统计学第10章抽样调查

1、第一节第一节 抽样推断概述抽样推断概述第三节第三节 参数估计参数估计第二节第二节 随机抽样的概率分布随机抽样的概率分布第四节第四节 抽样设计抽样设计第第1010章章 抽样推断抽样推断第一节第一节 抽样推断概述抽样推断概述 统计推断统计推断 与全面调查相比，抽样调查既节省了人力、物力、与全面调查相比，抽样调查既节省了人力、物力、财力和时间，又达到了认识总体数量特征的目的。财力和时间，又达到了认识总体数量特征的目的。我国在我国在1994年确立了以周期性普查为基础，以经常年确立了以周期性普查为基础，以经常性抽样调整为主体，同时辅之以重点调查、科学核性抽样调整为主体，同时辅之以重点调查、科学核算等综合

2、运用的统计调查方法体系。算等综合运用的统计调查方法体系。 表明大量随机观象平均结果具有稳定性的性表明大量随机观象平均结果具有稳定性的性质。大数定律论证了如果独立随机变量总体质。大数定律论证了如果独立随机变量总体存在有限的平均数和方差，则对于充分大的存在有限的平均数和方差，则对于充分大的样本可以近乎样本可以近乎100%100%的概率，期望样本平均的概率，期望样本平均数与总体平均数的绝对离差为任意小。数与总体平均数的绝对离差为任意小。 1)(limXxPn如果变量总体存在有限的平均数和方如果变量总体存在有限的平均数和方差，那么不论这个总体的分布如何，差，那么不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增

3、加，样本平均数的随着样本容量的增加，样本平均数的分布，便趋近于正态分布。分布，便趋近于正态分布。 又称总体或母体，是所要认识研究对又称总体或母体，是所要认识研究对象的全体，它由具有某种共同性质或象的全体，它由具有某种共同性质或特征的单位所组成。常用特征的单位所组成。常用N表示全及表示全及总体的单位数目。总体的单位数目。又称样本或子样，是指从全及总体中又称样本或子样，是指从全及总体中按照随机原则抽取的那部分个体的组按照随机原则抽取的那部分个体的组合。抽样总体的单位数称为样本容量，合。抽样总体的单位数称为样本容量，通常用通常用n表示。表示。1nN 。例如：在例如：在100100万户居民中，随机抽取

4、万户居民中，随机抽取10001000户居民进行户居民进行家庭收支情况调查，其中的家庭收支情况调查，其中的100100万户居万户居 民就是全及民就是全及总体，而被抽中的总体，而被抽中的10001000户居民则构成抽样总体。户居民则构成抽样总体。n30称为大样本称为大样本,n 30称为小样本称为小样本.n/N称为抽样比称为抽样比.NNXXX,210N1NmiimiiiNiiffXXNXX111或miiimiiNiifXXfXXN1211211或miiimiiNiifXXfXXN121212211或PNNQNNP1,01PQPPP1PQPPP12有最大值时，当PQP5 . 0nnxxx,210n1n

5、miimiiiniiffxxnxx111或miiimiiniifxxfsxxns121121111或miiimiiniifxxfsxxns12121221111或为自由度为自由度为 的无偏估计2为 的无偏估计pnnqnnp1,01pqnnppnnsp111pqnnppnnsp1112为为 的的无偏估计无偏估计2P为为 的的无偏估计无偏估计P重复抽样重复抽样从总体从总体N N个单位中随机抽取一个样本容个单位中随机抽取一个样本容量为量为n n的样本，每次从总体中抽取一个，的样本，每次从总体中抽取一个，并把结果登记下来，又放回总体中重新并把结果登记下来，又放回总体中重新参加下一次的抽选。又称放回抽样

6、参加下一次的抽选。又称放回抽样不重复抽样不重复抽样每次从总体中抽选一个单位后就不每次从总体中抽选一个单位后就不再将其放回参加下一次的抽选。又再将其放回参加下一次的抽选。又称不放回抽样称不放回抽样.总体单位数总体单位数N N不变，同一单位可能不变，同一单位可能多次被抽中。多次被抽中。总体单位数减少总体单位数减少n n，同一单位只可，同一单位只可能被抽中一次。能被抽中一次。根据取样方式不同，可分为：根据取样方式不同，可分为：根据对样本的要求不同，可分为：根据对样本的要求不同，可分为：考虑顺序抽样考虑顺序抽样不考虑顺序抽样不考虑顺序抽样考虑各单位的中选顺序。考虑各单位的中选顺序。ABCCBA不考虑各

