动点题10道有答案

1、(I )如图，当 ZBOP=30。时，求点 P的坐标；(II) 如图，经过点 P再次折叠纸片，使点C落在直线PB, 上,得点C,和折痕PQ,若AQ=m，试用含有t的式 子表示m ；(III) 在(II)的条件下，当点 C,恰好落在边 OA上时，求点P的坐标(直接写岀结果即可).2.（2013* 徐汇区一模）梯形 ABCD 中，AB CD, CD=10, AB=50, cosA=_l ZA+ZB=90 点 M 是边 AB 的中5DBB(备用图丿（图1）叫P二厶时.求AN的K点，点（酸）N是边AD上的动点如图1,求梯形ABCD的周长；如图2,联结MN,设AN=x, MN? cosZNMA=y (0

2、 °<ZNMA<90 )，求y关于x的关系式及定义域(1)< 3如果血线MN卜j江线BC交于乡3. (2012*福州)如图1,在RtAABC中，ZC=90° , AC=6, BC=8,动点P从点A开始沿边 AC向点C以1个单 位长度的速度运动，动点 Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点 P作PD/BC,交AB于点D,连接PQ分 别从点A、C同时岀发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t>0).(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB= , PD= ?(2) 是否存在t的值，使四边形 PDBQ为菱形？

3、若存在，求岀t的值；若不存在，说明理由 .并探究如何改变 Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点 Q的速度；(3) 如图2,在整个运动过程中，求岀线段PQ中点M所经过的路径长(3)在(2)问的平移过程中，设正方形 自变量t的取值范围.4. (2012*重庆)己知：如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC, ZB=90 : AD=2, BC=6, AB=3. E 为BC边上一 点，以 BE为边作正方形 BEFG,使正方形 BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.(1) 当正方形的顶点 F恰好落在对角线 AC上时，求BE的长；(2) 将(1)问中的正方形 BEFG沿BC向右平移，记

4、平移中的正方形 BEFC为正方形B'EFG,当点E与点C重合 时停止 平移.设平移的距离为 t,正方形BEFG的边EF与AC交于点M,连接B，D, B，M, DM,是否存在这样的 t,使ABTIM是直 角三角形？若存在，求岀 t的值；若不存在，请说明理由；BTFG与AADC重叠部分的面积为 S,请直接写岀S与t之间的函数关系 式以及5. (2013*重庆)己知，在矩形 ABCD中，E为BC边上一点，AE丄DE, AB=12, BE=16, F 为线段BE上一点， EF=7,连 接AF.如图1,现有一张硬质纸片 GMN, ZNGM=90 , NG=6, MG=8,斜边MN与边BC在同一直

5、线 上，点N与点E重合， 点G在线段DE± .如图2, ZXGMN从图1的位置岀发，以每秒 1个单位的速度沿 EB向 点B匀速移动，同时点 P从A点 岀发，以每秒1个单位的速度沿 AD向点D匀速移动，点 Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B 时，AGNIN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：(1) 在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；(2) 在整个运动过程中，是否存在点P,使AAPQ是等腰三角形？若存在，求岀t的值；若不存在，说明理由；(3) 在整个运动过程中，设 ZXGMN与AAEF重叠部分的面积为 S.请直接写岀S与t之间的函数关

6、系式以及自变量t的取值范围.6. （2012.陕西）如图，正三角形 ABC的边长为3+V3.如图，正方形 EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形 ABC及其内部，以点 A为 位似中心，作正方形 EFPN的位似正方形 EFPN ,，且使正方形 ETPN，的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作岀的正方形 E'F PN，的边长；（3）如图，在正三角形 ABC中放入正方形 DEMN和正方形 EFPH,使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在 边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由7. （2012*高淳县二模）如图，在 AABC 中，AB=

7、AC=10cm, BC=16cm, DE=4cm. 动线段 DE （端点 D从点B开 始）沿 BC边以lcm/s的速度向点 C运动，当端点 E到达点C时运动停止.过点E作EF AC交AB于点F （当点 E与点C重合 时，EF与CA重合），连接 DF,设运动的时间为t秒（t20）.（1）直接写岀用含t的代数式表示线段 BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，ADEF能否为等腰三角形？若能，请求岀 t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积.8. （2013*苏州）如图，点 O为矩形 ABCD的对称中心， AB=10cm, BC=12cm,

