空间角的计算1

1、立体几何空间角的计算一、运用向量的坐标运算解决立体几何中的角的问题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算，均可归结为求两个向量夹角.对于空间向量a，b，有.利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题.求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意区别.直线与平面的夹角，是直线的方向向量l与平面的法向量n的夹角（锐角）的余角，故有.设n1，n2分别是二面角的面的法向量，则<n1，n2>就是所求二

2、面角的平面角或其补角的大小.解决异面直线所成角问题例1已知直四棱柱中, 底面是直角梯形,为直角,，,.求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解：如图,以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴建立直角坐标系.则，,设与所成的角为,则=，.异面直线与所成角的大小为解决二面角问题例2在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面（）证明平面；（）求面与面所成的二面角的大小证明：（）同例1.（）由（）得是面的法向量设是面的法向量，则， 又由题意知，面与面所成的二面角为锐角，所以其大小为.评注：求二面角大小可转化为求两个平面的法向量的夹角大小，两平面法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，解

3、题时要注意结合题目条件进一步确定二面角的大小.练习：ABCDEA1B1C1D11、如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小2、如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。3、如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（）求证：平面；（）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；4、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E

4、的余弦值。5、如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（）求证：面；（）求二面角的大小。（）求三棱锥的体积。6、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60°，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.7、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证：（III）求二面角的大小。8、如图，已知等腰直角三角形，其中=90º，点A、D分别是、的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、求二面角

5、的平面角的余弦值ABCDEA1B1C1D1yxz参考答案1、以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，3分（）因为，故， 又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则， 故，令，则，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小为 12分3、如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系， 设，由已知可得.（），BCAP.又，BCAC，BC平面PAC.（）D为PB的中点，DE/BC，E为PC的中点，又由（）知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，.与平面所成的角的大小.4、如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得（I）所以异面直线与所

6、成的角的大小为.（II）证明：，（III）又由题设，平面的一个法向量为5、以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则分别是的中点（） 取，显然面，又面面（）过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直线上，可得: 解得 即与所夹的角等于二面角的大小故：二面角的大小为（）设为平面的法向量，则 又 即 可取点到平面的距离为， 6、如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），（）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB.()易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是7、因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设，则，从而.，于是，,平面，平面，（II），从而 于是，又平面，直线不在平面内， 故平面（III）设平面的一个法向量为，并设（ 即 取，则，从而（1，1，3） 取平面D的一个法向量为.故二面角的大小为8、解 建立如图所示的空间直角坐标系则（1，0，0），（2，1，0