第六节 洛必达法则

1、第一节 洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题  一.微分学中值定理拉格朗日中值定理   如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。   这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。  罗尔定理若在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理柯西中值定理柯西中值定理&

2、#160;  如果函数，在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且0，那末在(a，b)内至少有一点c，使成立。在求函数的极限时，常会遇到两个函数、都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限可能存在，也可能不存在通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为型或型。例如，就是型的未定式；而极限就是型的未定式我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，

3、属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、型未定式定理1 设函数、满足下列条件：（1），；（2）与在的某一去心邻域内可导，且；（3）存在（或为无穷大），则这个定理说明：当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（ospital）法则.例1计算极限.解该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得.例2计算极限解该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得注若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即例3计算极

4、限解由洛必达法则，得例4计算极限解二、型未定式定理2 设函数、满足下列条件：（1），；（2）与在的某一去心邻域内可导，且；（3）存在（或为无穷大），则注：上述关于时未定式型的洛必达法则，对于时未定式型同样适用例5计算极限解此极限满足洛必达法则，于是得例6计算极限解所求问题是型未定式，连续次施行洛必达法则，有例7计算极限解（利用等价无穷小量代换）使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极

5、限不存在习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：洛必塔法则只适用于型或型的极限.如果仍是型或型,则可继续使用洛必塔法则.如果不存在且不是,并不表明不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解.第二节函数的极值一、函数单调性的判定法  函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？  我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负

6、来判定函数的增减性.判定方法定理 设函数在上连续，在内可导.（）如果在内，那么函数在上单调增加；（）如果在内，那么函数在上单调减少.证明 （1）由于函数满足拉格朗日中值定理条件，故在上任取两点（不妨设），必有使 如果，必有，于是，即 这表明函数在上单调增加.同理可证，如果，函数在上单调减少.注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间若改为开区间或无限区间，该定理结论同样成立（2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数的导数，当时，但它在内是单调增加的，如图所示(图4-2)图4-2例1讨论函数的单调性.解的定义域为.因为， 所

7、以在其定义域内单调增加.例2：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(,)   因为：，所以可以判出：  当x0时，0，故它的单调增区间为(0,)；  当x0时，0，故它的单调减区间为(-,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。图4-2例3 讨论函数的单调性. 解的定义域为. .除时外，恒有，所以在及内恒有，因此，在内是单调减少的.例4 确定函数的单调区间.解的定义域为. =.的定义域被分成，四个区间当，时，单调减少； 当，时，单调增加从例4可以看出，有些函数在它的定义域上不是单调的，这时我们要把整个定义域划分为若干个子区间，分别讨论函数在各子区间内的单调性一般可以用使的点作为分界点，使得函数的导数在各子区间内符号不变，从而函数在每个子区间内单调具体作法通常用列表法令，得列表如下：+所以，函数在，内单调减少；函数在，内单调增加.例5 求的单调区间.解 函数的定义域为.=.当时，不存在；当时，.列表如下：0+所以函数在，内单