第3章目标规划杜

1、第三章 目标规划目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实现目标管理的这种现代化技术的一个有效工具。第一节 目标规划问题的提出及其数学模型目标规划的有关概念和模型最早在1961年由美国学者A.查恩斯和W.库伯在他们合著的管理模型和线性规划的工业应用一书中提出，以后这种模型又先后经尤吉艾里斯等人不断完善改进。1976年伊格尼齐奥发表了目标规划及其扩展一书，系统归纳总结了目标规划的理论和方法，下面我们通过例子来说明什么是目标规划。一、目标规划问题的提出例1某工厂生产两种化工产品，受到原材料供应和设备工时的限制。在单件利润等有关数据已知的条件下

2、，要求制订一个获利最大的生产计划。具体数据见表3-l。 表3-1 产品限量原料(千克)51060设备工时(小时/件)4440利润(元/件)68解：设产品I和的产量分别为和，当用线性规划来描述和解决这个问题时，其数学模型为:用图解法或单纯形法求解，解得：最优生产计划为，。从线性规划的角度来看，问题已经得到了圆满的解决。但如果站的角度不同，决策的目标也可能不同。例2在例 l 的基础上，要求考虑如下意见：(1)由于产品销售疲软，故希望产品的产量不超过产品I的一半；(2)原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；(3)最好能节约4小时设备工时；(4)计划利润不少于48元。面对这些意见，计划人员需要会同有关

3、各方作进一步的协调，最后达成了一致意见：原材料使用限额不得突破；产品产量要求必须优先考虑；设备工时问题其次考虑；最后考虑计划利润的要求。要考虑上述多方面的目标，就需要借助目标规划的方法。目标规划与线性规划相比有以下优点：(1) 线性规划立足于求满足所有约束条件的最优解，而在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件。目标规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解。(2) 线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处理多个目标。目标规划就能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得更切合实际要求的解。(3) 线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可根据实际的需要给予轻重缓急的考虑。(4) 目标规划

4、的最优解指的是尽可能地达到或接近一个或若干个已给定的指标值。二、目标规划的基本概念（1）偏差变量对每一个决策目标，引入正、负偏差变量和，分别表示决策值超过或不足目标值的部分。按定义应有，。（2）绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的约束条件，如线性规划中的约束条件都是绝对约束。绝对约束是硬约束，对它的满足与否，决定了解的可行性。目标约束是目标规划特有的概念，是一种软约束，目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。（3）目标的优先级和权系数不同目标的主次轻重有两种差别。一种差别是绝对的，可用优先因子来表示。只有在高级优先因子对应的目标已满足的基础上，才能考虑较低级优先因子对应的目标

5、；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不允许违背已满足的高级优先因子对应的目标。如优先因子间的关系为，即所对应的目标比所对应的目标具有绝对的优先性。另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子,它们的重要程度可用权系数的不同来表示。（4）目标规划的目标函数目标规划的目标函数由各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。由于目标规划追求的是尽可能接近各既定目标值,也就是使各有关偏差变量尽可能小，所以其目标函数只能是极小化即：。有三种基本表达式：要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值都是不希望的，因此有：要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望决策值超过目标值，因此有：要求

6、不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希望决策值低于目标值，因此有：对于每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和个目标的优先因子来构造目标函数，下面举例说明。例3假设在例 l 的基础上，若工厂提出的管理目标按优先级排列如下：级目标：希望产品的产量不超过产品I的一半；级目标：最好能节约4小时设备工时；级目标：计划利润不少于48元。由于原材料严重短缺，故原材料约束作为绝对约束，试建立目标规划模型。解：引入偏差变量三个目标约束：按优先级确定目标函数。级目标要求；级目标要求；级目标要求，则该问题的数学模型为：其中(a)为绝对约束，（b）（c）(d)为目标约束。该问题也可以这样处理，把绝对约束(a

7、)化为目标约束，则该问题的数学模型为：目标规划的一般数学模型为：式中：为第级优先因子；，为分别赋予第个目标约束的正负偏差变量的权系数。为第个目标的预期目标值。用目标规划处理问题的难点在于构造模型时需要实现拟定目标值、优先级和权系数。而这些信息来自人的主观判断，往往带有模糊性，很难定出一个绝对的数值。用目标规划求解问题的过程参见下面图3-1： 图3-1第二节 目标规划的图解法对于只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解方法来求解。在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个目标约束。一般地，若优先因子对应的解空间为，则优先因子对应的解

