判定平行四边形五种方法

1、判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢？下面举例予以说明一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形” 判别例1如图1,在平行四边形 ABC中,E、F在对角线AC上， 且AE=CF试说明四边形 DEBf是平行四边形.分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角 线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别为此，需连接BD解：连接BD交AC于点0因为四边形ABCD1平行四边形，所以 AO0BO=DO 又 AE=CF所以 AOAE=COCF 即 EO=FO所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判 别例2如图2,是由九根完全一样的小

2、木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的 边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是 平行四边形”进行判别解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1, AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形同样可知四边形 FCDE四边形ACDF都是平行四四边形 因为AE=DB=2, AB=DE=1,所以四边形 ABDEL是平行四边形C三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判别例3如图3, E、F是四边形ABCD勺对角线AC上的两点， AE=CF DF=BE DF/ BE试说明四边形 ABCD1平行四

3、边形分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得ADFA CBE由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件解：因为 DF/ BE 所以/ AF=Z CEB因为 AE=CF 所以 A曰EF=CF+EF,即 AF=CE 又 DF=BE 所以 ADFA CBE 所以 AD=BC / DAf=Z BCE所以AD/ BC所以四边形ABCD!平行四边形四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判图4例4 如图4,在平行四边形 ABCDK/ DAB / BCD勺平 分线分别交BC AD边于点E、F,则四边形 AECF是平行四边形 吗？

4、为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF/ EC又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑 运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD/ BC,/ DAB：/ BCD11所以 AF/ EC 又因为/ 仁一/ DAB / 2= / BCD22所以/仁/ 2.因为 AD/ BC所以/ 2=/ 3 ,所以/仁/ 3,所以AE/ CF所以四边形AECF是平行四边形判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；

5、（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中 考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。AD CF图1一、两组对边分别平行如图1,已知 ABC是等边三角形， D E分别在边BCAC上,且CD=CE连结DE并延长至点F,使EF=AE连 结AF BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证 BDEA FEC证明： ABC是等边三角形， BCAC / ACD60。 CD=CE - BDAE EDC是等边三角形DE=EC / CDE/ DE(=60° / BDE/ FE(=120°又 EF=

6、AE - BD=FE,BDEA FEC(2)四边形ABDF!平行四边形理由：由(1)知， ABC EDCA AEF都是等边 三角形/ CDE/ ABC/ EFA=60° AB/ DF, BD/ AF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证 截得的同位角相等，错角相等或同旁角相等时，可 证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行 四边形。二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2,在正方形 ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG连结BG并延长交DE于F(1)求证： BCQA DCE(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到 DA

7、E ,判 断四边形E BGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC又 通过旋转 CE=AE已知CECG所以E' A=CG这样 就有BE =GD可证E' BGD是平行四边形。解：(1)v ABCDi正方形，/ BCD/ DCE90° 又 T CGCE BCG DCE(2) DCE绕D顺时针旋转90°得到 DAE , CEAECE=CG - CGAE',四边形ABC毘正方形 BE / DG AB=CD ABAE 二CDCG 即 BE = DG四边形DE BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对

8、边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在 ABC中，分别以 AB AC BC为 边在 BC的同侧作等边 ABD等边 ACE等边 BCF求证：四边形 DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF勺两组对边分别相等，从而四边形 DAEF是平行四边形。解： ABDA FBC都是等边三角形 / DBF+/ FBA=/ AB(+Z FBA=60° / DBF/ ABC又 BD=BA BF=BC ABC DBF AC=DF=AE 同理 ABCA EFC AB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边 形

9、的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四 边形。四、对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形 ABCD勺对角线 AC和BD 相交于 O AE! BD于 E, BF丄 AC于 F, CGL BD于 G DHL AC 于H,求证：四边形 EFGH是平行四边形。分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形 EFGH的对角线有关，若能证出 OE=OG OF=OH则问题可获得解决。证明： AEL BD CGL BD/ AEO/ CGO/ AOE/ COG OAOC AOEA COG,同理 BOFA DOH OF=OH四边形EFGH1平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，

10、可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1摆放在一 起四边形ABCD是平行四边形吗？理由 。(1)如图2，将 Rt BCD沿射线 BD方向平移到 Rt BCD的位置，四边形 ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由： 。分析：因为题设与四边形角有关，故考虑四边形的 两组角相等解决问题。解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：/ ABC/ ABD/ DBC30° +90° =120°, / ADC/ ADB/ CDB90° +30° =120° 又/

