第5章定积分95525

1、第五章 定积分一、基本内容（一）基本概念1. 定积分的定义：设函数在上有定义，任取分点.把区间分成个小区间称为子区间，其长度记为在每个小区间上任取一点，得相应的函数值，作乘积把所有这些乘积加起来，得和式，如果不论区间分成个小区间的分法如何及点怎样取法，当分点无限增多（记作）而每个小区间长度无限缩小，此和式的极限存在，即设，则称函数在可积，并将此极限值称为函数在上的定积分。记作，即.(二)定积分的计算1. 变上限积分定义 如果函数在上连续，则是积分上限的函数，称为变上限的定积分2. 牛顿-莱布尼兹公式设函数在上连续，是的一个原函数，则3. 定积分换元积分公式 设函数在上连续，函数在区间上单值且连

2、续可导，其值在上变化，且，则有在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限.4. 定积分的分部积分公式设函数在上有连续导数，则(三)广义积分1. 无穷区间上的广义积分(1).(2).(3). 无界函数的广义积分(1)设在上连续，,则(2)设在上连续，,则(3) 设在和上连续，,则二、练习题5. 1计算下列定积分：(1).解:原式.(2).解:原式.(3).解:原式由于.所以原式.(4) .解:原式.(5).解:原式,令,则.所以原式.(6).解：原式.(7).解：令,则.原式.(8).解：令,则.原式.(9).解:原式.(10).解:原式.(11).解:原式.(12).解:原式.5.2设，求

3、.解:.所以原式.5.3判断下列广义积分的敛散性：（1）.解：原式.所以原广义积分收敛（2）.解：原式.所以原广义积分收敛（3）.解：原式.所以原广义积分收敛(4).解：原式.所以原广义积分收敛5.4计算下列极限：（1）.解：原式(2).解：原式，又由原式，所以.(3).解：原式(4) .解：原式.(5)设连续，求.解：原式.5.5证明：.解： .又因为：.所以，即.显然，则有递推得：.5.6设为可微函数的反函数，且，证明：.证明：令，则，.所以.5.7设，试求.解:设，则.所以 ，联立上两式解得.所以.5.8求常数的值，使.解：.所以,此时原极限,所以.5.9设函数在上连续，且，证明：（1）

4、如果为偶函数，则也为偶函数；（2）当时，如果，则.证明：（1），令.所以：即如果为偶函数，则也为偶函数.（2）.因为，则单调递减，所以，所以 .5.10证明: .证明:令，则.，对.所以.5.11设,求的表达式.解:,则.所以当,时，；当时，； 当时，.即 .5.12设在上连续，且，证明：.方法一：证明：令，则.由题意，所以.即，因此在上单调递增，.所以 .方法二：证明：根据柯西施瓦兹不等式即得：.5.13设，计算.解：.由于，则，.所以，上式.5.14设和.证明:当时是的等价无穷小.证明：.所以,当时是的等价无穷小.5.15设处处连续，且，求.解：，.所以 .5.16设连续，求证： .证明：

5、.对于：.所以 .5.17设,在上连续，,试证：至少有一点，使成立.证明：令,则.根据题意，有罗尔定理，使.所以 即 .5.18设，试求：（1）的极值；（2）曲线的拐点的横坐标；（3）得值.解：（1）.令，则，因为在内，在内，所以在处取极小值，即极小值为 .（2）.，得.当时，,当时，,当时，.所以是拐点，拐点的横坐标为.(3).三、测验题1.填空：（1）.解答：.（2）.解答：.（3）设是连续函数，且则.解答：令，则，所以：，得，即.（4）设，则.解答：两端求导可得，所以.（5）.解答：令，则.2.单项选择题：（1）已知，则为（D）.A. B.C. D.解答：（2）设是连续函数，函数，其中，

6、则的值为（D）.A.依赖于和 B.依赖于,C.依赖于和,不依赖于 D.依赖于,不依赖于解答：所以选D.（3）若与在上皆可导，且，则必有（C）.A. B.C. D.解答：（略）（4）设，则（B）. A. B.C. D.解答：,又，所以选B.（5）下列广义积分收敛的是（D）.A. B.C. D.解答：A.， B.,C., D.所以选D. 2. 计算下列积分：（1）.解：原式.（2）.解：令，.原式.（3）.解：原式.（4）.解：原式.（5）.解：原式.（6）.解：原式.4.计算.解：令，则.,所以.由于 .因此 .5.设其中为连续函数，求.解：令，则.所以，即.两端求导，得.所以.因此.6.设在上可导，且，证明：证明：由拉格朗日中值定理：