见各章节课后习题。二、洛必达法则未定形：如下的函数极限都是未定形。1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没

3、有具体意义。 1、（）型的洛必达法则(同理)定理：对函数和，如果：（1）, （2）在某个邻域内（后）有导数和，且；（3）存在（或无穷），则成立：=例：1) 2)3) 例： 1) 2) 3) (0)3、其它类型1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多项式： 在点的各阶导数： 得：二、泰勒中值定理：如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数，则对任一有：1、（N阶泰勒公式）称为余项。（1）（ 在与之间）拉格朗日型余项（2） 皮亚诺余项。2、当得麦克劳林公式：三、常见函数的泰勒展开1) 2) 3) 四、函数的性态1、极值1）定义：如在邻域内，恒有，则称为

4、函数的一个极大（小）值。可能极值点，不存在的点与的点。（驻点）驻点 极值点2）判别方法、导数变号。 极小值极大值、，例1、 设满足关系式，且,，则在点处 AA、取得极大值B、取得最小值C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减例2已知函数对一切满足如，则 AA、 是的极小值B、是的极大值C、是曲线的拐点D、不是的极值，也不是曲线 的拐点。例3 设函数在的某邻域内可导，则是的极大值。2、函数的最大值与最小值（1）求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。（2）在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。（

5、3）如分别为最小, 最大值。（4）实际问题据题意可不判别。 例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为，切线方程为即 三角形面积： ，令（唯一）故 为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I上可导 如则曲线是凹（凸）的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点和不存在的点例1、 设，试讨论的性态。x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+)y+0-间断+0+y-0+y单调增上凸极大值单减上凸单增上凸拐点(1,0)单增下凸渐近线如则称为水平渐近线如 则称为垂直渐近线渐近线可能没有，或多条。例2、求渐近线（斜渐近线不讨论）解：为水平渐近线垂直渐近线例2、 曲线的渐近线有 4 条4证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、 当，试即证：证： 设，在连续，可导，由拉格朗日中值定理 即 例2、设，证明证： 设单增，当设单增，当例3、当证明 证： 令 令得 驻点唯一， 极小为最小值即 例4、 当 证明 证: 设令 , 驻点唯一当 ,在