7、单位的中选顺序。不考虑各单位的中选顺序。ABCCBA考虑顺序的重复抽样考虑顺序的重复抽样不考虑顺序的不重复抽样不考虑顺序的不重复抽样考虑顺序的不重复抽样考虑顺序的不重复抽样不考虑顺序的重复抽样不考虑顺序的重复抽样综合起来共有综合起来共有四种抽样方法四种抽样方法考虑顺序的不重复抽样考虑顺序的不重复抽样不考虑顺序的不重复抽样不考虑顺序的不重复抽样考虑顺序的重复抽样考虑顺序的重复抽样不考虑顺序的重复抽样不考虑顺序的重复抽样)!/(!nNNpnNnNnnNC1nNC把某一抽样方法的全部可能的样本指标与其相把某一抽样方法的全部可能的样本指标与其相应的概率排列起来，就得到样本的概率分布。应的概率排列起来，

8、就得到样本的概率分布。 若将样本指标的取值分别记为若将样本指标的取值分别记为 其相应的其相应的概率记为概率记为P1，P2，Pn，将它们按顺序排列起来，将它们按顺序排列起来，可得如下概率分布表。可得如下概率分布表。,.,21nxxx x1x2xnxnP)(xPnP1P2P第二节第二节 随机抽样的概率分布随机抽样的概率分布 样本统样本统计量计量总体未总体未知参数知参数样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计量计量样本统样本统计

9、量计量主要样本主要样本统计量统计量xp2S分布的形分布的形状及接近状及接近总体参数总体参数的程度的程度学生学生成绩成绩 30 40 50 60 70 80 90按随机原则抽选出名学按随机原则抽选出名学生，并计算平均分数。生，并计算平均分数。平均数的抽样分布平均数的抽样分布样本样本均值均值样本样本 均值均值样本样本均值均值ABCDABCEABCFABCGABDEABDFABDGABEFABEGABFGACDEACDF4547.55052.55052.5555557.56052.555ACDGACEFACEGACFGADEFADEGADFGAEFGBCDEBCDFBCDGBCEF57.557.56

10、062.56062.56567.55557.56060BCEGBCFGBDEFBDEGBDFGBEFGCDEFCDEGCDFGCEFGDEFG62.56562.56567.5706567.57072.575样本均值样本均值 45 47.5 50 52.5 55 57.5 60出现次数出现次数 1 1 2 3 4 4 5样本均值样本均值 62.5 65 67.5 70 72.5 75出现次数出现次数 4 4 3 2 1 1二者均值相等二者均值相等样本均值样本均值 45 47.5 50 52.5 55 57.5 60出现次数出现次数 1 1 2 3 4 4 5离差离差 -15 -12.5 -10

11、-7.5 -5 -2.5 0样本均值样本均值 62.5 65 67.5 70 72.5 75出现次数出现次数 4 4 3 2 1 1离差离差 2.5 5 7.5 10 12.5 15学生学生成绩成绩 30 40 50 60 70 80 90离差离差 -30 -20 -10 0 10 20 302007. 7100214201747122nNnNx07. 7xn1)()(XxXxE),(2nXNx5)1(,5)1,(pnnpnPPPNp)()(PpPpEn1教师是否博士教师是否博士 是是 是是 否否 否否 否否 是是 具有博士学位的具有博士学位的比率：比率：0.5比率的标准差：比率的标准差：0.

