圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

1、、求轨迹方程：圆锥曲线综合训练题21、(1)已知双曲线 C1与椭圆C2:36249 1有公共的焦点，并且双曲线的离心率e与椭圆的即 | AB AC 6(*)点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)离心率e2之比为-，求双曲线C1的方程.3(2)以抛物线y2 8x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段/ 2a=6, 2c=10 a=3,c=5 , b=4解：G的焦点坐标为(0,.13). e由ee2MA的中点为P,求P点的轨迹方程.713、得e1设双曲线的方程为33所求轨迹方程为2壬 1(x3)162 y 2 a1(a,ba2b20)则 a2 b22a1313解得99,b2双曲线的方程为(2)解:设

2、点 M (xo,yo), P(x, y)，则点评：要注意利用定义直接解题，这里由(* )式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)3、如图，两束光线从点 M(-4 , 1)分别射向直线 y= -2上两点P (X1,屮)和Q(X2, y?)后,2反射光线恰好通过椭圆C: Aa每 1 (ab0)的两焦点，已知椭圆的离心率为，且b22y2、(1)代入X02yo2P的轨迹方程.x0 2x 6y。 2yX2-X1 = ，求椭圆C的方程.5解：设 a=2 k,b= 3 k，其椭圆的方程为x4k2_y3k2角形重心28X0得：y 4x 12 此即为点ABC的底边BC 16, AC和AB两边上中线长之和为 30,由

3、题设条件得:2)G的轨迹和顶点 A的轨迹.(2) ABC中，B(-5,0),C(5,0),建立适当的坐标系求此三3且 si nC-si nB= si nA,求5点A的轨迹方程.解：由GC(1)以BC所在的直线为x轴,lGB20,知G点的轨迹是以2故其方程为100BC中点为原点建立直角坐标系.设 G点坐标为x, B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.2I 1 y 036设 A x, y ,10, ck0 2k x26X2- X1 =5(4 X11 ( 2)4 x2由、解得：k=1,11X1 =5X2=-1，所求椭圆C的方程为匚2x1002y36xy 0 .由题意有x3,x23代入，得A的轨迹方程为

4、 y90032y324其轨迹是椭圆(2)分析：(除去 x轴上两点).由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R (R为外接圆半径)，可转化为边长的关系.33解：si nC-si nB=si nA 2Rsi nC-2Rsi nB= 2Rs inA55 ABAC 3 BCl51.4、在面积为1的 PMN中，tanM-,tanN 2，建立适当的坐标系，求出以2R在线段PQ上,评 2|rq ,点R分有向线段PQ的比为m1 -42m 4X23x413m212即，点P的坐标为yn1 -0 22nn3y21132222 2x +y=4可得災匕4 ,222点R的轨迹方程为 x +y2=1

5、6 ( yM 0)3927、设双曲线差aF2，离心率为2. (I )求此双曲线的渐近线I1、122|AB| 5|F1 F2I，求线段AB的中点M的轨迹方0)能否作出直线I，使I与双曲线交于 P、Q两点，且OP 解: (I)若不存在，说明理由c24a2c2a23,1, c 2双曲线方程为(II )设 A(x1,B(x2, y2) , AB的中点M x,5-2c 102又y1(%2y2)103-一X1 ,y2X2, 2x3X1X2 ,2y3,3(X1X2), y1y2(X1X2)y12y1y22；(X1(X1.33y23(y12)X2)103(2y)2扣X)22即753y225k(x1),I与双曲

6、纟戋交于P(x1,OP OQ0x1x2yy0x1x2k2(x11)(X21) 0X1X2k2 X1X2 (X1X2)10设I: y(Ill )假设存在满足条件的直线 Iyj、Q(X2, y?)5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点 Q的坐标为(4, 0).(1)求线段PQ的中点的轨迹方程；(2)设/ POC的平分线交PQ于点R(O为原点)，求点R的 轨迹方程.解：(1)设线段PQ的中点坐标为M( x,y),由Q( 4,0)可得点P (2x-4,2y),代入圆的方程x2+y2=4 可得(2x-4 ) 2+ (2y) 2=4,整理可得所求轨迹为(x-2 ) 2+y2=1.| OP |1(2

7、)设点R (x, y), P (m n),由已知| Of=2 , | 0Q=4丄，由角平分线性质可|0Q |2得Q 1=1 ,又.点|0Q| |RQ| 21一，由定比分点坐标公式可得23x 4,3y ，代入圆的方程2 22即 x +y2=16 (yM 0).396、已知动圆过定点1,0 ，且与直线x 1相切.(1)求动圆的圆心轨迹 C的方程；(2)是否存uiv uuu 在直线|，使|过点(0, 1),并与轨迹c交于p,q两点，且满足Op Oq 0 ?若存在，求出直 线I的方程；若不存在，说明理由.解：(1)如图，设 M为动圆圆心， F 1,0，过点M作直线x 1的垂线，垂足为 N，由题 意知：

