研究生入学统一考试数学二试题及解析

1、2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当时，函数与等价无穷小，则（A） （B） （C） （D）【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。【详解】法一:由题设知从而，故。从而应选（C）。法二:所以。，从而应选（C）。2、已知在处可导，且，则（A）（B）（C） （D）【分析】本题考查导数的定义。通过适当变形，凑出在点导数定义形式求解。【详解】故应选（B）。评注：已知抽象函数在一点可导，求含有该函数的某个极限，一般应利

2、用导数定义完成。3、函数的驻点个数（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【分析】本题考查驻点的定义。先求出导函数，进而求出导函数的零点即可。【详解】：令，只需求，由于，所以有两解。 故应选（C）。4、微分方程的特解形式为（A） （B） （C） （D）【分析】考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。首先将方程右端分解，然后分别写出待定特解。【详解】特征方程为，解得所以的特解为、的特解为。由叠加原理知的特解形式为。5、设函数，具有连续二阶连续导数，满足，且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（A），（B），（C），（D），【分析】本题考查二元函数极值的充分条件.利用二阶连续可偏导二元函数取

3、极小值的充分条件求解.【详解】由于，；，。所以在点处，、。要使在点处取得极小值，则必有,从而，,所以,.从而应选(A) .6、 设，则的大小关系是（A） （B） （C） （D）【分析】利用积分的性质直接比较被积函数在积分区间上的大小.【详解】因为，所以而反常积分与都收敛, 利用积分的保号性知：。故应选(B).评注:与都是以为瑕点的反常积分,不难证明他们都是收敛的; 对于收敛的反常积分,类似于定积分的比较性质也成立.7、设为三阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记，则（A） （B） （C） （D）【分析】考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系和逆矩阵的基本知识.【详解

4、】对阶矩阵做一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的阶(阶)初等矩阵左（右）乘矩阵A。由题设，而，因此，所以。 故应选(D)8、设是4阶矩阵，是的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的一个基础解系为（A） （B） （C） （D）【分析】本题考查伴随矩阵和向量组相关性及方程组基础解系的有关知识.【详解】显然，所以，从而的基础解系中含3个线性无关的解向量。因为，所以都是方程组的解，又因为是方程组的一个基础解系，所以线性相关，因此线性无关。故是的基础解系。评注：涉及伴随矩阵的问题，常常用到下列结论：； 若可逆，则，。二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9、

5、_。【分析】考查未定式.可以利用重要极限、罗必达法则及常用求此类极限的方法求出。【详解】法一:法二:其中。因此法三：评注：求常用方法：设，则10、微分方程满足条件的解为_。【分析】考查一阶线性微分方程求特解的方法，可利用公式直接计算。【详解】因为，所以。故所求特解为。11、曲线的弧长_。【分析】直接利用直角坐标系下求弧长公式计算。【详解】12、若函数，则_【分析】考查分段函数的反常积分。【详解】。13、设平面区域由直线圆及轴所组成，则二重积分_【分析】考查初等函数二重积分的计算。由于积分域是圆的一部分，故选择极坐标计算。【详解】14、二次型，则的正惯性指数为_【分析】考查二次型的有关知识。求正

6、惯性指数，只要求出二次型矩阵的特征根，判断特征根的符号即可，或化为标准型来确定。【详解】法一：二次型矩阵为，而所以矩阵特征值为，因此的正惯性指数为2。法二：二次型通过配方法化为，从而正惯性指数为2.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知函数，设，试求的取值范围【分析】考查极限逆问题、未定式的极限、变上限函数求导。【详解】因为，所以；要使则必有，所以；因为要使，必有，所以。综上可得。16、（本题满分11分）设函数由参数方程确定，求函数的极值和曲线的凹、凸区间及拐点。【分析】考查参数方程确定函数的求导

7、方法、极值和拐点的确定方法、凹凸区间的判别法。先求出函数的一阶、二阶导数，然后求函数驻点和二阶导数等于零的点，进而分区间判断各子区间上一阶、二阶导函数的符号，确定出函数的极值点与拐点。【详解】，令，解得，由于，所以当时，即时，函数取极小值；，所以当时，即时，函数取极大值；令，解得，当时，；当时，。又 当时，所以曲线的凹区间是；当时，所以曲线的凸区间是，且点是曲线的拐点。17、（本题满分9分）设其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取得极值，求【分析】考查多元抽象复合函数求二阶偏导数。使用复合函数链式法则求出二阶混合偏导数。注意题设中的条件“函数可导，且在处取得极值”，对于可导函数而言，这

8、意味着。【详解】因为函数可导，且在处取得极值，所以，从而。18、（本题满分10分）设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾斜角，若，求的表达式。【分析】本题考查导数的几何意义、微分方程的建立及可降阶微分方程求解等知识点。首先利用题目中包含的信息列出满足的微分方程，然后由题设条件“曲线与直线相切于原点”知，这是微分方程的初始条件。最后求满足初始条件的特解。【详解】因为曲线与直线相切于原点，所以，因为为曲线在点处切线的倾斜角，所以，所以，即 法一：令，则方程变为，变量分离得两边积分得，因为，所以故，即， 从而（由于，所以负值舍去）即，解得，由于，所以于是。 法二：令，则，

9、于是有分离变量得，解得；因为，所以，从而，即分离变量得，解得， 所以因为，解得，于是。19.（本题满分10分）（）证明：对任意正整数，都有（）设，证明数列收敛【分析】本题（）考查不等式的证明，通过变形后直接利用拉格朗日中值定理证明。（）利用单调有界数列必有极限的性质来证明。【详解】（）因为令在区间上使用拉格朗日中值定理可得由于，所以，因此（）由（）可得，所以数列单调减少又因为，所以所以，所以，即有下界。由单调有界准则可得数列收敛。20、（本题满分11分）一容器内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线是由与连接而成的。（）容器的容积（）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功

10、？（长度单位：，重力加速度,水的密度为）【分析】本题考查旋转体求体积、变力做功。（）直接利用求旋转体体积公式计算即可；（）用微元法求解。【详解】（）法一： 法二：。（）（焦耳）。21、（本题满分11分）已知函数具有二阶连续偏导数，且其中。计算二重积分【分析】本题考查抽象函数的二重积分。用二元函数偏导数与导数关系及分部积分法计算二重积分。【详解】法一：。 法二：22、（本题满分11分）设，不能由，线性表出。（）求（）将由线性表出【分析】)考查已知向量组线性无关求参数,)考查一个向量组有另一个向量组线性表示的问题.【详解】（I）由于，不能由，线性表出，所以线性相关(因为任意个维向量线性相关,从而线性相关，若线性无关，则可由线性表示)，从而，而,故可解得（II）法一：设，由于，所以线性无关。则而，从而因此，。法二： 若由线性表出，对作初等行变换，有所以，。23、（本题满分11分）设是三阶实对称矩阵，的秩为2且 （I）求的所有特征值与特征向量（II）求矩阵【分析】（I）考查特征值特征向量求法，注意，所以必有一个特征值为；（II）在（I）