理学数值分析

1、第一章绪论1填空题(1)如下各数分别作为的近似值，各有几位有效数字？3.14 的有效位数是的有效位数是的有效位数是(2)设近似数x*有2位有效数字，则其相对误差限等于(3)已知近似数x*的相对误差限为，则x*的有效位数至少是(4)在浮点数系F(2, 8, -7, 8)中共有个数(5)现代科学的三大组成部分有：科学实验、理论研究和科学计算(6)误差的四种主要来源有：模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差，而数值计算仅讨论截断误差和舍入误差(7)构造数值稳定的算法，应坚持以下几个原则：要防止大数“吃掉”小数要控制舍入误差的传播和积累要避免两个相近的数相减要避免绝对值很小的数做分母要减少运算次数，避

2、免误差积累2利用等价变换或舍弃高阶无穷小改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中表示充分大，表示x充分接近0）.(1) ，解原式(2)，解原式3设3个近似数a = 3.65，b = 9.81，c = 1.21均有3位有效数字，试计算ac + b，并估计它的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数.解ac + b = 14.2265由a，b，c有3位有效数字，知其绝对误差da，db，dc均不超过，所以即绝对误差限为，说明ac + b = 14.2265有3位有效数字，ac + b 14.2所以相对误差限约等于0.21%4填空题(1) 在浮点数系F(10, 5, -10, 10)中计算，可按以下两

3、种顺序进行：依k递增的顺序计算依k递减的顺序计算其中能获得较准确结果的方法编号为(2)用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数：0.7000400 0.70004 0.00063217500 0.00063218 3.0000098 3.0000 314.3569 314.36 (3)用计算机计算n次多项式的值，采用秦九韶算法要做 n 次乘法运算，而直接计算需要作次乘法运算5下表中左边第一列各数都是由准确值经四舍五入所得的近似数，试分别将它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数写入相应的位置：近似数绝对误差限相对误差限有效数字的位数310000.50.00001652.3316

4、0.000050.00002150.55040.000050.00009140.0012300.00000050.0004146用秦九韶算法计算当x = -3时多项式的值.解，即要求的多项式的值为-207在浮点数系中，已知，分别计算和，并求各结果与精确结果的绝对误差.解与精确值比较，二者的绝对误差分别为8设，试求函数的相对误差限.解因为，所以的相对误差限为第二章非线性方程组的数值解法2.2 二分法9填空题(1)用二分法求方程f(x) = 0的近似根，若f(x)在a, b上满足连续、单调且，则方程在a, b上有且仅有一个实根x*(2) 在二分法的误差分析中，因为，所以要使成立，只需即可(3)使用

5、二分法求非线性方程f (x) = 0在0, 1内的根，要使误差小于，至少要二分区间次10用二分法解方程在1, 2内的根，要求精确到小数点后第二位，即误差不超过解，由，得k+17，所以迭代7次即可计算结果如下表：kakbkxkf(xk)的符号0121.5+111.51.25-21.251.51.375+31.251.3751.3125-41.3151.3751.34375-51.343751.3751.359375-61.3593751.3751.367188所以取方程的近似根为2.3 简单迭代法11为用简单迭代法解方程在区间1, 2上的根，构造了如下3个迭代函数：(1)；(2)；(3)若已知x

6、0 = 1.5与精确根邻近，试分别写出它们的迭代公式，并用局部收敛的近似替代判别方法分析收敛性，再取其中一种收敛的公式求出近似根（要求精确到小数点后2位）解(1)，因为，此迭代格式收敛；(2)，因为，所以此迭代格式发散；(3)，因为，所以此迭代格式发散用迭代格式（1）计算得x1 = 1.444444444，x2 = 1.479289941，x3 = 1.456976000，x4 = 1.471080583，x5 = 1.462090536，x6 = 1.467790576，x7 = 1.464164381，x8 = 1.46646635512填空题(1)对于方程，写出简单迭代法的两个迭代函数及