8、点E、F、G分别从 A、B、C三点 同时岀发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为lcm/s,点F的运动速度为 3cm/s，点G的运动 速度为1.5cm/s,当点F到达点C （即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动 .在运动过程中，AEBF关于直 线EF的对称图形是 AEBT. 设点E、F、G运动的时间为t （单位：s）.（1）当1= s时，四边形 EBFB%正方形； 若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F, C, G为顶点的三角形相似，求t的值； 是否存在实数t,使得点B，与点O重合？若存在，求岀 t的值；若不存在，请说明理由.A1DID-1V 0 >tGC9. （201

9、1*陕西）如图，在矩形 ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD （含端点）上，落点记为 E,这时折痕 与边BC或者边CD （含端点）交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形 ABEF称为矩形ABCD的"折 痕三角形“（1）由"折痕三角形“的定义可知，矩形 ABCD的任意一个“折痕ABEF"是一个 三角形如图，在矩形 ABCD中，AB=2, BC=4,当它的“折痕 BEF"的顶点E位于AD的中点时，画岀这个 “折痕 BEF",并求岀点F的坐标；如图，在矩形 ABCD中，AB=2, BC=4，该矩形是否存在面积最大的"折痕 BE

10、F"?若存在，说明理由，并求岀此时点E的坐标？若不存在，为什么？10. (2012?江宁区一模)如图，四边形 ABCD中，AD=CD, ZDAB=ZACB=90 °,过点D作DE丄AC,垂足为 F, DE与 AB相交于点 E, AB=15cm, BC=9cm,(1) 点E是AB的中点吗？为什么？ 若P是射线DE上的动点.设DP=xcm (x>0),四边形BCDP的面积为ycm2%1求y关于x的函数关系式；%1当x为何值时，APBC的周长最小，并求岀此时四边形BCDP的面积.（II） 如图，经过点 P再次折叠纸片，使点 C落在直线PB, 上,得点C,和折痕PQ,若AQ=

11、m，试用含有t的式 子 表示m ；(Ill)考点:在（II）的条件下，当点 C,恰好落在边 OA上时，求点P的坐标（直接写岀结果即可）.翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质解答:解：(I)根据题意，ZOBP=90 , OB=6,在 RtAOBP 中，由 ZBOP=30 , BP=t,得 OP=2t.?.?O=OB2+BP2,即(2t) =6+t ,解得：ti=2 ( 5，t2= - 2人3 (舍去). 点 P 的坐标为(2 品,6). (II ) VAOB ZP, QCP分别是由厶 OBP、AQCP折叠得到的，.? OB'P 竺

12、厶OBP, QC'P 竺厶 QCP, AZOPBAZOPB, ZQPC'=ZQPC,T ZOPB'+ ZOPB+ZQPC'+ ZQPC=180 ° ,ZOPB+ZQPC=90 ,V ZBOP+ZOPB=90°,A ZBOP=ZCPQ.又 VZOBP=ZC=90,.".AOBPAAPCQ, /.OB-BP,PCCQ由题意设 BP=t, AQ=m, BC=11, AC=6,贝!j PC=11 - t, CQ=6 - m.?.01=2,-66 一 t611 - t -6(l)l过点P作PE丄OA于E,JAt+6 (ovtvil).? ZP

13、EA=ZQAC'=90 ° A ZPCT+ZEPCa。 TZPC'E+ZQC'A=90 ° , .ZEPC'=ZQC'A, .? PC'ES CQA, .'.aa=pCL ,AC' Q?PC'=PC=11 - t, PE=OB=6, AQ=m, C'Q=CQ=6 - m,?AC'Fc ' Q-AQF36-12m'' ?廊珞辛 A2 2=()2, .*.3 (6-m) 2= (3-m) (11-t) 12 (3 - m) 6 - in?m=lt26 6 6 6 6

14、6.? .3 ( - It 2+Ht) 2= (3 - 2t 2+llt- 6) (11 - t):.丄 2(11 _ t) 2= ( - lt 2+llt - 3) (11 - t) 2, .?-!?= - lt 2+llt - 3, 12 6 6 12 6 6? 3* - 22t+36=0,解得：ti=21 二 ZU, t2=n+V13,3法二：V ZBPO=ZOPC = ZPOC .,.OC,=PC,=PC=H -1,过点 P 作 PE 丄 OA 于点 E,贝 |JPE=BO=6, OE=BP=t, /.ECAll - 2t, 在 RtAPEC'中，PE2+EC，2=PC，2,即

