微积分课件：5-1 向量及其线性运算

1、一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算二、向量的概念二、向量的概念三、三、向量的加减法向量的加减法四、向量与数的乘法四、向量与数的乘法五、小结五、小结x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、空间点的直角坐标、空间点的直角坐标xyozxoy面面

2、yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M2、空间两点间的距离、空间两点间的距离 .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx 的距离的距离面面点到坐标轴点到坐标轴思考思考)(:向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为

3、终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .0a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：二、向量的概念二、向量的概念或或或或: :与向量向量 同方向同方向的单位向量的单位向量. .a0a : :与向量向量 平行平行的单位向量的单位向量. .a自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向

4、径：向径：aba a起点为原点的向量起点为原点的向量1. 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）三、三、向量的线性运算向量的线性运算s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 . .2. 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，

5、反向，|aa aa2a21 3.向量与数的乘法向量与数的乘法aa 总之总之: :数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向

6、的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMabxyzo 1MPNQR 2MijkkzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,)(,)(,)(121212kzzjyyixx 向量的向量的坐标表达式坐标

7、表达式：,12121221zzyyxxMM 12:xxx 轴上的投影轴上的投影向量在向量在12:yyy 轴上的投影轴上的投影向量在向量在12:zzz 轴上的投影轴上的投影向量在向量在向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点

8、，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知为两已知点，而在点，而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为为两部分两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点的坐标，求分点的坐标.ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zz

9、z 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|12axx cos|12ayy cos|12azz 方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .212212212)()()(zzyyxx PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM ,)()()(cos21221221212zzyyxxxx

10、,)()()(cos21221221212zzyyxxyy .)()()(cos21221221212zzyyxxzz 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式021 MM当当1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例 3 3 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或-0a|aa .11

11、6117116kji 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 例例 5 5 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