12、5从总体中按重复抽样方法随机从总体中按重复抽样方法随机抽取人，计算其比率和标抽取人，计算其比率和标准差准差p比率的抽样分布比率的抽样分布样本样本 比率比率 离差离差 样本样本 比率比率 离差离差ABCDABCEABCFABDEABDFABEFACDEACDF0.50.50.750.50.750.750.250.5000.2500.250.25-0.250ACEFADEFBCDEBCDFBCEFBDEFCDEF0.50.50.250.50.50.50.2500-0.25000-0.25Pnpp5 . 0p5245 . 05 . 01)1 (1581. 015375. 0)(2NnNnPPffpp

13、p全部可能样本比率的均值等于总全部可能样本比率的均值等于总体比率，即：体比率，即： 从非正态总体中抽取的样本比率当从非正态总体中抽取的样本比率当n足够大时其分布接近正态分布。足够大时其分布接近正态分布。 从正态总体中抽取的样本比率不论容从正态总体中抽取的样本比率不论容量大小其分布均为正态分布。量大小其分布均为正态分布。样本比率的标准差为总体标准差的样本比率的标准差为总体标准差的 。n1)()(PpPpE比率的抽样分布比率的抽样分布5)1 (5)1 (,(pnnpnPPPNp学生学生成绩成绩 60 70 80 90均值均值 75方差方差 125从中按重复抽样方式抽取人，从中按重复抽样方式抽取人，

14、计算样本的均值及方差计算样本的均值及方差S 。x方差的抽样分布方差的抽样分布A60B70C80D90A6060 60600060 7065255060 807010020060 9075225450B7070 6065255070 70700070 8075255070 9080100200C8080 607010020080 7075255080 80800080 90852550D9090 607522545090 708010020090 8085255090 909000nxxnxxSn22)(1)(221nxxSn5 .62)(22mSSEnn125)(2121mSSEnn12522

15、1nS2nSX510样本抽样分布样本抽样分布原总体分布原总体分布xX抽样误差抽样误差167CM 169CM 172CM 160CM 162CM 167CM 175CM 180CM 165CM 167CM170CM 175CM 178CM 180CM 162CM 173CM 155CM 160CM 170CM 165CM平均身高平均身高=169.8CM平均身高平均身高=174.6CM总平均身高总平均身高=168.6CM第三节第三节 参数估计参数估计 也叫抽样估计，就是根据样本指也叫抽样估计，就是根据样本指标数值对总体指标数值作出估计标数值对总体指标数值作出估计或推断。或推断。 参数估计参数估计通

16、常，把用来估计总体特征的样本指标叫估计通常，把用来估计总体特征的样本指标叫估计量或统计量，待估计的总体指标叫总体参数。量或统计量，待估计的总体指标叫总体参数。特点特点1、它在逻辑上运用归纳推理而不是演绎推理。、它在逻辑上运用归纳推理而不是演绎推理。 2、在方法上运用不确定的概率估计方法，、在方法上运用不确定的概率估计方法，而不是运用确定的数学分析方法。而不是运用确定的数学分析方法。 3、抽样估计存在抽样误差。、抽样估计存在抽样误差。 点估计点估计从总体中抽取一个随机样本，计算与总从总体中抽取一个随机样本，计算与总体参数相应的样本统计量，然后把该统体参数相应的样本统计量，然后把该统计量视为总体参

17、数的估计值，称为参数计量视为总体参数的估计值，称为参数的点估计。的点估计。pPsxX, 的抽样分布的抽样分布x点估计的最大好处：给出确定的值点估计的最大好处：给出确定的值点估计的最大问题：无法控制误差点估计的最大问题：无法控制误差问题：问题：第一，我们为什么以这一个而第一，我们为什么以这一个而不是那一个统计量来估计某个总体不是那一个统计量来估计某个总体参数？参数？估计值的优良标准估计值的优良标准第二，如果有两个以上的统计第二，如果有两个以上的统计量可以用来估计某个总体参数，其量可以用来估计某个总体参数，其估计结果是否一致？是否一个统计估计结果是否一致？是否一个统计量要优于另一个？量要优于另一个

18、？oemmx估计值的优良标准：估计值的优良标准：无偏性、有效性、一致性无偏性、有效性、一致性若，则称为的无偏若，则称为的无偏估计量估计量)(E若，则称为比更有效的估计量若，则称为比更有效的估计量2121若越大越小，则称为的一致估计量若越大越小，则称为的一致估计量nn1)(limPn学生学生成绩成绩 30 40 50 60 70 80 90按随机原则抽选出名学生，按随机原则抽选出名学生，并计算平均分数和中位分数。并计算平均分数和中位分数。样本均值样本均值 45 47.5 50 52.5 55 57.5 60出现次数出现次数 1 1 2 3 4 4 5样本均值样本均值 62.5 65 67.5 7