7、其相应的迭代格式：迭代函数之一，迭代公式迭代函数之二，迭代公式(2)简单迭代法的误差分析，有先验估计式和事后估计式(3)要使简单迭代法的精度达到要求，实用中的一个简单易处理的方法，是根据不等式成立与否来判别是否终止迭代(4)对于方程f(x) = 0的一个简单迭代公式，其收敛的一个充分条件是：当时，(x)满足，若已知根的初始值x0在根x*邻近，则可将局部收敛的判别条件用来替代(5)对于方程f (x) = 0的一个简单迭代公式，若其产生的序列xk收敛很慢，这时可令新的迭代函数为，要想得到收敛速度更快的迭代函数，k的最好取值是使满足由于方程的解x*未知，通常取，可得加速迭代公式(6) 对迭代格式xk

8、+1 = (xk)，若(xk)满足，而那么该格式收敛的阶数是2.4 牛顿迭代法13用牛顿迭代法求方程在1, 2上的根(1)写出该方程的牛顿迭代公式.解，牛顿迭代公式为(2)取初值x0 =1.5，证明该方程的牛顿迭代公式收敛.证明f (1) = -5，f (2) = 41，f (1) f (2) 0当时，所以迭代格式收敛(3)迭代求出方程的近似根xk，要求精度：.解将x0 =1.5代入迭代公式得x1 = 1.373333333，x2 = 1.365262015x3 = 1.365230014，x4 = 1.365230013由于x4满足，故近似根取作x4 = 1.36523001314选择题如下

9、说法中，不正确的是（ C ） (A)牛顿迭代法也是一种简单迭代法 (B) 牛顿迭代法也叫牛顿切线法 (C) 当x0充分接近x*时，弦截法比牛顿法收敛快 (D) 弦截法的优点是不需要计算导数值15填空题(1) 对于方程f(x) = 0，已知其根x*介于a，b之间，初值证明该方程的牛顿迭代公式收敛，需验证成立的条件为(2)求解方程的牛顿迭代公式为(3) 用牛顿法计算的值，其迭代公式为取x0 = 2，得的各近似值：，精确到的近似值为 2.236067978 (4)对于方程其弦截法迭代公式为16用牛顿迭代法求方程在x0 = 1.5附近的根解迭代格式为将x0 =1.5代入迭代公式计算得x1 = 1.37

10、3626373，x2 = 1.368814819，x3 = 1.368808107，x4 = 1.3688081072.5 弦截法17用快速弦截法求方程在区间1, 2内的根，精确至5位有效数字.解取x0 = 1.4，x1 = 1.6，代人迭代公式，代入计算得f (x0) =-2.168，f (x1) = 1.176，x2 =1.52967； f (x2) = 0.0692609，x3 = 1.51069；f (x3) =-0.216464，x4 = 1.52417；f (x4) =-0.0140970，x5 = 1.52511；f (x5) = 0.000117173，x6 = 1.52510

11、；所以第三章线性方程组的数值解法3.2 线性方程组的直接解法1选择题当n阶方阵A满足条件（ A ）时，线性方程组Ax = b有唯一解.(A)A非奇异(B)R(A) 0(C)R(A) n(D)以上都不对2填空题(1) 如果一种算法在计算中舍入误差积累迅速增长，无法控制，造成结果失真，则称这一算法是数值不稳定的，反之是数值稳定的.高斯消去法是数值不稳定的算法(2)解线性方程组的直接法有消去法与列主元消去法，其中列主元消去法有利于控制误差的增长，这是因为它能有效克服“小”主元带来的“大数吃小数”现象，从而有效控制误差的增长(3)过三点(1, 1)、(2, -1)和(3, 1)的抛物线为y = 2x2

12、 - 8x + 7 (4)用列主元高斯消去法，对方程组的增广矩阵作初等变换，当进行至时，下一步所选主元为3用高斯消去法求解方程组.解记B = (A, b)，B称为增广矩阵，用对增广矩阵的初等行变换表示消元过程如下回代得x3=8.4，x2=2.6，x1=-10.84用列主元消去法求解方程组（计算结果保留到小数点后3位）.解回代得3.3 线性方程组的直接分解法5判断题(1) 当矩阵A的各阶前主子式都不等于零时，可唯一地分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积( )(2)若不计舍入误差，LU分解法是求解线性方程组的精确方法( )(3) LU分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程组的系数矩阵

