第12章二阶常微分方程级数解法

1、第十二章二阶常微分方程级数解法、本征值问题前几章处理的问题几乎都是使用直角坐标，依据边界条件的不同，有时使用球坐标或柱坐标更为方便，也只有使用恰当的坐标才能使变量进行分离彻底。下面先介绍标量函数的梯度或矢量函数的散度在球坐标系中和柱坐标系中表示形式。以表示正交曲线坐标，则有因：于是由于的微小改变而引起的空间尺度变化同理 标量函数的梯度的各分量为： 矢量函数的散度矢量场中单位体积的通量取由六个曲面围成的微小六面体设分别为沿增加方向的分量，于是又=§40.1拉普拉斯方程.在球坐标系中设则有b. 在柱坐标系中§40.2波动方程令§40.3输运方程令§40.3亥

2、姆霍兹方程在球坐标系中：球贝塞尔方程在柱坐标系中：综上所述，对于齐次的波动方程、输运方程、稳定场方程在球、柱坐标系中有如下解的形式：§41常点邻域的级数解法用球坐标和柱坐标对齐次波动、输运、稳定场方程进行分离变量，最后问题的症结是阶缔合勒让德方程和贝塞尔方程等特殊函数方程。而这些方程大都是二阶常微分方程：、。而这些方程并不能用“高等数学”中的方法求解。比较普通的方法是级数解法。若要考虑解在某点附近的情形，而该点对于中、为解析，则该点称为常点。于是将、在常点展为泰勒级数后代入方程，合并同幂项最后令系数为零，并求出收敛半径。例在的邻域上求解阶勒让德方程解：，则是方程的常点令则代入方程有：

3、于是又：按照递推公式有：于是则级数的收敛半径即两级数均收敛于，即。而对于，有证明两级数发散，即。、级数发散。然而对于大多数定解问题，要求在一切方向保持有限，因而、可作为自然边界条件而对解提出限制。注意到，为偶数时，仅有有限个非零项；为奇数时，仅有限个非零项。因而自然条件要求：为偶数时，舍去项；为奇数时，舍去项，即勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，其本征值为（为整数）。本征函数为阶勒让德多项式。§42 正则奇点邻线上的级数解法若所选定的点是方程中或的奇点，则应将做罗朗级数展开，并设解的最低次幂为s（）。即代入方程，若能解出s的两个值。则称为正则奇点，否则尝试解不成功。设 则有：当

4、或时，最低幂项系数和为零，即这些均解不出s的两个值，则不是正则奇点。当时，则最低幂系数和为可解出两个s，则为正则奇点（上方程中当或时或为零）。对于不同的s，则求出相应的y(x),组合即为方程的通解。例、在的邻线上求解m阶贝塞尔方程。 （m为常数） m>0解：因，是的一、二阶极点，满足，则是方程的正则奇点。令代入整理有： 因则 （m>0）则得，又由递推公式（1）先取得因则得到贝塞尔方程的一个特解：该级数的收敛半径为：通常取则其中： （） （负整数）（2）再取，得因则得到贝塞尔方程的另一特解：该级数的收敛半径为：通常取则于是贝塞尔方程的通解为讨论：若所讨论的区域包含点x=0，因含负幂项

5、，则应排除。若m为非负整数，只要，则分母趋于无穷，级数求和实际上从k=m 开始，可以证明（P254），=即不成为第二个特解。这时通解采用贝塞尔函数和纽曼函数的线性组合。例、在的邻域求解整数阶贝塞尔方程。由前：因非独立，因此取代入原方程有最低的幂为对于时：，有，任意由任意递推出各项和组成同第一解。列下表：无（设为零）最后可以求得取令则整数阶贝塞尔方程的通解为练习：P260 6§43 斯特姆刘维本征值问题 将偏微分方程分离变量，最后分离成带有参数的常微分方程，然而这些常微分方程还应满足边界条件，而满足这些边界条件的非零解往往不存在，除非引入的参量取某些特定值本征值，相应的非零解称为本征函

6、数。二阶常微分方程通常可表示为斯特姆刘维型：附以相应的边界条件，就构成斯特姆刘维本征值问题。不妨假定:若端点a或b是k(x)的一级零点，则该端点存在着自然边界条件。将斯特姆刘维方程变换成，若x=a是k(x)的一级零点，则x=a是方程的正则奇点 代人判定方程。 对于物理上有意义的解s应取实数，因此s1、s2要么一正一负，要么同为零。对于负根s2的解含有(x-a)的负幂项，因而在x=a成为无穷大。如s1=s2=0，则两根之差为整数，其中一根应取，在x=a处，该根成为无限大，因而x=a成为无限大的解应该排除，这正是自然边界条件。如k(x)及其导数连续，q(x)连续或者最多在边界有一阶极点，则存在无限多个本征值相应地有本征函数、这些本征函数的排列次序正好使节点个数依次增多。例如在一维无限深势井中运动的粒子，其波函数为。所有本征值设本征函数和本征值满足，两边乘以并对x从a到b积分，则有上式中第三、四项明显为正，而第一项对于第一类、第二类、第三类而第二项对于第一类、第二类、第三类 齐次边界条件不小于零。相应于不同本征值和上带权重。证：两式相减得两边从a到b积分得：对于第一项，若端点x=b的边界条件是第一类齐次条件和或第二类齐次边界条件和或自然边界条件k(b)=0,