11、A=60°,/ C=60°, / ABC/ ADC / A=/ C（2）四边形ABCD是平行四边形，理由如下： 将RtA BCD沿射线方向平移到 Rt BCD的位置时， 有 RtA CBBB Rt ADD / CBB=/ ADD, / BCB=/ DAD有/ C BA=/ ABD/ CBB=/ CDBi+/ ADB=/ ADC, / BCD =/ BCB+/ Bi Ci D=/ DAD+/ DAB：/ DAB 所以四边形 ABCD是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1 ）知ABCD是平行 四边形， AB/ CD将Rt BC沿射线BD方向平移到 RtA B CD的位置时

12、， 始终有AB/ C D，故ABCD是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分容后，对于平行四边形的 判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1 :证明两组对边分别相等 例1 如图1所示，在 ABC中,/ ACB= 90°, BC的垂直 平分线DE交BC于 D,交AB于E, F在DE上,并且AF= CE 求证：四边形ACEF是平行四边形 证明： DE是 BC的垂直平分线， DFL BC DB= DCD / FDB= / ACB= 90 ° .1 DF/ AC. CE= AE= AB2 / 1 = / 2 .又 EF/ AC AF= CE

13、= AE , / 2 = / 1 = / 3 = / F. ACEA EFA（图 1） AC= EF.四边形ACEF是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行例2 已知：如图2，在 ABC中, AB= AC点，D在BC上，延长ED到 F,使ED= DF= EB 求证：四边形AEFC是平行四边形.证明： AB= AC / B =/ ACB/ ED= EB / B =/ EDB/ ACB=/ EDB EF/ AC E是 AB的中点， BD= CD/ EDB=/ FDC ED= DF， EDB2A FDC / DEB=/ F. AB/ CF四边形AEFC是平行四边形. 思路3:证明一组对边平行且相

14、等例3 如图3,已知平行四边形 ABCDK E、FCD上的点，AE= CF, M N分别是 DE BF的中点.求证：四边形ENFM1平行四边形.证明：四边形 ABCD1平行四边形， AD= BC / A =/ C .又 AE= CF,ADEA CBF / 1 = / 2, DE= BF. M N分别是DE BF的中点， EM= FN.E是AB的中 连结FC分别是ABDC/ AB, / 3 = / 2. / 1 = / 3. EM / FN.四边形ENFM!平行四边形.C二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等E、例4 如图4，在正方形 ABCDK点F分别是AD BC的中点.求证：(1 )

15、 ABEA CDF(2)四边形BFDE是平行四边形.证明：(1 )在正方形 ABCDK AB= CD AD= BC / A=/ C1E1190°,t AE= AD CF= BC22 AE= CF ABEA CDF(2)由(1 ) ABEA CDF知，/ 1 = / 2,/ 3 = / 4.:丄 BED=/ DFB在正方形 ABCD中，/ ABC=/ ADC / EBF=Z EDF四边形BFDE是平行四边形三、考虑“对角线”的关系 思路：证明两条对角线相互平分例5如图5,在平行四边形ABCDK 的三等分点Pi、F2是对角线BD求证：四边形ARCF是平行四边形证明：连结AC交BD于 Q四

16、边形ABCD1平行四边形， OA= OC OB= OD/ BR = DR , OR = OR.四边形ARCR是平行四边形平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边 形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边 形是利用边、角和对角线的特点，而且只需要两个条件，为了 更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件 总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行，如图 1,AB/ CD AD/ BC1.2两组对边分别相等，如图 1,AB=CDAC=BC1.3两组对角分别相等，如图 1, / AB(=Z ADC/ BAD/ BCD1.

17、4 一组对边平行且相等，如图 1, AB/ CDAB=CD1.5两条对角线互相平分，如图 1,OAOCOB=OD2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图 1, AB/ CD / ABC/ ADC证明：/ AB/ CD / AB(+Z BCD1800 又ABC/ ADC/ ADO / BCD= 1800 AD/ BC 四边形 ABC是平行四边形(两组对边分别平行)2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如 图 1, AB/ CD OA=OC证明： AB/ CD / BAC/ DCA 在"AOB和"COD中,/ BA（=Z DCA