8、空间只能在中考虑。即:,若，而，则中的解为目标规划的满意解，它只能保证满足级目标。而不保证满足其后的各级目标。例4某小型空调厂家生产普通和变频两种空调，每生产一台空调需占用生产线1小时，生产线每周计划生产40小时。预计市场每周变频空调的销量是24台，每台可获利润80元，普通空调的销量是30台，每台可获利润40元，该厂确定的目标为：充分利用成产险每周计划工时开动40小时；：允许生产线加班，但加班时间每周尽量不超过10小时；：生产空调的数量尽量满足市场需要，由于变频空调的利润高，取其权系数为2.试建立该问题的目标规划模型，并求解普通和变频空调的产量。解：设分别表示普通和变频空调的产量，则该问题的目

9、标规划模型为:用图解法求解：在具有，的目标实现后，的取值范围为.考虑的目标要求时，因的权系数大于，故先考虑；这时的取值范围缩小为区域。接着考虑，因在中无法满足，所以只能在中取一点，使尽可能小，即找到点为满意解，其坐标为：，即：每周生产变频空调24台，普通空调26台。注意：在用图解法解目标规划时，可能会遇到下面两种情况：1、最后一级目标的解空间非空。这时得到的解能满足所有目标的要求。当解不唯一时决策者在作实际决策时究竟选择哪一个解，完全取决于决策者自身的考虑。2、另一种情况是像例4那样，得到的解不能满足所有目标。这时，我们要做的是寻找满意解，使它尽可能满足高级别的目标，同时又使它对那些不能满足的

10、较低级别目标的偏离程度尽可能地小。第三节 目标规划的单纯形法目标规划的数学模型本质上与线性规划没有区别，可以用单纯形法求解。在用单纯形法解目标规划时，检验数是各优先因子的线性组合。因此，在判别各检验数的正负及大小时，必须注意。当所有检验数都已满足最优性条件()时，从最终单纯形表上就可以得到目标规划的解。一、单纯形法的计算步骤1、单纯形法的计算步骤（求）(1)找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表(2)检验各非基变量的检验数，若，则已得到最优解，可停止计算，否则转入下一步。(3)在中，若有某个对应的系数列向量，则此问题是无界解，停止计算。否则，转入下一步。(4)根据，确定为换入变量，

11、按规则计算可确定第l行的基变量为换出变量。转入下一步.(5)以为主元素进行迭代(即用高斯消去法)，把所对应的列向量变换为，将列中的第l个基变量换为，得到新的单纯形表，返回(2)。2、单纯形法的计算步骤（求）(1)找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表(2)检验各非基变量的检验数，若，则 已得到最优解，可停止计算，否则转入下一步。(3)在中，若有某个对应的系数列向量，则此问题是无界解，停止计算。否则，转入下一步。(4)根据，确定为换入变量，按 规则计算可确定第l行的基变量为换出变量。转入下一步.(5)以为主元素进行迭代(即用高斯消去法)，把所对应的列向量变换为，将列中的第l个基变量换

12、为，得到新的单纯形表，返回(2)。例1用单纯性法求解目标规划问题的满意解。解：将上述目标规划转化成如下形式：其中为松弛变量。对此问题用单纯形法计算，见表3-1表3-1由表3-1得为原问题的满意解。而非基变量的检验数为0，故原问题存在多重解。在表3-1基础上以为换入变量，为换出变量再迭代一步，得表3-2。表3-2由表3-2可得，也为满意解。由线性规划的性质可得：和这两点之间的线段上的所有点均为原问题的满意解。第四节 目标规划应用举例例1 友谊农场有3万亩（每亩等于666.66平方米）农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施化肥分别为0.12、0.20、0.15吨。预计秋后玉米每亩

13、可收获500公斤，售价为0.24元/公斤，大豆每亩可收获200公斤，售价为1.20元/公斤，小麦每亩可收获300公斤，售价为0.70元/公斤。农场年初规划时考虑如下几方面：年终收益不低于350万元；：总产量不低于1.25万吨；：小麦产量以0.5万吨为宜；：大豆产量不少于0.2万吨；：玉米产量不超过0.6万吨；：农场现能提供5000吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好。试就该农场生产计划建立数学模型。解：设种植玉米亩，大豆亩，小麦亩，则该问题的数学模型为：例2 某化工产品是用3种材料经化学反应合成的。若这三种材料每天供应量和单位成本如表3-3所示表3-3材料日供应量(kg)

14、成本（元/千克）1500620004.510003设该种化工产品有三种规格（甲乙丙），各种规格的产品对原料的混合比及其售价见表3-4，表3-4规格混合要求售价甲少于10%5.5多余50%乙少于70%5多余20%丙少于50%4.8多余100%决策者规定：首先必须严格按规定比例合成各规格的产品；其次是获利最大；再次是甲规格的产品每天至少生产2000kg，试建立该问题的数学模型。解：设分别表示生产甲、乙、丙三种规格的产品所用材料、的数量，则该问题的数学模型为：其中：最大利润的数学模型：例3 已知三个工厂生产的同一种产品须供应四个客户，各厂产量、各户需量，以及厂户间单位运费（元/吨）如下表3-5所示：用表上作业法试行