第三章中值定理与导数的应用21394

1、第三章 中值定理与导数的应用第1节 中值定理1若在可导且,则（ B ）。A.至少存在一点xÎ使B.不一定存在点xÎ使C.恰存在一点xÎ使D.对任意的xÎ均不能使2已知在可导，且方程在有两个不同的根a与b，则在（ A ）。A.必有根 B.可能有根 C.没有根 D.无法确定根的存在性3下列函数中在-1,1上满足罗尔定理条件的是（ C ）。A. B. C. D.4若，则的实根个数为（ B ）。A.个 B.个 C.个 D.个5函数在上满足拉格朗日定理的条件，则（ C ）。A. B.3 C. D.26、证明等式。证：设。由于所以，。为了确定，取得。故。7、设，证明

2、：。证：设，则在上连续，在内可导。于是由拉格朗日定理知存在使得，即，其中。因此有8、证明不等式证：若，显然有。若，不妨设。设，则在上连续，在内可导。由朗格朗日定理知存在，使得， 即，其中。因此。9、设在上可微，证明存在使得。证：设，则在上连续，在内可导，且。由拉格朗日中值定理知存在使得，即。10、设函数在上可导，证明：在内至少存在一点，使得。证：设，则在连续，在内可导，且由罗尔定理知存在使得。而，故有。11、若对任意的有，其中为常数，试证明为常值函数。证：任取，则由题设知。因此由夹挤定理知，即。由的任意性知在内恒为零，因此为常值函数。12、设在的某邻域内具有阶导数，且。试用柯西中值定理证明：，

3、。证：设，则在的某邻域内具有阶导数，且。对函数在以和为端点的区间上应用柯西中值定理可得，其中在和之间，在和之间，在和之间。因此在和之间，记。故有。第2节 洛比达法则1 设，且在点的某邻域中（点可除外），及都存在，且，则存在是存在的（ B ）。A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件 2求极限解：注意到当时，所以。3 .求极限 解：。另解：作变换，设，则当时，。于是。4 .求极限 解：设，则。于是。故。5 .求极限 解：设，则。于是。故。6 .求极限 解：设，则。于是。故7 .求极限 解：首先利用恒等变形可得。由于，所以当时，。因此有。故。8讨论函数在点处的连续性解：设，则。于是

4、所以，故函数在处不连续。9设函数具有二阶导数，且,试求。解：10. 试确定常数与，使得函数当时存在有限极限。解：注意到。因此要使得函数有极限，则必有，即 （1）又同理，要使函数有极限，必有，即。 （2）解方程组得，。另解：记。由于当时，所以有。据题设有，。解得，。第3节 泰勒公式1当时，求函数的阶泰勒公式。解：由于（），所以在处。于是有。其中。2求的阶麦克劳林公式。解：注意到，归纳可知。因此，。这样。其中。3利用泰勒公式求极限解：注意到当时，。又，所以。4 . 利用泰勒公式求极限 解：首先变形原式，。为了简化计算，我们作变换令，则有，原式。注释：事实上，在代换后我们也可以简单地使用洛必大法则原

5、式。5 .利用泰勒公式求极限 解：因当时，。又，所以。进而。6 .利用泰勒公式求极限解：首先变形原式，。作变换，则有，原式。注释：和上面类似在代换后可以简单地使用洛必大法则原式。7若在上具有阶导数，且，证明在内至少存在一点，使得。证明：首先注意到在上连续。由题设知在内可导，且，这样由罗尔定理知至少存在一点使得。又由题设知在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知存在使得。依此类推可知，存在使得。由于在上连续，在内可导及，所以据罗尔定理知存在使得。8设，在上可导，证明使得。证：设。显然在上连续，在内可导，且。这样对函数在上应用柯西中值定理知，至少存在一点使得即。第4节 函数的单调性和凹凸性1 若，在内

6、可导，且时，又，则（ D ）。A.在上单增且 B.在上单增且C.在上单减且 D.在上单增但的符号无法确定2若在内，函数的一阶导数，二阶导数,则函数在此区间内( D )。A单调减少，曲线是凹的 B单调减少，曲线是凸的C单调增加，曲线是凹的 D单调增加，曲线是凸的3设函数可导，则是的图形单调增加的（ A ）。 A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4若点为曲线的拐点，则（ A ）。A.B.C. D.5求函数的单调区间：解：令y¢=0得x=-1,x=3当x<-1时，y¢>0,函数单调增加；当-1<x<3时，y¢<0,函