15、(11-t) 2=62+ (11 - 2t) 2,解得：tjl", t21+届.点P的坐标为(HF 6)或(I】*届,6).33pcBQ0Ec AI2.(2013?徐汇区一模)梯形 ABCD 中，AB CD, CD=10, AB=50, cosA=_l ZA+ZB=90 o,点 M 是边 AB 的中5点，点N是边AD上的动点.(1) 如图1,求梯形ABCD的周长；(2) 如图2,联结MN,设AN=x, MN ? cosZNMA=y (0° <ZNMA<9°),求y关于x的关系式及定义域;(3) 如果直繚MN与点线BC交于点P,当区么A吋，求AN的长.(

16、图1)(图H(备用图)也相似乃综斎麵社一土向:解：(1)过点 C 作 CF AD,交 AB 于点 F,如图 1, /.ZCFB=ZA,V ZA+ZB=90° , AZCFB+ZB=90 : AZFCB=90 :?.?AB CD,四边形CDAF是平行四边形，?*CF=AD, AF=CD=10, /?BF=AB - AF=40在 RtABCF 中，ZFCB=90。，.cosZCFB 二窖，？CF=BF? 8SZCFB=40><4=32=AD， brb? ?CFA A40A - 32a=24，CABCD= 10+32+50+24= 116.(2) 过点 N 作 NQ 丄 AB,

17、垂足为 Q, A ZNQA=ZNQM=90 o,?<0说=弟？AQnAN-cosAu'lx，?CCISZNMA=a '?MQ=MN ? cosZNMA=y, AN 5MNT点M是边AB的中点，？'？ AJ匸丄AB=25，?° y=25 - &x ;定义域是 0Vx<2仝.2 54(3) 分别延长AD、BC交于点E,连接EM.V ZA+ZB=90 ° , A ZAEB=90 ° AM=EM=BM=25, -*-AE=AB?COSA=50 X -=40-5直线MN与直线BC交于点P,当ZP=ZA时，分两种情况：1。当点P在C

18、B的延长线上时，如图 4,VBM=EM, ZBEM=ZEBM, V ZA+ZABE=90° , .?.ZP+ZMEB=90° ,EM 25 125点(2连12*PQ分福州点女A图a同时出发A当其中一点至到达端点时,，另一点也随C停止运动，动点动时从点A开始沿边t>AC向?AN 二 AE-EN 皿-晋芳 cosA _4452。当点P在BC的延长线上时，如图5,V ZP+ZPNE=90 ° , ZANM=ZPNE, A ZA+ZANM=90 °, A ZAMN=90亠 ?COSAAM ? AN=-AN =AM 25 125cosA 44位长度的速度运动

19、，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作 PD : BC,交 AB 于综合1 °、2 °P，当ZP=ZAanM-(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB= 8 - 2t , PD=刍._3 (2) 是否存在t的值，使四边形 PDBQ为菱形？若存在，求岀 t的值；若不存在，说明理由 .并探究如何改变 Q的速度(3)如图签 在整个运动过程中.求出践段PQ中点M所经过的踣径长J(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质解答：解：(1)根据题意得：CQ=2t,

20、PA=t, /.QB=8 - 2t,?.?在 RtAABC 中，ZC=90 , AC=6, BC=8, PD BC, A ZAPD=90 , . .tanA= £5i, /.PD=Jt.故答案为： 8 - 2t, 2 PA-AC 333(2) 不存在在 RtAABC 中，ZC=90 , AC=6, BC=8, .*.AB=10TPD BC, AAAPDAAACB, 二型岀，即如 J, .? .AD=5t, /.BD=AB - AD=10 - -At,ABAC 10633TBQ DP, .当BQ=DP时，四边形 PDBQ是平行四边形，即 8 - 2t=，解得：t=2兰3 5当 1 =贸

21、时，PD=$x 丄厶丄 2 BD=1O-§ X 竺 6, .?.DPHBD, .?. PDBQF能为菱形.53553 5设点Q的速度为每秒v个单位长度,则 BQ=8 - vt, PD=A, BD=10 - 5t,33要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ,当 PD=BD时，即2=10-旦，解得：t=lP333当PD=BQ,七=更！时，即ix -=8-V-解得：A=333315当点Q的速度为每秒兰个单位长度时,经过史秒，四边形PDBQ是菱形.153(3) 如图2,以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.依题意，可知 0<t<4,当t=0时，点Mi的坐标