8、MF MN ,即动点M到定点F与定直线x1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中 F 1,0为焦点，x 1为准线，动点R的轨迹方程 为 y2 4x(2)由题可设直线|的方程为x k(y 1)(k0),x k(y 1)2由 2得 y 4ky 4k 0y 4x 16k2 16 0, k1 或k 1设 P(X1，y1), Q(X2,y2)，则 y y2 4k , y2 4kuuu uurunuur由 OP OQ 0,即 OPX1,y1 , OQX2, y? ，于是为X2 y1 y2 0 ,2 2 2 2即 ky11y21yy0, (k1)%y2k (%y?)k 0,2 2 24k (

9、k1) k g4k k 0,解得 k 4 或 k 0 (舍去)，又k 41 ,直线I存在，其方程为x 4y 402X1的两个焦点分别为3的方程；(II )若A、B分别为丨一、I2上的点，且程，并说明轨迹是什么曲线；(III )过点N(1, OQ 0.若存在，求出直线I的方程;e 2,2X1，渐近线方程为32|AB|肝问5|AB| -IF1F2I则M的轨迹是中心在原点， 焦点在x轴上，长轴长为10、3 ,短轴长为 型卫的椭圆.(9 分)3y由2yk(x2x得(3k1)x2 6k2x 3k2102由(i) (ii )得 k 30x210、已知椭圆二a满足|F!Q| 2a.点P是线段F1Q与该椭圆的

10、交点，点 T爲 1（a b 0）的左、右焦点分别是 F1 （ c, b20)、F2 (c, 0), Q 是椭圆外的动点，则X1X26k23k213k23,X1X23k2(ii)PT TF20,| TF2 | 0.（1）设x为点P的横坐标，证明| R P | a在线段F2Q上，并且满足cX ； （n）求点T的轨迹ak不存在，即不存在满足条件的直线（川）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M,使AF 1MF的面积S=b2.若存在，求/F 1MF228、设M是椭圆C：- 丫 1上的一点，124为椭圆C上异于M的另一点，且MN_ MQ 的轨迹方程.解：设点的坐标C的方程； 的正切值；若不存在，请说明理由

11、.（I）证法一：设点 P的坐标为（x,y）.P、Q T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N由P（x, y）在椭圆上，得QN与 PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时，求动点 E|F1P| ,(x c)2 y22 2(x c) bM (Xi, yi), N(X2, y2)(xiyi0), E(x, y),b222xa则P(X1, yJ,Q(X1,22X1y11,L L LL (1)124X22y21. L L LL (2)124MN_ MQkMNkMQ1,kMNJy1直线PT的方程呈为yx.从而得y1所以kQN2力）,丁（人，yj (a -x)2.i ax23分由（1） - （2）可得kMN上.

12、直线QN的方程为y3x-iy1(x3x-i2x1,y丄仏.所以x 2x, y121（xy 0）,此即为所求的轨迹方程9、已知：直线L过原点，抛物线 C的顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上。B（ 0，8）关于L的对称点都在 C上，求直线L和抛物线C的方程.xjy1，又2y.代入（1）可得若点 A（ -1，0）和点分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法.设出它们的方程，L： y=kx（k丰0）,C: y2=2px（p0）.B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A设A、B关于L的对称点分别为2 二（,斗），卑,1）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去P,得：k2-k-仁0.k 1 k 1k2 1k

13、2 112J51 52 4J5解得：kd5,p=3.所以直线L的方程为：丫=丄 5x,抛物线C的方程为y2=x.2525由x a,知a x ac a 0，所以|F1P|ca x.a证法二：设点P的坐标为（x, y）.记|卩尸| r1 ,| F2P |则 r1, (x c)22y ,r2x c)2由r12a, r12r224cx,得 | F1P |r1c x-a证法三：设点P的坐标为（x, y）.椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得 |FP|21 a 1|x |cp 2即 | F1P | - |x a c|a-x 0. a-x|. a由x a,知a x a0，所以| RP |c x.a（n）解法一