7、数单调减小；当x>3时，y¢>0,函数单调增加；6求函数的单调区间：解：令y¢=0得x=-1,x=1当x<-1时，y¢<0,函数单调减小；当-1<x<1，y¢>0,函数单调增加；当x>1时，y¢<0,函数单调减小；7证明：当时，。证：设，则f(x)在0,+¥)上连续，在(0,+¥)内可导，且f(0)=0,所以f(x)在0，+¥)上单调递增，当x>0时，f(x)>f(0)=0，即8证明：若，则。证明：设，则f(x)在0,+¥)上有连续导数，且

8、f(0)=0,且，且，所以在0,+¥)单调递增，当x>0时，,从而，所以f(x)在0,+¥)单调递增，f(x)>f(0)，即9利用函数图形的凹凸性，证明不等式：。证明：设f(t)=et，则f¢(t)=et，f²(t)=et>0，函数图像是凹的，所以当x时有，即10讨论方程有几个实根？解：设f(x)=lnx-ax，f(x)在(0,+¥)内连续，且可导。令f ¢(x=0)，得。是最大值。若，则a=e-1。当a=e-1时，。当时，在(0,上单调增加。当0<x<时，f(x)<f()=0；当x>时，在,

9、+¥)上单调减小。当x>时，f(x)<f()<0。所以f(x)有唯一的根，即lnx=ax有唯一的解。当a>e-1时，f()=-lna-1<0，f(x)无零点。lnx=ax无解。当a<e-1时，f()=-lna-1>0，因为，必有x1<，满足f(x1)<0，由零点定理，(x1,)有零点。当x<时，f¢(x)>0，f(x)在(0,上单调增加。f(x)在(0,上有唯一解。，必有x2>，满足f(x2)<0，由零点定理知，f(x)在(,x2)有零点，又因为当x>时，f ¢(x)<0，f

10、(x)在,+¥)上单调减小，f(x)在,+¥)上有唯一解。所以当0<x<时，lnx=ax有两个解。总之，当0<a<e-1时，lnx=ax有两个根；当a=e-1时，lnx=ax有一个根；当a>e-1时，lnx=ax无实根。11求曲线的凹凸区间。解：，令y²=0，得，此时当时，y²>0，曲线是凹的当时，y²<0，曲线是凸的。第5节 函数的极值与最大值最小值1设函数可导，则是在点处有极值的（ B ）。A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非必要又非充分条件2 函数在处取得极大值，则（ D ）。 A.

11、 B.C.或 D.或不存在3函数在处有极值为，则（ B ）。A. B. C. D.5求函数的极值：解：求导，。令y¢=0得cosx-sinx=0Þtanx=1,当时，,函数取极大值当时，,函数取极小值6求函数的极值：解：令y¢=0得x=e。当0<x<e时，y¢>0，函数单调增加；当x>e时，y¢<0，函数单调减小，所以x=e是极大值点，y极大=7方程所确定的函数的极值。解：令y¢=0得x=0或y=0。由方程可知，y£0。当x<0时，y¢<0，函数单调减小；当x>0时，

12、y¢>0，函数单调增加；所以x=0是极小值点，y极小=-1求函数的最值。解：令y¢=0得x=-3.所以x=-3是最小值点y最小=279要造一个体积为圆柱形油灌，问底半径和高等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：令S¢=0得，由于所求最小表面积存在，而驻点唯一，所以r即为所求。此时，10由围成一曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过此点所作曲线的切线与围成的三角形面积最大。解：y=x2，y¢=2x在弧线上任取一点(x0,y0)，此点处的切线方程是y-y0=2x0(x-x0)切线与x轴的交点横坐标是；切线与x=a的交点纵坐标是所以切

13、线与OA,AB所围三角形面积为根据实际问题，最大面积存在，所求x即为最大值点。11设是具有二阶连续导数的偶函数。证明：若，则为的极值点。证：因为为偶函数，所以其导函数为奇函数。由于具有二阶连续导数，所以必连续，由可得，再由知必为极值点。12试利用极值理论证明当时，有不等式。证：设，则。令解得。又，所以是唯一的极小值点，即最小值点。的最小值是。故当时，即时，有不等式。综合练习1设，则在内零点的个数为（ B ）。 A.B.C.D.2设在上，则有（ B ）。 A.B. C.D.3设是恒大于零的可导函数，且。则当时，有（ A ）。 A.B. C.D.已知，则在处（ C ）。 A.导数存在，且 B.取得极小值 C.取得极大值 D.导数不存在设，在二阶可导。又连接与两点的直线与曲线相交于。试证：使得。解：因为连接与两点的直线与曲线相交于，所以有。由拉格朗日中值定理知存在使得，。再由罗尔定理知存在使得。设，在内可导，且。试证：使得。证：设，则，且，。由零点存在定理知存在