22、为(3, 0),当t=4时点M2的坐标为(1,4).设直线M1M2的解析式为y=kx+b,j3k+b=0,解得严-2,lk+b=4 b=6直线M1M 2的解析式为y= - 2x+6.?.?点Q (0, 2t), P (6-t, 0) . ?.在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标(仝二1 t).2把x= 代入 y= - 2x+6得y= - 2x_ +6=t，点 M3在直线 MjM? _b.2 2过点M2作M2N丄X轴于点N,则M2NM, M1N=2. / .M|M2=2V5 ?线段PQ中点M所经过的路径长为2妬单位长度.4. (2012*重庆)已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD BC, ZB

23、=90 °AD=2, BC=6, AB=3. E 为BC边上一 点，以BE为边作正方形 BEFG,使正方形 BEFG和梯形 ABCD在BC的同侧.(1) 当正方形的顶点 F恰好落在对角线 AC上时，求BE的长；(2) 将(1)问中的正方形 BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形 BEFC为正方形B'EFG,当点E与点C重合 时停止 平移.设平移的距离为 t,正方形BEFG的边EF与AC交于点M,连接B，D, B，M, DM,是否存在这样的 t,使ABTIM 是直 角三角形？若存在，求岀 t的值；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)问的平移过程中，设正方形B-EFG与AAD

24、C重叠部分的面积为 S,请直接写岀S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形.解答：解：(1)如图，设正方形 BEFG 的边长为 X,则 BE=FG=BG=x, VAB=3, BC=6, . ?.AG=AB - BG=3 - x, TGF BE, A AAGFAAABC, a AG_GF ；即 3_ x j 解得： =2,即 BE=2 ;ABBC 3 6(2) 存在满足条件的t,理由：如图，过点 D作DH丄BC于H,贝ij BH=AD=2, DH=AB=3,由题意得： BBz=HE=t, HB z=|t-2|, EC=4 - t

25、, TEF AB, /.AMECAAABC,即坐.ME=2 - It,AB_BC 3 62在 RtZB , ME 中，B, M2=ME2+BT ； 2=22+ (2 -占)2=lt2 - 2t+8,24在 RtADHB 1 中，B,D2=DH 2+B,H2=32+ (t - 2) 2=t2 - 4t+13,过点 M 作 MN 丄 DH 于 N,贝U MN=HE=t, NH=ME=2 -It, /?DN=DH - NH=3 - (2 -丄 t)=2t+l,2 2 2在 RtADMN 中，DM2=DN2+MN 2=-At2+t+l, ( I )若 ZDBM=90。，贝U DM 2=BZM2+BZD

26、2,4即 5p+t+l= (It 2 - 2t+8) + (t 2 - 4t+13),解得：t=0,4 47(II )若 ZB ,MD=90，则 BT)2=B，M2+DM2,即 t2 - 4t+13= (2t 2 - 2t+8) + (- t2+t+§,44解得：ti= - 3+17, t2= - 3 - V17 (舍去)，?"?t= - 3+p 17；(III)若 ZB,DM=90 ,则 BzM2=BzD2+DM 2,即: It2 - 2t+8= (t 2 - 4t+13) + (- t2+t+l§,44此方程无解，综上所述，当t=22或-3+V讦时，ABQM是

27、直角三角形；7(3) 如图，当 F在CD士时，EF： DH=CE : CH,即 2： 3=CE : 4,.? .CE=卫，？t=BB,=BC - B，E - EC=6 - 2 -昱纟，TME=2 - It,33 322当 Osts 纟时，S=SAFMN=-a xtx 1= t2?322 4%1 如图，当 G 在 AC 上时，t=2, TEK=EC ? tanZDCB=EC ?阻丄(4 - t) =3 -色，/.FK=2 - EK=t - 1,CH 444*.'NL= AD= , .'.FL=t -, 当一<t<2 时，S=SAFMN - SAFKL = t2(t -

