第五章微分学SECTION31

1、 §3 微 分一、单变量函数的微分1. 基本概念导数的定义及其几何意义 设函数y=f(x)当自变量在点x有一改变量时,函数y相应地有一改变量 ,那末当趋于零时,若比的极限存在(一确定的有限值)，则称这个极限为函数f(x)在点x的导数,记作图5.1这时称函数f(x)在点x是可微分的函数(或称函数f(x)在点x可微)。在几何上,函数f(x)的导数是函数y=f(x)表示的曲线在点x的切线的斜率,即=式中为曲线在点x的切线与x轴的夹角(图5.1)。单边导数=及=分别称为函数f(x)在点x的左导数和右导数。导数存在的充分必要条件是:=无穷导数 若在某一点x有=±则称函数f(x)在点x

2、有无穷导数。这时函数y=f(x)的图形在点x的切线与x轴垂直(当=+时,函数f(x)的图形在点x的切线正向与y轴方向一致,当=时,方向相反)。函数的可微性与连续性的关系 如果函数y=f(x)在点x有导数，那末它在点x一定连续。反之,连续函数不一定有导数,例如1°函数y=|x|在点x=0连续,在点x=0,左导数=1,右导数 =1,而导数不存在(图5.2)。图5.2 图5.32°函数y=f(x)=在点x=0连续,但在点x=0左右导数都不存在(图5.3)。2. 求导数的基本法则四则运算求导公式若c为常数,函数u=u(x),都有导数,则=0 =c（0）复合函数的导数 若y=f(u)

3、,u=都有导数,则=反函数的导数 如果函数y=f(x)在点x有不等于零的导数,并且反函数x=f1(y)在点y连续,那末存在并且等于，即=隐函数的导数 假定函数F(x,y)连续,并且对于每个自变量都有连续的偏导数,而且，则由F(x,y)=0所决定的函数y=f(x)的导数=式中，(见本节，四)。用参数表示的函数的导数 设方程组（<t<）式中和为可微分的函数,且,则由隐函数存在定理(本节,四,1)可把y确定为x的单值连续函数y=而函数的导数可用公式求得。用对数求导数法 求一函数的导数,有时先取其对数较为便利,然后由这函数的对数求其导数。例求的导数。解两边各取对数,得lny=pln(xa)

4、qln(xb)rln(xc)左边的lny为y的函数,而y又为x的函数,故应用求复合函数的导数的法则得到由此得所以3.函数的微分与高阶导数函数的微分 若函数y=f(x)的改变量可表为A(x)dx+o(dx)式中dx=x，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分,记作dy=A(x)dx函数y=f(x)的微分存在的充分必要条件是:函数存在有限的导数=,这时函数的微分是dy=dx上式具有一阶微分的不变性,即当自变量x又是另一自变量t的函数时,上面的公式仍然成立.高阶导数 函数y=f(x)的高阶导数由下列关系式逐次地定义出来(假设对应的运算都有意义)： =高阶微分 函数y=f(x)的高阶微分由下

5、列公式逐次定义：=式中.并且有=及莱布尼茨公式 若函数u=及=有n阶导数(可微分n次),则式中,为二项式系数。同样有式中，更一般地有式中m，n为正整数。复合函数的高阶导数 若函数y=f(u),u=有l阶导数，则式中，基本函数的导数表f(x)f(x)c0xnnxn1sh xchxch xshxth xcth xsech xcsch xAr sech xf>0取取+Ar csch x,x>0 Arch x=,x>1f>0取+，f<0Arth x=(x<1)ln ch xth xArcthx=(x>1)lnsechxcschx简单函数的高阶导数表f(x)m(