19、0 72.5 75出现次数出现次数 4 4 3 2 1 1样本中位数样本中位数 45 50 55 60 65 70 75出现次数出现次数 4 3 8 5 8 3 4中位数的中位数的抽样分布抽样分布平均数的平均数的抽样分布抽样分布emxemExE)()(1252125)(21nSE5 .62)(2nSE有有偏偏无无偏偏学生学生成绩成绩 30 40 50 60 70 80 90按随机原则抽选出按随机原则抽选出5名学名学生，并计算平均分数。生，并计算平均分数。样本样本均值均值 样本样本均值均值ABCDEABCDFABCDGABCEFABCEGABCFGABDEFABDEGABDFGABEFGACDE

20、F5052545456585658606258ACDEGACDFGACEFGADEFGBCDEFBCDEGBCDFGBCEFGBDEFGCDEFG60626466606264666870样本均值样本均值 50 52 54 56 58 60出现次数出现次数 1 1 2 2 3 3样本均值样本均值 62 64 66 68 70 出现次数出现次数 3 2 2 1 1n=4时时 的的抽样分布抽样分布xn=5时时 的的抽样分布抽样分布xq 为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量；q 为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量；q 为的无偏、有效、一致估计量。为的无偏、有效、一

21、致估计量。xX1nSpP区间估计区间估计给出一个区间给出一个区间(置信区间置信区间)并推断真正的参并推断真正的参数以一定的概率存在于这个区间的方法。数以一定的概率存在于这个区间的方法。MiixXxM121xiXixM1)(2nxxS注意：不要混淆抽样注意：不要混淆抽样标准差与样本标准差！标准差与样本标准差！nnx2NnnNnNnx1122当N500时，有NnNnNNnN11nPPp1NnnPPNnNnPPp1111当N500时，有NnNnNNnN11spsP1122ffxxnxx或ppnn11npxPpXx或ppxxPpPXxX或即上式表明，样本平均数（成数）是以总体平均数（成数）上式表明，样

22、本平均数（成数）是以总体平均数（成数）为中心，在相应的区间内变动。为中心，在相应的区间内变动。由于总体成数和总体平均数是未知的，它要求靠实由于总体成数和总体平均数是未知的，它要求靠实测的抽样平均数和抽样成数来估计，因而抽样误差测的抽样平均数和抽样成数来估计，因而抽样误差的实际意义是希望总体平均数（成数）落在某个已的实际意义是希望总体平均数（成数）落在某个已知的范围内。知的范围内。所以前面的不等式应变换为：所以前面的不等式应变换为：ppxxpPpxXx或即在一个特定的全及总体中，当抽样方法和样本容量在一个特定的全及总体中，当抽样方法和样本容量固定时，抽样平均误差是一个定值，因此，抽样极固定时，抽

23、样平均误差是一个定值，因此，抽样极限误差通常以抽样平均误差为标准单位来衡量。即限误差通常以抽样平均误差为标准单位来衡量。即抽样极限误差通常表示为抽样平均误差的多少倍。抽样极限误差通常表示为抽样平均误差的多少倍。 ttppxx/或即由于由于t t值与样本估计值落入允值与样本估计值落入允许误差范围内的概率有关，许误差范围内的概率有关，因此，因此，t t也称为概率度。也称为概率度。抽样指标和总体指标的误差不超过一定抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率大小，我们将它称之为概率范围的概率大小，我们将它称之为概率保证程度，也叫抽样估计的置信度，一保证程度，也叫抽样估计的置信度，一般用般用F(t)F

24、(t)表示。即：表示。即： 置信度置信度)()(tFXxPx 3.00 0.99731在大样本下在大样本下常用的概率度与概率常用的概率度与概率tF(t)tF(t)0.50.38291.960.95001.000.68272.000.95451.280.80002.580.99001.500.86643.000.99731.640.900068.27%95.45%99.73%),(2nXNxXxx2x3x2xx3x以样本统计量为中心，以以样本统计量为中心，以抽样平均误差为距离单位，可抽样平均误差为距离单位，可以构造一个区间，并可以一定以构造一个区间，并可以一定的概率保证待估计的总体参数的概率保证

