竞赛数学不等式完整

1、不等式证明的基本技巧数学竞赛的历史，可以追溯到16世纪意大利求解三次方程“擂台战”。而1894年匈牙利举办的全国中学数学竞赛，可以说是开中学生数学竞赛的先河。中国的少年在IMO上屡屡夺标，不仅展示了炎黄子孙的才能和苦学精神，而且肯定了中国在数学教学和奥林匹克数学培训中的可贵经验。如果说，一名中学生，他有可能选择是否接受竞赛数学的培训，那作为一名中学数学老师没有理由对中学数学中这块领域毫无所知，所以作为师范生的我们有必要学好数学竞赛这门课程。 在学习竞赛数学这门课程过程中，我比较注重它的思想和方法，课余时间我还会借阅有关课外书籍，这些有富于我们数学创造力和思维能力的提高。对于不等式部分我很感兴趣

2、，并做了一些研究。竞赛数学中的不等式问题按范围可分为代数不等式、三角不等式与几何不等式，按可形式分为不等式求解、不等式证明与不等式应用，这些都是属于竞赛数学中较重要的部分。下面就不等式证明这一部分我给大家做一些介绍。 证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已知的恒不等式，进行合乎逻辑的等价变换。不等式证明基本方法与技巧主要有比较法、放缩法、代换法、分析综合法、反证法、数学归纳法、配方与判别式法、构造法、导数法、辅助函数法公式法、调整法等。下面举例说明证明不等式的常用技巧。 例1 设a,b,c为正数，证明.证 .分析 这里主要是运用了比较法，欲证AB，证A-B0即可，并且在这过程中需作适当的等

3、量替换.若A,B>0，则证1亦可.这就是比较法的主要思路.例2 证 对自然数k，显然成立 取倒数可得 对k从m到n求和交叉相消可得 所以，在上式的左式中m1，n80，即得16<S；在上式的右式中 令m2，n80，即得 因此16<S<17例3 证 构造函数 所以函数 即 分析 不等式中四个式子形式相似，相当于函数在相应四个点的函数值，由此我们设置辅助函数来研究不等式.利用不等式的特点，构造辅助函数，将不等式的证明转化为函数增减性或极值来研究，是很有效的方法。 例4 设a，b，c是三角形的三边长，求证 ， 证 此代换把欲证之不等式变为 又可变为 最后一式显然成立，故知欲证不

4、等式成立，且等号成立当且仅当 x=y=z, 即 a=b=c. 分析 本题证法常用于与三角形有关的不等式，构造几何图形，解释代数公式，利用几何的性质，推导相应的结果，本题如设abc，则失去一般性（因题设不等式左边对a，b，c不是对称多项式） 例5 设x，y，z为实数，x+y+z=0，求证 证 以x，y，z为根的三次方程为（t-x）（t-y）（t-z）=0, 因 x+y+z=0,故 有三次方程有三实根可知 代入即得欲证之不等式.分析 利用和配方的证法，称为配方法. 恒成立等价于判别式这就是二次函数判别式法。设 这是三次函数判别式法。例6 证 用数学归纳法证 当n=2时， 假设n=k时命题成立，即 综上所述，不等式.分析 与自然数n有关的不等式问题，往往采用数学归纳法.应用数学归纳法， 假设n=k成立，推证n=k+1时成立，但这个过程中往往需要较高的变形技巧. 上面就是我例举的几个常用方法的应用，其他方法在这里我就不一一举例了，注意上述方法还可综合运用。在对这门课程的学习、钻研时，我深刻地认识到自己专业知识还不够精深，需要学习的东西还很多，我相信