28、 ) ( t - 1)=-丄 F+t -；3333423483解得：B'C=§, .? .EC=4 - t=B'C - 2=Z.?.t=lP, TBNJBG 丄(6 - t) =3 - It,333222%1如图，当 G 在 CD± 时，BZC: CH=B ZG: DH,即 BZC: 4=2: 3,，.*G*=qB，- BzN=lt - 1s=STB旳 lm邑kcs梯形 t)BEK=陀§=掃形-tB emn=4 1+ 442 当？ 2<t< 时,1当09吕时，/it2, 如图3,当更4<侈4时，当 A<t<2 时，S=

29、 - lt2+t - -?；32<ts2P 时，8=S 梯旳 GNMF -S/SFKL = 1<2X (B , N=2B , C=± (6 - t), EM = 1EC = 1 (4-t), 占粘呂)-(t -)(t - 1) = - t2+2t -, 222234883S= - -?t2+2t - -5,3当 iP<t<4 时，S=-丄、GBhr HEc图图图5. (2013*重庆)己知，在矩形 ABCD中，E为BC边上一点，AE丄DE, AB=12, BE=16, F 为线段BE上一点， EF=7,连 接AF.如图1,现有一张硬质纸片 GMN, ZNGM=

30、90 , NG=6, MG=8,斜边MN与边BC在同一直线 上，点N与点E重合， 点G在线段DE± .如图2, ZXGMN从图1的位置岀发，以每秒 1个单位的速度沿 EB向 点B匀速移动，同时点 P从A点 岀发，以每秒1个单位的速度沿 AD向点D匀速移动，点 Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B 时，AGNIN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：BF 网 C MAD5F X E XfKf(1) 在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；(2) 在整个运动过程中，是否存在点P,使AAPQ是等腰三角形？若存在，求岀 t的值；若不存在，说明理由；

31、(3) 在整个运动过程中，设ZXGMN与AAEF重叠部分的面积为 S.请直接写岀S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.考点：相似形综合题.解答： 解：(1)在 RtAGMN 中，GN=6, GM=8, /.MN=10.由题意，易知点 G的运动线路平行于 BC.如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交 AE、AF于点Q、R.ADV./BFt?/ ZAED= ZEGM=90 ° , AE GM.四边形 QEMG为平行四边形QG=EM= 10.10 秒.1(2)存在符合条件的点 P.在 RtAABE 中，AB=12, BE=16,由勾股定理得：AE=20.设 ZAEB=e,贝U

32、sin6“，cos6=i.5 5TNE=t, . .QE=NE? cos0=-l, AQ=AE - QE=20 - -1. APQ是等腰三角形，有三种可能的情形APAKPB")4/cBye¥M E5=I-%1 AP=PQ.如答图2所示:答图SE4过点 P 作 PK 丄3AE 于点 K,则 AK=AP? cos0=-l.5 TAQ=2AK, /.20 - Jt=2xJt,解得：t= 25 ;%1 AP=AQ. 如答图 3所示： 有 t=20 - it, 解#： t= W5 9%1 AQ=PQ.如答图4所示：过点Q作QK丄AP于点K,则AK=AQ? cosO= （20 -刍）x

33、生16 -些.5 5 25 TAP=2AK, /.t=2（ 16-些），解得： 1=誣.25 57综上所述，当 仁竺，塑或迴秒时，存在点P,使AAPQ是等腰三角形.3 9 57（ 3）如答图 1 所示，点 N 到达点 F 的时间为 t=7；由（1）知，点 G 到达点 Q 的时间为 t=10 ； QE= 10xA8, AQ=20 - 8=12,TGR ： BC,.更半，即坐土，.?.QR=21. . ?.点G到达点R的时间为t=10+2Jl ；EFAE 7 -2055 5于点L过点I作IK丄MN于点K. TtanZIFK=BA", 可设IK=4x, FK=3x,则KM=3x+17 -

34、t._ 23 ；为等腰三角形.3?S=SNfagg逍nSANT=24 ZB丄;Zl匚卑+NM+ (t - 7)3°7)2=(t - 7).3 3底边 NF 上的高 h=2NF? tanZIND=K (t - 7)12 2SATNF = NF? h=i< (t - 7) x 兰(t - 7)=丄(t -2233* *A丄 当10st<里时，答图答图当7StV10 口时，如答图6 当普“ 16时，如答图8所示:BF 3?'?S=SAQNE - SAINF = t"-丄(t - 7) ；253 匚7所示：所示:设'QNfAF答交阿FM=FE - ME=