14、：设点 T的坐标为(x,y).当|PT | 0时，点（a, 0）和点（一a , 0）在轨迹上.当| PT | 0且 |TF2 | 0时，由 | PT | |TF2 | 0，得 PT TF2 .又|PQ | | PF2 |，所以T为线段F2Q的中点. 1 一在厶QF1F2中，IOTI -I F1Q I a，所以有2综上所述，点T的轨迹C的方程是x2 y2解法二：设点T的坐标为（x, y）.当| pt | 0时,占八、（a , 0）和点（a , 0）在轨迹上.当 I PT |0且 ITF2 I 0 时，由 PT TF20，得 PT TF2 .又 I PQIIPF2 I，所以T为线段F2Q的中点设点

15、Q的坐标为（x , y ）因此xy2x c,2y.由 IFQI2a 得(xc)24a2.将代入，可得X2综上所述，点T的轨迹C的方程是（川）解法一：C上存在点M( X0, y)使S=b2的充要条件是解法二：C上存在点M （ X0,y0）使s=b2的充要条件是2 2 y0 a ,2X0122cy Ib2.由得| yo |疋，2b_时,b2上式代入得x2b2(a )(acb2)0.c存在点M使S=b2 ；不存在满足条件的点M.a 时，记k1kcy0F1M,XocF2My。X0c11由 I F1F2 I 2a,知 F1MF290，所以 tanf,mf214分2 2 2X0 y a ,12c2Iy01

16、 b2.由得I y01a，由得I y。Ib2b22所以，当a 时，存在点M使S=b2 ；c不存在满足条件的点M.11分a -时,cMF1X0,y0), MF2(c x, y),由 MF1 MF22X02y。b2 ,MF1 MF2 I MF1| | MF2 I cos F1MF2,S 1I MF1 I2IMF2 Isin F1MF2 b2,得 tan F|MF22.11、设抛物线C : y X2的焦点为F,动点P在直线丨:X 两条切线PA PB,且与抛物线 C分别相切于A、B两点. 证明/ PFA=/ PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为(X, X：)和 (x1,x12)(x1切线AP的方程

17、为:切线BP的方程为:解得P点的坐标为:2xx2x1x2八yX00;y x o；X0X1Xp T-,yp X0X1所以 APB的重心G的坐标为 xGyy0 y1 yp所以ypx ( 3y3yG4x2)（2）方法1:因为X0X1Xp2 2X0X1X0X1324xg，由点P在直线FA(X0X1)21 20,即 y(4xI 2.1&k2y 20上运动，过P作抛物线C的（1）求厶APB的重心 G的轨迹方程；（2）X。）,xp,X0X14xp2yp3l上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为:2 1 k(X0,X0-),FP2).(X0 . X1 ,X0X1 -4),FB (X1,X12 三).244由于P

18、点在抛物线外，则|FP| 0./ cos AFP FP FA|FP|FA|XoXi/121、 iXo(XoXi )(Xo)2442 2 i 2(Xo )4iXoXi4|FP|同理有cos BFPFP FBXo X!2/.z AFPK PFB.方法2：当Xi XoI FP | FB |Xi (XoX!1 )(x4/2 2 1 |FP | Xi(Xi)、41XoXi -4|FP|点到直线BF的距离d2丄勺，因此由di=d2，可得到Z AFP=Z PFB.2二、中点弦问题：x2i ii2、已知椭圆 y2 i , (i)求过点P -,丄 且被P平分的弦所在直线的方程；(2)求斜率22 2为2的平行弦的

19、中点轨迹方程；(3)过A 2,引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点P、Q , O为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOP kOQ-，求线段PQ中2o时，由于XiXo,不妨设Xo o,则yoo,所以P点坐标为中)，则2 iP点到直线AF的距离为：di 凶;而直线BF的方程:y -4x,24Xi即(xi2 1)x Xi y 丄 xi o.44解：设弦两端点分别为M Xi, yi , N X2, y2，线段 MN 的中点 R x, y，则x2 2y2 2,一得 x2x2 x2x22 yi y2 yiy20 .X 2y| 2,由题意知x2x2 ,则上式两端同除以x2 x2 ,

20、有x2 x2 2x,yi y2 cXiX2 2 yiy20,yi y2 2y,Xi X2将代入得X 2yyi y20 .XiX2点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.所以 di=d2，即得Z AFP=Z PFB.,/ 2i、号|(Xi-)d d2424(X；iJ21(Xi)24所以P点到直线BF的距离为:(Xi22Xi当XiXo o时，直线AF的方程：y -4直线BF的方程:i、| xi |4)丁| Xi |2(i )将 x代入，得yiyx2x21J，故所求直线方程为:22x4y 30 .将代入椭圆方程x2 2y22 得 6y26y360符合题意,2 iX

