第9讲高等数学

1、第九讲 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用(数学一)§9.1 向量代数考试要求：理解向量、方向角、方向余弦的概念;掌握向量的表示及运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）；了解两个向量垂直、平行的条件.一.向量：（1）向量的坐标表示式：设，则的坐标表示式为.（2）向量的模：(3)方向角:向量与坐标轴正向的夹角(方向余弦).， .(4)单位向量:.与非零向量同方向的单位向量:.二.向量的运算（1）向量的线性运算:，则1); 2).（2）数量积:1)定义：= ()(数)2)坐标表示式：设，则 .3)两向量的夹角:（3）向量积:1)定义：一个向量：大小：，方向:,构成右手法则

2、 结论：要找既垂直于又垂直于的向量可取为2)运算律：（不符合交换律）3)的几何意义：以,为邻边的平行四边形的面积.4)向量积的坐标表示式：，则 .（4）向量的混合积：，则.三.向量的关系:（1)平行:.（2)垂直: .（3）共面的.常考题型与典型例题题型一向量运算【例1】设，则.解=【例2】.给定两点和，求的坐标表示式，模，方向余弦，三个坐标轴正向的夹角及与平行的单位向量.解，,.【例3】已知，,且，(A)2(B)2(C)(D)1解由于，而，则= ,从而=.故.选(A).题型二向量运算的应用及向量的位置关系【例4】.已知，（1），则;（2），则;（3）共面，则.解： .【例5】.已知向量，若，

3、求的坐标表示式.解：取.，.§9.2空间平面与直线考试要求：掌握平面方程和直线方程及其求法，直线和平面之间的位置关系.一.平面方程（1）点法式方程:过点,且法向量为的平面方程为.（2）一般式方程：(3) 截距式二.直线方程（1）对称式:（2）参数方程：（）（3）一般方程：三、直线与直线的位置关系：直线与直线的夹角:两直线的方向向量的锐夹角称为这两条直线的夹角.设两条直线的方向向量为 ，.注1)两直线平行和两直线垂直的充要条件是什么? 2)如何判断两直线相交?四、直线与平面的位置关系直线与平面的夹角：直线和它在平面上投影直线的夹角（）。设直线的方向向量是 ，平面的法向量，注：平面与直线

4、平行； 直线与平面垂直.五、点到平面的距离:空间一点到平面的距离 -公式六、点到直线的距离点(,)到直线的距离为题型三建立直线方程【例6】求过点(-1,-4,3)且与下面两直线和都垂直的直线.解法1设,解法2解法3过点(-1,-4,3)且与垂直的平面3x-y-10z=-29,过点(-1,-4,3)且与垂直的平面4x-y+2z=6.所求直线方程为【例7】过点(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又与直线相交的直线方程.解法1设所求直线L的方程为，,由于该直线与平面3x-4y+z=10平行，则又因为所求直线与直线相交，则将，代入得由式和式可得,.令n=28,则l=16,m=19,则所求

5、直线方程为解法2过点(-1,0,4)且与平面3x-4y+z=10平行的平面的方程为3(x+1)-4y+(z-4)=0,即3x-4y+z=1,为求平面:3x-4y+z=1和直线的交点，解方程组由所求直线上点(-1,0,4)和(15,19,32)知其方程为解法3过点(-1,0,4)且与平面3x-4y+z=10的平面方程为3(x+1)-4y+(z-4)=0,即3x-4y+z=1.过直线的平面束方程为将点(-1,0,4),的坐标代入上式得.将代入上式得过点(-1.0.4)和直线的平面方程为10x-4y-3z=-22则所求直线方程为题型四建立平面方程【例8】求过原点且与两直线，及都平行的平面方程.解法1

6、显然，及的方向向量分别为和.则所求平面的法向量为.平面过原点,则所求平面的法向量为,即解法2由题设知，两条已知直线的方向向量分别为和.设Px,y,z为所求平面上任一点，由题设知向量与共面，则【例9】求过直线且垂直于平面的平面方程.解法1，解法2平面束题型五与平面和直线位置关系有关的问题【例10】直线和直线是否相交?如果相交求其交点,如果不相交求两直线间距离.解直线的方向向量，直线的方向向量为.上的点,则=-2，2，-1，与直线和共面的充要条件是向量混合积为零，即.故当时，直线和相交, 时，直线和不相交,1) 当时，为求得直线与的交点,令，则2) 当时,为求得直线和之间距离，考虑直线和的方向向量