25、待估计的总体参数落在这个区间之中。区间越大，落在这个区间之中。区间越大，则概率保证程度越高。则概率保证程度越高。0.6827xxXX样本抽样分布曲线样本抽样分布曲线原总体分布曲线原总体分布曲线0.9545xx2XX样本抽样分布曲线样本抽样分布曲线原总体分布曲线原总体分布曲线 0.9973落在落在范围内的概率范围内的概率为为99.73%Xxx3XxxxxxxXxXx,或，其中，其中， 为极限误差为极限误差xxtx1,12222ffxxsnxxs22snsnx或NnnsNnnx1122或xxtxxxxxxXxXx,或，按按 日产量分组日产量分组（件）（件）组中值组中值（件）（件）工人数工人数（人）

26、（人）11011411411811812212212612613013013413413813814211211612012412813213614037182321186433681221602852268823768165605887006489284648600784合计合计100126004144xfxffxx2件件47.69941441126100126002ffxxsfxfx件614.01000100110047.6122Nnnsx件203.1614.096.1xxtXXN203. 11261000203. 11261000,203. 1126203. 1126XNXppppppP

27、pPp,或，其中，其中， 为极限误差为极限误差pptnnp12p11111nppppnnnnpp或NnnppNnnpp11112或pptppppppPpPp,或，按按 日产量分组日产量分组（件）（件）组中值（件）组中值（件）工人数（人）工人数（人）110114114118118122122126126130130134134138138142112116120124128132136140371823211864合计合计100 xf0568. 0029. 096. 1029. 01000100111001 . 09 . 0111, 9 . 010090,96. 1,10,90,100,1000

28、101ppptNnnppnnptnnnN则己知PNP0568. 09 . 010000568. 09 . 01000,0568. 09 . 00568. 09 . 0NPP样本容量样本容量找出在规定误差找出在规定误差范围内的最小样范围内的最小样本容量本容量找出在限定费用找出在限定费用范围内的最大样范围内的最大样本容量本容量,nttxx22222xxtn通常的做法是先确通常的做法是先确定置信度，然后限定置信度，然后限定抽样极限误差。定抽样极限误差。 或或 S S通常未知。一般通常未知。一般按以下方法确定其估计按以下方法确定其估计值：过去的经验数据；值：过去的经验数据；试验调查样本的试验调查样本的

29、S S。计算结果通常向上进位计算结果通常向上进位,12Nnnttxx22222222xxNNtNNtn袋则在重复抽样条件下：克克己知1005252,2,5,25,10000222222xxtntN袋袋10001.99252510000252100002222222222tNNtnx在不重复抽样下在不重复抽样下:,1nPPttpp22211PPPPPPtn通常的做法是先确通常的做法是先确定置信度，然后限定置信度，然后限定抽样极限误差。定抽样极限误差。计算结果通常向上进位计算结果通常向上进位 通常未知。一般按以下通常未知。一般按以下方法确定其估计值：过方法确定其估计值：过去的经验数据；试验调去的经

30、验数据；试验调查样本的查样本的 ；取方差；取方差的最大值的最大值0.250.25。2P2Ps,11NnnPPttppPPNPNPPPtNPPNtnpp11112222件件在不重复抽样条件下：件则在重复抽样条件下：己知577004.5760651. 0303. 050000651. 0350001165103. 00651. 031,0651. 01, 3,3,500022222222222PPtNPPNtnPPZnPPtNpppp22222xxtn22222222xxNNtNNtn第四节第四节 抽样设计抽样设计 抽取样本单位时，应确保每个总抽取样本单位时，应确保每个总体单位都有被抽取的可能；在