6、m1)(mn+1) (当m为整数且n>m时，=0)这里(2n+1)!=(2n+1)(2n1) (a>0)shxshx(n为偶数)，chx(n为奇数)chxchx(n为偶数)，shx(n为奇数)4.数值导数当函数用图形或表格给出时,就不可能用定义求出它的导数,只能用近似方法求数值导数.图解微分法 适用于用图形给出的函数求导数,例如机械设计中已知st图,求图,at图等,其基本步骤如下：(1) 将原坐标系Oxy沿y轴负方向平移一段距离得坐标系 (图5.4).图5.4(2) 过曲线y=f(x)上点M1(x1,y1)作切线M1T1.在坐标系内,过点P(1,0)作PQ1平行于M1T1交y轴于点

7、Q1 ,那末点Q1 (点)的纵坐标就是导数.以Q1的纵坐标为纵坐标,x1为横坐标作出点.(3)在曲线y=f(x)上取若干个点M1,M2,在曲线弯曲程度较大处点取得密些.仿上作法,在坐标系内得到相应点,顺次连成光滑曲线,即是导函数的图形.差商公式 在实用中常使用下列简单的近似公式,式中=（函数f(x)在点a的阶差分）（函数f(x)在点a的阶差分） （函数f(x)在点a的k阶差分）在函数的数值表中,如果有误差,则高阶差分的偏差较大,所以用以上公式不宜计算高阶导数.用插值多项式求数值导数 假定已经求出了函数y=f(x)的插值多项式Pn (x),它可以求导,则用近似,由f(x)=Pn(x)+Rn(x)

8、略去余项,得等等.它们的余项相应为,等等.应当指出,当插值多项式Pn(x)收敛于f(x)时, 不一定收敛于f'(x).另外,当h缩小时,截断误差减小,但舍入误差却增加,因此,采用缩小步长的方法也不一定能达到提高精度的目的.由于用插值法求数值微分的不可靠性,在计算时,要特别注意误差分析,或者改用其他方法.拉格朗日公式 (由拉格朗日插值公式得来,见第十七章,§2,三)式中()马尔科夫公式 (由牛顿插值公式得来,见第十七章,§2,二)()特别,当t=0时,有等距公式三点公式四点公式五点公式用三次样条函数求数值导数 这个方法能避免用插值法求数值导数的不可靠性.因为对于样条函

9、数(曲线y=f(x)的三次样条函数S(x)的作法见第十七章,§2,四),当被插值函数f(x)有四阶连续导数,且hi=xi+1xi0时,只要S(x)收敛于f(x),则导数一定收敛于,且S(x)f(x)=O(H4)，O(H3),其中H是hi的最大值,因此,可直接通过三次样条函数求数值导数得=式中,(i=0,1,2,)。若仅求样点xi上的导数,则=二、多变量函数的微分偏导数及其几何意义 设二元函数u=f(x,y)当变量x有一个改变量x而变量y保持不变时,得到一个改变量u=f(x+x,y)f(x,y)如果当x0时,极限=存在,那末这个极限称为函数u=f(x,y)关于变量x的偏导数,记作或,也

10、记作或,即=类似地,可以定义二元函数u=f(x,y)关于变量y的偏导数为=偏导数可以按照单变量函数的微分法则求出,只须对所论变量求导数,其余变量都看作常数.偏导数的几何意义如下:二元函数u=f(x,y)表示一曲面,通过曲面上一点M(x,y,u)作一平行于Oxu平面的平面,与曲面有一条交线,就是这条曲线在该点的切线与x轴正向夹角的正切,即=.同样,有= (图5.5).图5.5偏导数的定义不难推广到多变量函数u=f(x1,x2,xn)的情形.偏微分 多变量函数u=f(x1,x2,xn)对其中一个变量(例如x1 )的偏微分为也可记作.可微函数与全微分 若函数u=f(x,y)的全改变量可写为=+式中A