18、OAOC, / AOB/ COD U AO» CODASA AB=CD 四边形ABCD!平行四边形（一组对边平行且相等）2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图 1, / DAB/AB(=180° , / AB(+Z BCD180。证 明： V/ DAB/ ABC180。 AD/ BC 又/ ABC/ BCD180。 AB/ CD 四边形ABCDi平行四边形(两组对边平行)3不能识别为平行四边形3.1两组不同的邻角互补，如图 2, / A+/ B=180° , / C+/ D=180° ,可以画出梯形。3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相

19、等关系都是对边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条件。两组邻边相等，如图 3, ABADCB=CD不一定是平行四边 形。两对邻角相等，如图 4, / A=/ D, / B=/ C可以画出等腰 梯形。3.3 一组对边平行且另一组对边相等，如图4,AD/ BCAB=CD也可以画出等腰梯形。3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。反例作图方法，如图5:作/ ABC在边BA上确定点A, 在边BC上确定点C过点 A B、C作O O1,以点C为圆 心，以线段 AB长为半径作O C以AC为弦作O O1的等圆 O C2,交O C于D E两点，则四边形 ABCD为平行四边形， 而

20、四边形ABCE即为符合条件的非平行四边形，即 AB=CE / ABC/ AEC3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角线，不一 定是平行四边形。 反例作图方法，如图6:作线段AB过 线段AB的中点O作直线CD过点B作BE!CD垂足为E 以点E为圆心，小于线段 OE的长为半径作O E交CD于F、G两点，以点 A为圆心，BF长为半径作O A交直线CD于 H I 两点，则四边形 AGB刑四边形 AFBI为平行四边形，而四边形 AGBI和四边形 AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形 AGBI中，AI=BGOAOB说明一个四边形是平行四边形的思路于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四

21、边形如何 说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路 进行说明.一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用 “两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.例1如图1,在厶ABC中，AD是角的平分线，DE/ AC交AB 于点E, EF/ BC交AC于点F,试说明AE=CF.图1分析：由AD是角的平分线，可知/ 仁/ 2,由 DE/ AC,可 知/2=7 3,所以/仁/ 3,即可得 AE=ED要说明AE=CF,可转 化为说明E=EC因此，只需说明四边形 EDCF1平行四边形就 可

22、以了.解：因为/ 1=7 2, 7 2=7 3,所以/仁/ 3,所以 AE=ED 又因为DE/ AC EF/ BC所以四边形 EDCF1平行四边形（两 组对边分别平行的四边形是平行四边形）所以ED=CF所以AE=CF.二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两 组对角分别相等的四边形是平行四边形”.例2如图2 , AE CF分别是 "BCD的角7 DAB 7 BCD 的平分线，试说明四边形 AECF1平行四边形.图2解：在ABCD中 ,因为7 DAB7 BCD又因为LJ117 仁 7 DAB 7 2=7 BCD22所以，7仁7 2 ,因为 AB/ CD 所以7 3=7 1,

23、7 4=7 2 ,所以7 3=7 4,所以7 5=7 6 , 所以四边形 AECF是平行四边形.三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”例3如图3,在口ABCD , AC BD相交于O, EF过O分别 交AD BC于 E、F , GH过O分别AB CD交于G H.试说明四 边形EGFH是平行四边形.图3解：在口ABCD ,因为 AB/ CD所以7仁7 2 ,因为 OAfOC 7 3=7 4,所以 AOQA COH 所以 OGOH同理OE=OF所以四边形EGFH是平行四边形.构造平行四边形解题邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等

24、， 对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助 线，构造平行四边形加以解决.一、求线段的长cm分析：作 QC/ AB交BC于点 D连接 PD MD由厶ABC 为正三角形，易知 BPBD APDQ所以四边形APDC为平行四 边形.所以AMD是平行四边形APDQ的对角线.所以 AD=2AM=2X 19=38 ( cm).由厶 ABDA CBP可得 PC=AD.所以 PC=38cm.二、证明线段相等问题 例2如图2，在梯形到 E,使 EB=AD 连接 AE.求证：AEJAC 分析：连接BD由AD与 BE平行且相是平行四边形，所以 BDBAE三、证明线段和差问题例3如图3, ABC中,作DE/ BC FG/ BC分别交分析：作GH/AB交BC于点H.则四边形BHGF1平行四边 形.所以 GHBF=AD FG=BH 因为 DE/ BC GH/ AB 所以/ 仁/ C, / A=Z 2.所以 ADAA GHC 所以 DE=HC 因为 BH+C