第二节 数列极限

1、第二章 极限与连续§2. 数列极限一、数列极限的定义1数列可以用自然数编号的无穷多个数依次排列构成一个数列。称为通项。一般地，如果通项可以用的一个函数表示，即，。我们可以用来表示该数列。例如：即数列 ；即数列 ； 即数列 。我们来观察这里的第二个数列，随着得增加，通项越来越接近于，或者说在数轴上通项与的距离越来越接近于。那么，怎样刻画这种接近的趋势呢？任意取一个正数，我们可以找到一个自然数，只要下标，则就在的邻域中，也就是说， （1）对于都成立。下面我们来确定这个。注意，不等式（1）就是，因此只要就可以了。注意由于应该是自然数， 因此要使（1）成立，只要就可以了。回忆取整函数的性质，

2、则只要取即可。由于是任意的，有可能为，即，因此为了确保是自然数。我们取（）。这样只要，则一定有，从而不等式（1）成立。因此我们就称当趋于无穷时，数列有极限1。以下我们给出数列极限的严格定义。2. 数列极限的定义定义：设是一个数列，是一个实数。如果对于任意给定的，总存在一个正整数，当时就有，则称是数列的极限，或称数列收敛于，记为 或 （）。若不收敛于任何实数，则称数列发散。数列极限的几何解释是：表明对于任意的，都存在一个只与有关的正整数，除前面的项以外，后面的所有项都落在的邻域内。例 证明的极限是1。证明：，取，则当时，从而有。因此由定义有。如果数列以为极限，即，我们就称该数列为一个无穷小量。显

3、然，为一个无穷小量。由数列极限的定义有 数列收敛于，为一个无穷小量。例证明数列（）是无穷小量。证明：令，则由Bernoulli不等式有，从而有。，取，则当时，从而。因此由定义有，即是无穷小量。方法小结：适当放大法。中间加入无穷小量。例2.2.3 设，证明。分析：记，则。因此只要证明，当时有。然而我们有(Bernoulli不等式)，因此只需求解即可得到。证明：记。，取，则当时有，从而有，从而有。因此。例 证明：。证明：方法一。，取。令，则。当时，由二项式定理有，从而有，因此由极限定义有。方法二。因为时，因此。，取，则当时，于是。类似地，对任意正整数有，证明如下：，取。令，当时，从而有，于是。如果

4、利用平均值不等式，当时，于是，取，则当时有，同样得到。例证明数列。分析：由于，当时，,从而，因此，只要同时有，则有。证明，取，则当时有，即有。例 证明Cauchy命题：若，则。证明：，由，当时，。此时固定，因此为常数。令，再令，则当时，由三角不等式有。因此由定义有。方法小结：分步法。先要选定适当大的，才能更好的放大，最后再得到更大的。 极限的等价定义：数列收敛于，。其中是某个常数。二、数列极限的性质（1）极限的唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一。证明：用反证法。若不然，设数列有两个极限，不妨设。令，则，；，。取，当时，由三角不等式有，矛盾。因此收敛数列的极限必唯一。（2）收敛数列的有界

5、性对数列，若存在实数（或），使得：，（），则称（或）为数列的一个上（或下）界；若数列既有上界又有下界，则称它有界。数列有界，。收敛数列必有界。证明取，由，存在，当时，从而。令，则有，。因此数列有界。证毕。注意，本定理得逆命题一般不成立的。例如，此数列是有界的：，但此数列不收敛。（3）保序、保号性定理（保序性）设，且，则存在，s.t.,.证明取。由，存在，分别使得，；，。令，则当时以上两个式子都成立，从而有，。证毕。 需要注意的是：反之不一定成立，可能会有。例如，对任意都有，但，也就是说，两者之间可以相差一个正的无穷小量。但可改为：“设，且存在，s.t.,，则。”推论（保号性）设，则存在，s.t

6、.，。证明：只需在极限定义中取即可。（4）极限的夹逼性定理若存在，s.t.,，且，则有。证明由，s.t. ，；，。令，则当时有，即 ，因此。证毕。定理经常被用来求数列的极限。例求的极限。解：因为，而，因此由极限的夹逼性有。例设，。证明：。证明设，则。由例，因此由极限的夹逼性有。补充例题：设，证明。证明因为而容易证明，因此结论成立。三、数列极限的四则运算设，则（i） （是常数）；（ii）；（iii）（）。证明由，根据收敛数列的有界性，：且，：。再由，：。取，则当时，有，以及，因此（i）和（ii）成立。对于（iii），由极限的保号性，：。取，：，因此（iii）成立。 本节习题7可以作为定理加以应用：定理：若为有界数列，为无穷小量，则也是无穷小量。证明设使得。，由为无穷小量知存在，s.t.，。因此当时，有，即。得证。注意：在此之前，我们一直在证明极限时证明不等式，以后我们可以用以下等价的定义：，s.t.这样，我们在证明极限时会灵活很多。例 求极限。解：。例 证明：当时，。证明