31、对样本体单位都有被抽取的可能；在对样本单位的资料进行搜集和整理时，不能单位的资料进行搜集和整理时，不能随意遗漏或更换样本单位随意遗漏或更换样本单位在其他条件相同的情况下，在其他条件相同的情况下，选抽样误差最小的方案选抽样误差最小的方案在其他条件相同的情况在其他条件相同的情况下，选费用最少的方案下，选费用最少的方案抽取样本的具体方法：抽取样本的具体方法：1、直接从总体中抽取所要调查的单位，无、直接从总体中抽取所要调查的单位，无须分组、分类、排队等处理；须分组、分类、排队等处理；2、必须事先对总体中的所有单位进行编码、必须事先对总体中的所有单位进行编码和编号；和编号；3、抽取样本时不借助有关标志的

32、辅助信息、抽取样本时不借助有关标志的辅助信息4、当总体各单位标志值之间差异很大时，、当总体各单位标志值之间差异很大时，采用此方法不能保证样本的代表性。采用此方法不能保证样本的代表性。总体总体N样本样本n等额抽取等额抽取等比例抽取等比例抽取最优抽取最优抽取实质上是分组法与随机原则的结合。实质上是分组法与随机原则的结合。例如，在居民生活水平调查中，先按职业分类，例如，在居民生活水平调查中，先按职业分类，然后每种职业分别随机抽取部分居民进行调查。然后每种职业分别随机抽取部分居民进行调查。类型抽样分组的基本原则：类型抽样分组的基本原则：尽量缩小各组内标志值之间的差异，增尽量缩小各组内标志值之间的差异，

33、增大组间各标志值之间的差异。大组间各标志值之间的差异。等额分配法：每组抽取的单位数一样。等额分配法：每组抽取的单位数一样。等比例分配法：按各组单位的比例分配样等比例分配法：按各组单位的比例分配样本单位。本单位。最佳分配法：按各组的方差大小分配样本最佳分配法：按各组的方差大小分配样本单位。方差大的组分配较多的样本单位。单位。方差大的组分配较多的样本单位。经济分配法：按各组的方差大小分配样本经济分配法：按各组的方差大小分配样本单位，同时考虑各组抽样调查的费用。单位，同时考虑各组抽样调查的费用。实际工作中比较常用的是等比例分实际工作中比较常用的是等比例分配法。配法。一、抽样平均数一、抽样平均数)1(

34、22Nnnnixix不重复抽样情况下重复抽样情况下二、抽样成数二、抽样成数)1()1()1(Nnnppnppiipiip不重复抽样情况下重复抽样情况下例题例题1 有有12块小麦地，每块块小麦地，每块1亩。亩。6块处于丘陵地带，亩产块处于丘陵地带，亩产量（斤）分别为：量（斤）分别为：300 330 330 340 370 370 。 6块块处于平原地带，亩产量（斤）分别为：处于平原地带，亩产量（斤）分别为：420 420 450 460 490 520。抽查。抽查4块，测定块，测定12块地的平均亩产量，块地的平均亩产量，计算其抽样误差。计算其抽样误差。 设亩产在设亩产在350以上的为高产田，抽查

35、以上的为高产田，抽查4块，测定块，测定12块块地高产田的比重，计算其抽样误差。地高产田的比重，计算其抽样误差。 用类型抽样，每类抽用类型抽样，每类抽2块块 计算各组方差计算各组方差 平均组内方差平均组内方差 抽样误差抽样误差亩产量亩产量300300160016003303301001003303301001003403400 0370370900900370370900900合计合计36003600211)(XX 亩产量亩产量42042016001600420420160016004504501001004604600 049049090090052052036003600合计合计780078

36、00222)(XX 1X2X丘陵丘陵平原平原3401 X6006360021 4602 950126130660022 NNiii41.1549502 nuix5712)1241(4950)1(2 Nnnuix地块地块数数高产高产田数田数高产田高产田比重比重% %丘陵丘陵6 62 233.333.366.6766.6722.222.2平原平原6 66 61001000 00 0iP 1)1(iiPP iP%1.111206%2.22)1()1( NNPPPPiiiii%65.164%1.11)1( nPPuiip%6.13)1241(4%1.11)1()1( NnnPPuiip分层分层各层各层商店商店数数Ni层权层权Wi各层各层抽取抽取数数ni各层销售各层销售额样本均额样本均值值(万