21、oi4(x o),即(xf -)x XoyXo o42 ixi42 ii4 (x o), 即(Xi)x XiyXixi o44o,所以P点到直线AF的距离为:|(x：diA亍)2Xo Xi*X |4XoXi2)(Xo2i)2 xo24i；X oo,2x 4y 30为所求.(2 )将y一壮Xi X22代入得所求轨迹方程为:4y0 .(椭圆内部分)XiX2(4)由+得| Xo Xi |T，同理可得到Py代入得所求轨迹方程为:22 2x2 x222xiX2 ,2 yi,xi x2 4x2将代入得:,24x 2 Xi x244y22y22x2y 0 .(椭圆内部分)1再将yiy2x2x2代入式得：22

22、x2X-|X2厶y24y 2yiy2 ,yiy22 ,4y22x；x22 ,将平方并整理得22 yi2 y2 1X I 1 .2此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，2 2C： 2 y1(a b 0)的两个焦a b414RF2PFj -,| PF2I. (I)求椭圆33还可用其它方法解决.13、椭圆PF1点为F1,F2,点 P在椭圆C上，且C的方程;2 2(n)若直线I过圆x+y +4x-2y=0M交椭圆C于代B两点，且A B关于点M对称,的圆心解法一：(I)因为点P在椭圆C上，所以2aPFj PF2求直线I的方程.6 , a=3.在 Rt PFF2 中，F-| F2PF2PF1

23、2 5,故椭圆的半焦距c.5,2y-=1.4(n )设A, B的坐标分别为(X1,y1)、(X2, y2). 由圆的方程为(x+2) 2+(y 1) 2=5,所以圆心 M代入得h上=8，即直线X1X29所以直线I的方程为y 1 =-2 2 914、已知椭圆爲二 1(a ba bI的斜率为-,9(x+2),即8x 9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.墜.(1)40)的一个焦点Fi(0,2 2),对应的准线方程为求椭圆的方程；(2)直线I与椭圆交于不同的两点直线I的方程.c2解：(1)由 ac2 222 得 a 3,b142c .N,且线段MN恰被点P12平分，求2从而b2=a2 c2

24、=4,所以椭圆C的方程为 9即椭圆的方程为22 y 彳x1.9(2)易知直线I的斜率一定存在，设的坐标为(一2, 1). 从而可设直线I的方程为y=k(x+2)+1,2222代入椭圆 C 的方程得(4+9k ) x+(36k+18k) x+36k +36k 27=0.kx因为A B关于点M对称.所以也空22%译2解得k 9，所以直线I的方设 M (xi, yi)，N( X2, y2)，由1. X1、X2为上述方程的两根,得(92 2k )x(3kk2)x27 0.4程为y8(x 2)1, 即 8x-9y+25=0.9(3 k4(9k2)解法二:(I )同解法经检验，符合题意). .22. .(

25、n)已知圆的方程为(x+2) +(y 1) =5,所以圆心M的坐标为(一2, 1)./ MN勺中点为3k k29 k2 .1P2x221.设A,B的坐标分别为(X1, y1) ,( x2, y2).由题意X1 X2 且二 3k k29k2，解得 k=3.-得2743k k22X192y141,代入中,1824(9 9)2741822X291,直线I : y=3x+3符合要求.x215、设F1 ,F2分别是椭圆C:飞a(X1X2)(X1X2)(y1 y2)(%y?)0.y2到F1 ,F2两点距离之和等于 4,写出椭圆动点，求线段 KF1的中点B的轨迹方程；(a0)的左右焦点,C的方程和焦点坐标；

26、(2)设K是(3)设点P是椭圆C上的任意一点,kPM , Kpn因为A、B关于点M对称，所以X1+ x 2=- 4, y 1+ y 2=2,椭圆相交于 M N两点，当直线PM , PN的斜率都存在，并记为 的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论.(1)设椭圆C上的点 心)(1 )中所得椭圆上的 过原点的直线 L与试探究kpM K pn解：(1)由于点门于)在椭圆上，23 2丐)12 a =4,b2椭圆C的方程为焦点坐标分别为-i, o),(i, o)(2)设KFi的中点为B (x, y )则点K(2x 1,2y) 把K的坐标代入椭圆2y_3中得将A(X1, yj B(X2, y2)代入椭圆

27、方程，有2X12X2(2x42 21)(2y)3线段KFi的中点B的轨迹方程为(x -)222乞134292y291 (1)1(3)设过原点的直线L与椭圆相交的两点M (Xo,yo) N( xo, yo), p(x,y)M N关于坐标原点对称M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程2X)2 a2yo 1 b212 X 書2 y b21 kPMyyoX XokpnyXyoXo22y yoyyoyyob2kPMK PN =22 =XXoXXoXXoa(2)得，(X2X1 )( X2xj故kABy2y19(X2X1)X2X1y2y1则有093. 3或-3 32kAB22解得 kAB3或 kAB 、. 3

