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1、第九章重积分第一节 二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义; 二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:一、 二重积分的概念与几何意义1、【定义】:设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积，并作和，如果当各小闭区域的直径中的最大值时，这和式的极限存在，且此极限与小区间的分法以及点的取法无关，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为，即.其中：称为被积函数,

2、 称为被积表达式,称为积分变量, 称为面积元素, 称为积分区域, 称为积分和.2、面积元素在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,则面积元素为 故二重积分可写为 .3、【二重积分存在定理】 设是有界闭区域上的连续函数,则二重积分存在.4、二重积分的几何意义(1)当被积函数时,二重积分表示以为顶,以为底面的曲顶柱体的体积(2)当被积函数时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域上连续.1, 为常数.2.二重积分的线性性：设为常数则上述两式合并为.3(二重积分对区域可加性),.4, 为的面积.5(积分不等式)若,则.注意：若在上但等号不是恒成立，则有.推

3、论: .6.【积分估值定理】设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，则 .其中为的面积.7.【积分中值定理】设函数在闭区域上连续，则在上至少存在一点使得.为的面积.8设区域，且与关于轴对称；（1） 当关于是偶函数即 时，有 .当关于是奇函数时即时，有.(2) 类似有设区域，且与关于轴对称；当关于是偶函数时即时，有 .当关于是奇函数时即时，有 .三、应用举例例1比较与的大小,其中.解：如图,由于点在上,过点的切线为,那么在上有 ,所以.例2(05.4) 设,其中,则(A)(B)(C)(D)答(A).因为在区域上，,且为减函数，所以 ,从而 ,故 .例3设,当( )时,.(a)(b)(c)(d)答

4、(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为的上半球体的体积.由得选(b).例4 当是由( )围成的区域时,.(a)轴,轴及(b),及,(c),(d),答(a,b,c).因为表示积分区域的面积为,故只需考察哪些选项积分区域的面积为.例5 判断的正负.解：在区域上有且等号不恒成立，所以且等号不能恒成立， 故 .例6估计积分值.解：.（注意：积分区域为矩形）例7.试用适当符号连接 .解：在上有,在上.又由 ，由 ，故 .例8 设，证明 .证明 因为 ，又因为 ，由积分的估值性质得 .例9设（1）若在上有界且可积，则.（2）若在上连续，则.（1）证明：设分别为函数在上的最小值与最大值，则，由积分估值定理知又所以，由夹逼定理得 .（2）解：由积分中值定理知在上连续，所以 .小结：1.定义为二重积

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