11、,B与x,y无关,则称函数u=f(x,y)在点(x,y)可微分(或可微),这时函数u=f(x,y)的偏导数,一定存在,而且=A, =B改变量u的线性主部=+dy称为函数u=f(x,y)的全微分,记作du=+dy(1)函数在一点可微的充分条件:如果在点(x,y)函数u=f(x,y)的偏导数存在而且连续,那末函数在该点是可微的.公式(1)具有一阶微分的不变性,即当自变量x,y又是另外两个自变量t,s的函数时,上面的公式仍然成立.上述结果不难推广到多变量函数u=f(x1,x2,xn)的情形.注意,在一个已知点,偏导数的存在一般说来还不能确定微分的存在.复合函数的微分法与全导数1° 设u=f

12、(x,y),x=(t,s),y=(t,s),则=+=+2° 设u=f(x1,x2,xn),而x1,x2,xn又都是t1,t2,tm的函数,则3° 设u=f(x,y,z),而y=(x,t),z=(x,t),则=4° 设u=f(x1,x2,xn), x1= x1(t), x2= x2(t),则函数u=f(x1,x2,)的全导数为齐次函数与欧拉公式 如果函数f(x,y,z)恒等地满足下列关系式f(tx,ty,tz)=f(x,y,z)则称f(x,y,z)是一个k次的齐次函数.对于这种函数,只要它可微,就有(欧拉公式)注意,齐次函数的次数k可以是任意实数,例如,函数就是自变

13、量x及y的次齐次函数.隐函数的微分法 设F(x1,x2,xn,u)=0,则(参考本节,四).高阶偏导数与混合偏导数 函数u=f(x1,x2,xn)的二阶偏导数为,和,后者称为混合偏导数.三阶偏导数为, ,。类似地可定义更高阶的偏导数.关于函数乘积的混合偏导数有下面公式:设u,都是x1,x2,xn的函数,则注意,混合偏导数一般与求导的次序有关,但是,如果两个同阶的偏导数,只是求导的次序不同,那末只要这两个偏导数都连续,它们就一定彼此相等.例如,如果在某一点(x,y)函数与都连续,那末一定有(x,y)= (x,y)高阶全微分 二元函数u=f(x,y)的二阶全微分为d2u=d(du)=或简记作d2u

14、=式中偏导数符号,经平方后出现,它们再作用到函数u=f(x,y)上,以下类同.二元函数u=f(x,y)的n阶全微分为dnu=多变量函数u=f(x1,x2,xm)的n阶全微分为dnu=偏导数的差分形式(表中h为x轴方向步长,l为y轴方向步长)图 示差 分 公 式图 示差 分 公 式 图 示差 分 公 式三、函数行列式(或雅可比式)及其性质设有n个自变量的n个函数 (1)它们定义在某一n维区域D中,并关于自变量有连续偏导数,则由这些偏导数组成的行列式称为函数组(1)的函数行列式或雅可比式。记作函数行列式具有与普通导数相似的一系列性质.1° 除函数组(1)外,再取在区域P中有定义且有连续偏

15、导数的函数组假设当点(t1,t2,)在P中变动时,对应点(x1,x2,)并不越出区域D,于是就可以通过x1,x2, 把y1,y2,看成是t1,t2,的复合函数.这时有= (2)它是一元的复合函数的微分法则y=f(x),x=；=的推广。2° 特别是,如果令t1=y1,t2=y2,=yn(换句话说,由新变量x1,x2,又回到旧变量y1,y2, ),则由(2)式得到=1它是一元函数的反函数微分法则y=f(x),x=的推广。3° 设有n个自变量x1,x2,的m（m<n）个函数y1,y2, ：式中x1,x2,又是m个自变量t1,t2,的函数：假设它们都有连续偏导数，那末y1,y2,作为t1,t2,的函数的函数行列式的表达式为等式右边的和式是从n个标号内每次取m个的一切可能组合而取遍的。当m=1时,上面的公式就是普通的复合函数的微分公式的推广.特别当n=3,m=2时,有4° 设有2n个自变量的n个方程所组成的方程组Fi(x1,x2,;y1,y2,)=0 (i=1,2,n