13、( )6用矩阵的LU分解法求解线性方程组Ax= b，其中，解对A做LU分解，先计算U的第一行及L的第一列u11 = a11 = 9，u12 = a12 = 18，u13 = a13 = 9，u14 = a14 = -27l21 = a21 / u11 = 2，l31= a31 / u11 = 1，l41= a41 / u11 = -3然后计算U的第二行及L的第二列u22 = a22 - l21 u12 = 9，u23 = a23- l21 u13 = -18，u24 = a24- l21 u14 = 9l32 = (a32 - l31 u12) / u22 = -2，l42 = (a42- l

14、41 u12) / u22 = 1再计算U的第三行及L的第三列u33 = a33- l31 u13- l32 u23 = 81，u34 = a34- l31 u14- l32 u24 = 54l43 = (a43- l41 u13- l42 u23) / u33 = 最后计算u44u44 = a44- l41 u14- l42 u24- l43 u34 = 9因此解方程组Ly= b，得y = (1, 0, 15, 1)T解方程组Ux= y，得7用LU紧凑格式分解法求解线性方程组Ax= b，其中，解对增广矩阵进行紧凑格式分解，有所以，解方程组Ux= y，得3.4 特殊线性方程组的解法8选择题(1

15、) 当矩阵A满足条件（ C ）时，解方程组Ax = b的LU分解法就可用改进的平方根法（或称改进的乔累斯基分解法）来求解，从而减少计算量.(A)A对称正定(B)A的所有顺序主子式都大于零(C)选项(A)、(B)结合(D)A非奇异(2) 当方程组Ax = b的系数矩阵为三对角矩阵时，由对A的LU分解公式，可得到求解三对角方程组的（ B ）(A)乔累斯基分解法(B)追赶法(C)LDLT分解法(D)以上选项都不对9填空题：用改进的平方根法（或改进的乔累斯基分解法）求解线性方程组对其增广矩阵进行如下的紧凑格式分解：得到等价的三角形方程组为，回代解得10用追赶法求解方程组解求得q1 = 2，q2 = 3

16、/2，q3 = 4/3，q4 = 5/4，q5 = 6/5；p2 = 1/2，p3 = 2/3，p4 = 3/4，p5 = 4/5解方程组Ly= f，得y = (1, -1/2, 1/3, -1/4, 6/5)T解方程组Ux= y，得x = (1, -1, 1, -1, 1)T3.5 向量与矩阵的范数1填空题(1)设x = (1, -1, 2)T，那么，(2) 设矩阵，那么，(3) 矩阵，则A的条件数(4) 已知A为n阶对称矩阵，且(A) = 3，那么(5) 线性方程组的性态是衡量方程组的解对扰动（误差）的敏感程度的，若较小的扰动带来解的较大变化，那么称方程组是病态的，否则称为良态的一般如果系

17、数矩阵A的条件数cond(A) 远远大于1 时，方程组是病态的.(6)对任一n维向量x =(x1, x2,xn)T，不同的范数，其值不同，但总满足下面关系式2判断题(1)对任何非奇异矩方阵A，都有cond(A) 1.( )(2) 对任何非奇异矩方阵A的任一范数，都有(A) |A|.( )(3) 若线性方程组的系数矩阵A的各元素间量级差异很大且无一定规律，或者某些行（列）近似线性相关，则方程组可能为病态的( )(4)方程组的性态是其固有性质，任何方法都不可能改变其病态程度( )3设矩阵，求|A|p ( p = 1, 2, )和(A)解因为A为对称矩阵，因此，1 = 1，2 = 4，3 = 16，