35、FE - (NE - MN) =17 - t.x=(17-t).7?.*ta nZIMF=L疲 丄，解得:KM 3x+17- t 4.?.IK=4X = 1A (17 - t). . .S=1FM?IK=-A (t- 17)727综上所述，S与t之间的函数关系式为：新（0< 心）吩/ 号-書（W0）兮 2 号谒（心）4（ t-17）2 （ A<t<16）756. （ 2012*陕西）如图，正三角形 ABC的边长为3+品.（1）s= 如图，正方形 EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形 ABC及其内部，以点 A为位 *似中心，作正方形 EFPN的位似正方形

36、 E'F'P'N',且使正方形E'FPN，的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作岀的正方形 EFFN，的边长；（3） 如图，在正三角形ABC中放入正方形 DEMN和正方形 EFPH,使得DE、EF在边AB 士，点P、N分别在 边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由图图考占：八、解位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质解：(1)如图，正方形 EFPN，即为所求.(2) 设正方形EFPN，的边长为X,VAABC 为正三角形，.？.AE'=BF'=2Zli. ?.?E'F'+AE&#

37、39;+BF'=AB,_3.? .x= 9+A/A,即 x=3A/3" 3,2A3+3(3) 女口图，连接 NE、EP、PN,贝U ZNEP=90 .设正方形 DEMN正方形EFPH的边长分别为 m、n (m>n),它们的面积和为 S,则NE=V2ir,PE=A/a I .TPN 2=NE 2+PE2=2m 2+2 n2Ad+de+ef+bf=ab延长PH交ND于点G,则2n+2mB2 23PGF+m+n+丄ND./.S=m2=l3 *pN ,.化简得m+n=3.在 RtAPGN 中，PN2=PG2+GNF= (m+n)2+(mm=lH32+ (m - n) 2= +A

38、 (m - n) 22 2 2%1 当(m - n) 2=0时，即 m=n时，S最小.*S最小二卫；2%1当(m-n) 2最大时，S最大.即当m最大且n最小时，S最大.Vm+n=3,由(2)知，m 最大=3 馅-3.? IS 最大二 #9+ (m 最大-n 最小)勺二护 +(3 五-3 _ 6+3 近)=99 - 54 眉. 综上所述，S最大二99 - 54価，S最小=?图图7. (2012*高淳县二模)如图，在 AABC中，AB=AC=10cm, BC=16cm, DE=4cm. 动线段 DE (端点D从点B开 始)沿BC 边以lcm/s的速度向点 C运动，当端点 E到达点C时运动停止.过点

39、E作EF AC交AB于点F (当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF,设运动的时间为t秒(仑0).(1) 直接写岀用含t的代数式表示线段 BE、EF的长；(2) 在这个运动过程中，ADEF能否为等腰三角形？若能，请求岀 t的值；若不能，请说明理由； 设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积.考点：相似形综合题.解答：解：(1) VBD=tcm, DE=4cm, ABE=BD+DE= (t+4) cm,TEF AC, AABEFAABCA, .'.EF: CA=BE : BC,即 EF :10= (t+4) :16,解得:EF= § (t+4)

40、 (cm)；(2) 分三种情况讨论： %1 如图1, T当DF=EF时,ZEDF=ZB,A ZEDF=ZDEF, VAB =AC, /. ZB=ZC, TEF AC , A ZDEF =ZC,%1如图2,当 DE=EF 时，则85%1如图3, T 当DE=DF时，-(t+4)ADE_EF；即_£ABBC10 _16?点 B 与点 D 重合， .? .t=0 ；综上所述，当 t=0 、贸或匹秒时5 25(3) 如图 4,设 P 是 AC 的中点4=5 (t+4), 解得： t= 些；有 ZDFE=ZDEF=ZB=ZC, A ADEHAABC.w, 解得： t= 匹；25ADEF 为等腰

41、三角形 .连接 BP,TEF AC, /.AFBEaA ABC . /. ELBE, EN_BE.ACBC CP'BC又 TZBEN=ZC,/.ANBEAAPBC, AZNBE =ZPBC . . ?.点 B, N, P共线, 点N沿直线BP运动，MN也随之平移.如图5,设MN从ST位置运动到 PQ位置，则四边形 PQST是平行四边形.TM、N分别是 DF、EF的中点,/.MN/7DE,且ST=MN=2 DE=2.分别过点T、2P作TK丄BC,垂足为K, PL丄BC,垂足为L,延长ST交PL于点R,则四边形TKLR是矩形,?.?当 t=0 时，EF=a (0+4)=也，TK=EFsin