7、和向量，由两直线之间的距离公式知【例11】设直线，,求与直线都垂直且相交的直线方程.解由题设知,直线和的方向向量分别为则所求直线方向向量为.过直线且平行于s的平面的方程是.则所求直线方程为【例12】.求到直线的距离.解1：设直线上任一点， ， 解2：过于垂直的平面方程，再求交点§9.3 空间曲面与曲线 考试要求：了解曲面方程与空间曲线方程的概念;了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程;会求空间曲线在坐标平面上的投影线的方程.一、空间曲面的方程(1)一般方程 (2)参数方程 二、空间曲线的方程(1)参数方程 (2)一般方程 三、常见曲

8、面与曲线(1)母线平行于轴的柱面方程中缺哪个变量，方程就代表母线平行于那个轴的柱面.(2)旋转面母线为 绕轴旋转所得曲面方程为(3)二次曲面椭球面 双曲面单叶双曲面 双叶双曲面 抛物面椭圆抛物面 双曲抛物面 (4)螺旋线四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线曲线消去z得关于平面的投影柱面，则在平面上的投影曲线为同理，可得关于其他两个平面的投影曲线.题型六建立柱面方程【例13】求以曲线为准线，母线平行于轴的柱面.解将代入得，即为所要求的柱面.【例14】求以曲线为准线，母线平行于直线的柱面方程.解过曲线上点且平行于直线的直线方程为，消去方程组中的得，.化简可得为所求柱面方程.题型七建立旋转面方程【例1

9、5】求下列曲线绕指定的轴旋转产生的旋转面的方程1)，分别绕轴和轴旋转.2)，分别绕轴和轴旋转.解1)绕轴旋转面方程：；绕轴旋转面方程：.2)绕轴旋转面方程：，即；绕轴旋转面方程：.【例16】求直线绕轴旋转面方程.解设为旋转面上任一点，它对应曲线上的点为，这里，则，又满足，则，代入上式知，即.题型八求空间曲线的投影曲线方程【例17】求曲线在面和面上的投影曲线方程.解在面上的投影为，在面上的投影为.【例18】求直线在平面上的投影直线方程.解1.投影平面的法向量,投影平面方程为即.投影直线方程为.解2.将直线的方程写成一般式,过的平面束方程为,则. 投影平面方程为【例19】曲线在三个坐标面上的投影曲

10、线的方程和投影柱面的方程. 解：关于平面的投影柱面方程：关于平面的投影线：. 关于平面？ 关于平面？【例20】.设直线L在OYZ平面上的投影直线为，在OXZ平面上的投影直线为，求直线L在OXY平面上的投影直线方程.解：直线的方程为： 消得：.§9.4方向导数、梯度、曲面的切平面、曲线的切线考试要求：1.了解空间曲线的切线与法平面及空间曲面的切平面与法线的概念，会求它们的方程。2.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法一、空间曲面的切平面与法线设曲面的方程为，则曲面上点处的切平面方程为 该点的法线方程：注: 曲面方程为，转化为二、 空间曲线的切线与法平面设曲线的方程为，在曲线上对应的

11、点处切线方程:.法平面方程为注:空间曲线的方程为，如何求任一点切线和法平面方程？ 切线方程： 法平面方程：空间曲线的方程为，在点处的切线方程和法平面方程如何求？三、方向导数与梯度1、方向导数的定义:注(1)表示在点沿方向的变化率,即表示函数在点沿着这个方向函数增长快慢. (2)的存在性及计算：若函数在点是可微的，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在且其中为方向的方向角. (3)设在点处可微, 那么函数在该点沿着方向的方向导数为. 其中为方向的方向角.2、梯度的定义：.注：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值,梯度的模为.题型九建立曲面的切平面和法线方程【例21】求曲面在点处的切平面和法线方程.解令，则于是，或取故所求切平面方程为，即.法线方程为.【例22】设直线在平面上，而平面与曲面：相切于点，求之值.解法1曲面在点处的法线向量为于是切平面方程为即(1)由，得代入(1)式得因而有由此得出解法2由解法1知，的方程为，过的平面束为即令则.题型十建立空间曲线的切线和法平面方程【例23】求曲线在点处的切线方程和法平面方程解由于，在处切线向量为.则所求切线方程为法平面方程为即【例24】求曲线在点处的切线和法平面方程.解曲面在点处的法向