18、(ATA) = 16，因此由于A为对称矩阵，所以4证明：对于矩阵A范数，如果，则证明移项得两边同时取范数得移项得因为，从而有5填空题(1)已知线性方程组Ax= b为给右端项b一扰动，取无穷大范数，利用公式估计解x的相对误差，求得，从而给系数矩阵A一扰动，取无穷大范数，利用公式估计解x的相对误差，求得从而(2)希尔伯特（Hilbert）矩阵（又称坡度阵）是有名的病态阵，当n = 3时，且随着阶数的增大，条件数迅速增大3.6 线性方程组的迭代解法6给定线性方程组(1) 分别写出雅可比和高斯-塞德尔迭代格式，并判断它们的收敛性.解雅可比迭代格式为，所以雅可比迭代格式发散高斯-塞德尔迭代格式为，所以高

19、斯-塞德尔迭代格式收敛 (2) 取初值x (0) = (0, 0, 0)T，用(2)中收敛的迭代格式求解（保留到小数点后4位）解 (2)中赛德尔迭代格式收敛取初值x(0)=(0, 0, 0)T，迭代计算得x(1) = (0.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T， x(2) = (-1.000 0, 5.000 0, -1.500 0)T， x(3) = (-1.750 0, 6.250 0, -1.750 0)T， x(4) = (-2.250 0, 7.000 0, -1.875 0)T，（精确解为x = (-3, 8, -2)T）7填空题(1) 将方程组中方程的顺序由“-”

20、调整为-能使雅可比和高斯-塞德尔迭代收敛(2) 用高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组那么迭代格式收敛（填“收敛”或“不收敛”）(3) 解线性方程组的高斯-赛德尔迭代格式为8判断题(1) 对线性方程组Ax = b构造的雅可比、高斯-塞德尔和超松弛迭代格式的收敛性仅与方程组的系数矩阵A有关，而与迭代初值x(0)无关( )(2) 高斯-塞德尔迭代格式一定比雅可比迭代格式收敛速度快( )(3) 若方阵A严格对角占优，则A非奇异( )(4) 对收敛的迭代格式，在迭代计算的过程中，不怕中途出错( )9对方程组用超松弛迭代（取 = 1.1）求解，取初值x(0) = (0, 0, 0)T，并精确到小数点后3位.

21、解 = 1.1时迭代格式为初值x(0) = (0, 0, 0)T，迭代计算得x(1) = (0.550 0, 3.135 0, -1.025 7)Tx(2) = (2.219 3, 3.057 4, -1.965 8)Tx(7) = (2.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T第四章插值与拟合4.2 拉格朗日插值1填空题(1) 过点(0, 2)、(1, 1)、(2, 2)的不超过2次的多项式为(2) 设xi (i = 0, 1, 2, , n)为n+1个互异的插值节点，li (x)为相应的Lagrange插值基函数，则(3) 设xi = i (i = 0, 1, 2, , n)为

22、n+1个互异的插值节点，li(x)是相应的n次Lagrange插值基函数，则(4) 设li(x)是对n+1个点xi (i = 0, 1, 2, , n)进行Lagrange插值的基函数，则(5)如果记R(x)为过两点(x0, y0)、(x1, y1)的插值多项式P1(x)的余项，则R(x)的误差限为(6)多项式和都能插值下表xi1234yi21647这是否违背插值多项式的唯一性？否（填“是”或“否”）2给定数据表x0235f (x)1-3-42用拉格朗日插值方法求出f (x)的不超过3次的插值多项式L3(x)解先构造基函数如下所以拉格朗日插值多项式为3将下面计算过程补充完整给定函数sinx的数

23、值表如下x0.320.340.36sinx0.3145670.3334870.352274用线性插值和抛物线插值计算sin0.3367的值，并利用插值余项给出计算结果的误差限取x0 = 0.32，y0 = 0.314567；x1 = 0.34，y1 = 0.333487；x2 = 0.36，y2 = 0.352274(1) 线性插值：由于0.320.336 70.34，在区间x0, x1上进行插值，求得，从而由于，因而 (0.32, 0.34 )(2) 抛物线插值：求得 393.20875(x-0.34)(x-0.36) -833.7175(x-0.32)(x-0.36) ， 440.3425