42、ZDEF=丄？世？邑丄;8222 2 5 4当 t=12 时，EF=AC=10, PL=2AC ? sinZC=2 ? 10?邑 3.25/.PR=PL - RL=PL - TK=3 -邑 2 /.S 平行四边形4 4pqst=ST? PR=2xa=M.'4 22?整个运动过程中，MN所扫过的面积为A、B、C三点同时E的运动速度为lcm/s,点F的运动速度为 3cm/s,点G的运动 速度为&出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点AEBT.设点E、F、G运动的时间为t （单位：s）. 当t= 2A s时，四边形EBFB，为正方形； 若以点E、B、F为顶点的三角形与以点 是否存在

43、实数t,使得点1.5cm/s，当点F到达点C （即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，AEBF关于直 线EF的对称图形是（1）（2）（3）F, C, G为顶点的三角形相似，求 t的值；B，与点0重合？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由AD03备甲图C考点：相似形综合题.解答：解：（1）若四边形 EBFB%正方形，贝!BE=BF,即：10 - t=3t,解得t=2.5 ； （2）分两种情况，讨论如下：%1 若AEBFAAFCG,则有翌县，即丄 2二解得：t=2.8 ；FCCG 12- 3t 1.5t%1 若 AEBFAAGCF,则有歴旦，即 1U 二A_迩_,CGFC

44、1. 5t 12- 3t 解得：t= - 14 - 2A/69 (不合题意，舍去)或上=-14+2屈.?.当上=2&或1= ( - 14+2、网)s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F, C, G为顶点的三角形相似(3) 假设存在实数t,使得点B，与点0重合.如图，过点 0 作 0M 丄 BC 于点 M,则在 RtAOFM 中，OF=BF=3t, FM=1 BC - BF=6 - 3t, 0M=5,2由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：52+ (6 - 3t) 2= (3t) ?解得：上=鱼；ADBF Arc过点 0 作 ON 丄 AB 于点 N,则在 RtAOEN 中，OE

45、=BE=10 - t, EN=BE - BN=10 - t - 5=5 - t, 0N=6,由勾股定理得: ON'+ENJOES即: 62+ (5-t) 2= (10-t) $解得：仁3.9. ?旦3.9, ?不存在实数t,使得点B与点O重合.369. (2011*陕西)如图，在矩形 ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD (含端点)上，落点记为 E,这时折 痕与边BC或者边CD (含端点)交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形 ABEF称为矩形ABCD的“折痕三角形“(1) 由“折痕三角形“的定义可知，矩形 ABCD的任意一个“折痕ABEF"是一个A三角形如图，

46、在矩形 ABCD中，AB=2, BC=4,当它的“折痕ABEF"的顶点E位于AD的中点时，画岀这个 “折痕 BEF",并求岀点F的坐标； 如图，在矩形 ABCD中，AB=2, BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕 BEF"?若存在，说明理由，并求出此时点E的毗标7若不ffff；为什么?“ $彳DjI(E)DjDJ/C(B)AC田)AF C A0k 0F& 0X® 考点：翻折变换(折叠问题)；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质解答：解：(1)等腰.如图，连接 BE,画BE的中垂线交BC与点F,连接EF, ABEF是矩形ABCD的一个折痕三角形T

47、折痕垂直平分 BE, AB=AE=2,点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A. 四边形ABFE为正方形.？ .BF=AB=2, /.F (2, 0).(3) 矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF,其面积为4,理由如下：当 F在边BC上时，如图所示.SZSBEFS矩形ABCD，即当F与C重合时'面积最大为4.当F在边CD上时，如图所示，过F作FH/BC交AB于点H,交BE于K.*?*SAEKF = KF? AH<AHF?AH=1 S 矩形 AHFD , SABKF = KF? BH<A HF?BH=1 S 矩旳 BCFH ,2 2 2 2 2 2?'?SXBEFA-A矩形ABCD=4.即当F为CD中点时ZBEF面积最大为 4.2下面求面积最大时，点 E的坐标.当F与点C重合时，如图所示.由折叠可知 CE=CB=4,在RtACDE 中,ED=