28、,故存在直线I满足条件，其倾斜角(y2 yJ(y2 yJ99 ( 1)2 yo92kAB所以yo92kAB故：kpM Kpn的值与点P的位置无关，同时与直线L无关9 22416、已知椭圆的一个焦点为F1(0, 2、2)，对应的准线为y，离心率e满足一,e-成433等比数列.(I)求椭圆的方程；(n)是否存在直线|，使|与椭圆交于不同的两点 A, B，且线三、定义与最值：17、已知F是椭圆5X2 9y245的左焦点，3(1 )求PA PF的最小值，并求点P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.p的坐标；(2)求PA PF的最大值和最小值.1段AB恰好被直线x平分？若存在，求出直线I的倾斜角 的

29、取值范围；若不存在，说明2解:由椭圆的第二定义转化知PA-| PF2理由.2 482 J 2解：(I)由题意知， e ，所以e .393(x, y)，则由椭圆的第二定义得,2-1，故所求椭圆方程为9(2)依题意，由椭圆的第二定义知PA.0，所以只能取x于是y3，所以点P的坐标为j；39 分(3)直线 AP : x ,3yM是(m,0)，则点M到直线AP的距离是2又点M在椭圆的长轴上，即.当2时,椭圆上的点到6 m 6M (2,0)的距离2d2(x2)2x225、4x4 20 -99亠t时，d取最小值152角坐标系xoy中，向量 j4(x 9)29215椭圆长轴2a 、(22)2(3 0)2(2

30、 2)2 (30)2 8a 4,b2121 、17 K2 a, b1, 17或 2a . (2 2)2(1 0)2 (22)2(1 0)21, 172222故所求椭圆方程为xy 1.或2x2y 114分1612917 1172226、已知点F(0,1)，一动圆过点F且与圆x2(y 1)28内切.或 OM 3 (2. 3, 2 3)(0,1)(2, 1) 12 分3(i)求动圆圆心的轨迹 C的方程；(n)设点A(a , 0)，点P为曲线C上任一点，求点 A到点uuu OFULTFPuuu t,OM面直3 uuu T3OP j - (I )设43(0,1),OFP的面积为Z 3 ,且t 4 3,求

31、向量OfeFP勺夹角 的取值范围；(II )设以原点P距离的最大值d(a)；(川)在0 a 1的条件下，设厶 是曲线C上横坐标为 问m是否存在最小值， 解(I)设动圆圆心为由题意知|MF |OF | c,t解：(1) 由O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点 M,且 (3 1)c2,当 |OP|取最小值时，求椭圆的方程-14-； 3 丄2 3- | OF | | FP | sin ,得 | OF | | FP |，由 cos2sin所以点M的轨迹POA的面积为3 ( O是坐标原点，P a的点)，以d(a)为边长的正方形的面积为 S2 .若正数m满足S1 mS2, 若存在，请求出此

32、最小值，M(x, y)，半径为r ,|ME |C是以E、2一2 r,若不存在，请说明理由. 已知圆圆心为E(0, 1),|MEF为焦点，长轴长为|MF | 2 2,2 2的椭圆，其方程为x2得tan4一31 tan .3OF FP|OF | |FP |t sin ?4.3(n)设0, 夹角的取值范围是(x 当a 当1 f(x) 当(2)设P(X0，y),则FP(x c,y),OF uuuOFuuuFP (X0S OFPc,y) (c,0) (xo1|OF|y0| 2方y。c)c心c(c,0).t (乜 1)c2X0所以,uuu|OP|2y0( 3c)2 (3)2、2 .3c 4 32 6chc

33、10分当且仅当、3c口，即c 2时,|OP|取最小值2.6,此时,OP (2.3, 2 3) cP(x,y) a)21,则 | PA |2(xa)2y2 (xa)22 2x22ax2仝12a2 22a22 ,令 f (x)2 2(x a) 2a2, x 1,1，所以,即a1时f(x)在1,1上是减函数，f (X) maxf( 1)(a1)2;1，即1a 1时,f (x)在1, a上是增函数,在a ,1上是减函数,f(a)2a22 ;a1时,f(x)在1,1上是增函数，f (X)maxf (1)(a1)2 .1a ,a1则max1,d(a) . 2a22 ,1 a ,(川)当0 a 1时,若正数m满足条件，则m2OXQ，令8(a2 1)2P(a,2 2a2),于是S1-a 2(1 a2) , S222a22 , (12 分)丄 a 2(