24、(x-0.32)(x-0.34) 从而由于，因而 (0.32, 0.36 )4已知多项式通过下列点：x-2-10123p(x)315111161试构造一多项式q(x)且通过下列各点：x-2-10123q(x)31511111解设r(x) = p(x) - q(x)，则r(x)满足x-2-10123r(x)0000060由拉格朗日插值方法知于是4.3 差商与牛顿插值5填空题(1)设f (x) = an x n +1(an 0)，则(2)设f (x) = x2+2x，则，(3) 对函数表x-1012f (x)1-2510求得其各阶差商如下表xf (x)一阶差商二阶差商三阶差商-1012( 3 )1

25、-2510( 25 )-375( 15 )5-1( 5 )-2( 2 )( 1 )那么过这四个点的牛顿插值多项式为对新增节点x = 3，f (x) = 25，请完成上面的差商计算表；并写出过这五个节点的牛顿插值多项式6判断题(1)交换差商f x0, x1, xk中的任意两个节点，差商的值改变符号( )(2) 若在原有数据上增加一组数据，则使用牛顿插值的插值多项式只增加一项，不必重复计算所有系数( )(3)对同一个插值问题，其牛顿插值多项式与拉格朗日多项式相同，且两种余项也相同.( )7给定数据表x0235f (x)1-3-42(1)求出f (x)的不超过3次的插值多项式.解计算均差表如下xf(

26、x)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差012-3-23-4-11/35234/31/54-130-2/3-13/60所以牛顿插值多项式为(2)若增加一组数据 (4, -1)，求f (x)的不超过4次的插值多项式，并求f (1.5)的近似值解若增加一组数(4, -1)，则在上述均差表增加一行一列（见上表双下划线）f (1.5)N4(1.5) = -1.7188618完成下面计算过程已知单调连续函数y = f (x)的如下数值表x00.20.40.60.8f (x)0.19950.39650.58810.77210.9461用反插值插值方法求方程f (x) = 0.4500在(0.00, 1.80)

27、内的根的近似值将y作为自变量，采用牛顿插值，完成下面均差表f(xi)xi一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0.199 50.396 50.588 10.772 10.946 100.20.40.60.8( 0.015228 )( 1.043841 )( 1.086957 )( 1.149425 )( 0.073631 )( 0.114792 )( 0.174492 )( 0.071884 )( 0.108624 )( 0.049209 )从而得到4次插值多项式为 1.015228 (y - 0.1995)+ 0.073631 (y - 0.1995)(y - 0.3965)+ 0.071884

28、(y - 0.1995)(y - 0.3965)(y - 0.5881)+ 0.049209 (y - 0.1995)(y - 0.3965)(y -0.5881 )(y - 0.7721)于是方程f (x) = 0.4500的根为4.5 分段低次插值9对函数在区间1, 2上作等距分段线性插值，怎样选择步长h，才能使插值误差小于？解，由得第五章数值积分与数值微分5.2 牛顿-柯特斯求积公式1填空题(1)牛顿-柯特斯公式的系数和(2)在牛顿-柯特斯求积公式中，当系数有负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当时，牛顿-柯特斯公式不使用(3)计算积分，取4位有效数字，用梯形公式求得的近似值为

29、用辛普森公式求得的近似值为2判断题(1) 牛顿-柯特斯求积公式的系数和将随着点数的增加而增大( )(2)牛顿-柯特斯公式计算时，节点取得越多，则精度越高( )(3) 用辛普森求积公式，其误差为( )(4)用梯形求积公式，其误差为( )3试用n = 1，2，3的牛顿-柯特斯公式计算积分解当n = 1时，从而有当n = 2时，从而有当n =3时，从而有5.3 复合求积公式4填空题(1)用变步长梯形求积法的计算过程中，要判断计算结果的精度是否满足，由得出的近似判别条件是(2) 变步长梯形求积公式中，设n等分时的步长为h，这时的积分值为Tn，步长减半后的积分值为T2n，那么Tn和T2n之间的关系式为5

30、选择题(1)当在区间a, b上具六阶连续导数，充分小时，分别用复合梯型求积公式Tn、复合辛普森求积公式Sn和复合柯特斯求积公式Cn，计算定积分，其精确度从高到低，依次是（ A ）(A) Tn，Sn，Cn(B)Tn，Cn，Sn(C)Sn，Tn，Cn(D)Cn，Sn，Tn(2)用复合梯形公式Tn计算定积分，要使误差，n应该不小于（ B ）(A)5 (B)10(C) 20(D) 50(3)用复合辛普森公式Sn计算定积分，要使误差，应该不小于（ B ）(A)1 (B)2(C) 5(D) 10(4)用复合柯特斯公式Cn计算定积分，要使误差，应该不小于（A）(A)1 (B)2(C) 3(D) 406用n

31、= 4的复合辛普森公式S4积分解=3.141592507用变步长梯形求积法计算积分，要求精确至3位有效数字（提示：先换元化为常义积分后再计算）解x = 0为被积函数的瑕点，作变换，积分化为由复化梯形公式（这里）计算可得：T1=1.5，T2=1.55，T4=1.5656，T8=1.5695至此，有，所以5.4 龙贝格求积方法8填空题(1)辛普森求积公式经过龙贝格加速得到的牛顿-柯特斯公式(2)龙贝格求积方法需要用到的4个公式分别为(3)龙贝格求积方法的三个加速公式分别是根据梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式的导出的.(4)用龙贝格求积法求的近似值，求得k = 1时：k = 2时：，k = 3时：，

32、k = 4时：，；9判断题(1)对n = 4的牛顿-柯特斯求积公式作龙贝格加速，所得公式仍属牛顿-柯特斯求积公式序列 ( )(2)龙贝格求积公式是一种要将积分区间等分的求积公式. ( )10用龙贝格算法计算积分，要求误差不超过（其准确值为）解，由于|R2R1| 0.00001，已精确到小数点后5位，故可取5.6 数值微分11填空题(1) 由函数在一些离散点上的来推算出函数在某些点处的导数近似值，这类问题称为数值微分.(2)中心差分公式的截断误差为(3)二阶导数的中心差分公式为其截断误差为(4)已知,取步长h = 0.01，由向前差商公式得由向后差商公式得由中心差商公式得12判断题(1) 当插值

33、多项式收敛于时，不能保证一定收敛于 ( )(2)用差商公式近似计算函数的导数值，步长越小，则误差越小( )(3)用两点公式求得的一阶导数在x0、x1处的值完全相同，误差也完全相同. ( )13已知以下数据x0.010.020.030.04f (x)0.01210.01240.01290.0139若取h = 0.01，用中心差分公式计算函数在0.02，0.03处的一阶导数及在0.02处的二阶导数解由中心差分公式，有第六章常微分方程的数值解法6.2 欧拉法和改进的欧拉法1填空题(1)对初值问题若函数f ( x, y )满足条件，则解y = y ( x )存在且唯一(2)在区间0, 1上用欧拉方法求解初值问题取步长h = 0.1，其差分格式为(3) 初值问题的梯形公式是阶方法，是式的方法（填“显式”或“隐式”）(4)对于微分方程初值问题的差分方法，如果当h0时，其整体阶段误差ei 0时，则该方法是收敛的，欧拉方法是收敛的方法（填“收敛”或“不收敛”）(5)改进的欧拉方法的整体截断误差为O(h2)，局部截断误差为2用欧拉公式计算初值问题的解函数y = y (x)在x = 0.1，0.2，0.3处的近似值（保留4位小数）解由显式欧拉公式有计算可得3完成下面计算过程用改进的欧拉公式求初值问题的数值解（保留6位小数）取h = 0.1，由于改进的欧拉公式为因此该问题的计算格式为计算结果填入下