湖南师大附中高三上学期月考试卷三教师版数学理Word版含解析

1、炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(三)数学(理科)命题人：朱海棠贺祝华张天平欧阳普审题：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z2i，则下列结论中正确的是(C)Az的虚部为i B|z|2 Cz2为纯虚数 Dz1i【解析】由已知，z2i1i，则z的虚部为1，|z|，z22i为纯虚数，z1i，故选C.2设xR，若“|xa|<1(aR)”是“x2x2>0”的充分不必要条件，则a的取值范围是(A)A(，32，) B(，3)(2，)C(3，2) D3，

2、2【解析】由|xa|<1(aR)，解得：a1<x<a1.由x2x2>0，解得x>1或x<2.又“|xa|<1(aR)”是“x2x2>0”的充分不必要条件，1a1或a12，即a2，或a3.故选A.3已知集合A5，B1，2，C1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为(C)A6 B32 C33 D34【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36333个，故选C.4设l、m、n表示不同的直线，、表示不同的平

3、面，给出下列4个命题：(B)若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则ml.其中正确命题的个数是A1 B2 C3 D4【解析】易知命题正确；在命题的条件下，直线l可能在平面内，故命题为假；在命题的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题中，由n知，n且n，由n及n，m，得nm，同理nl，故ml，命题正确故选B.5若实数x，y满足不等式组且xy的最大值为9，则实数m(C)A2 B1 C1 D2【解析】令zxy，则yxz，z表示斜率为1的直线在y轴上的截距当z最大值为9时，yxz过点A，因此xmy10过点A，所以m1.故选C.6某企业节能降耗技

4、术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示：x3456y2.5344.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为0.7a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为()吨(A)A5.25 B5.15 C5.5 D9.5【解析】由表中数据，计算得x×(3456)4.5，y×(2.5344.5)3.5，且线性回归方程0.7a过样本中心点(x，y)，即3.50.7×4.5a，解得a0.35，y关于x的线性回归方程是0.70.35，当x7时，估计生产7吨产品的生产能耗为y0.7×70.355.25(吨)故选A.7设等差数

5、列an的前n项和为Sn，已知>，且a6a7<0，则(A)A. 当n6时，Sn取最大值 B. 当n7时，Sn取最大值C. 当n6时，Sn取最小值 D. 当n7时，Sn取最小值【解析】因为>，则>，即an>an1，所以数列an单调递减因为a6a7<0，则a60，a70，从而数列an的前6项都为正数，从第7项起，以后各项都为负数，所以当n6时，Sn取最大值，选A.8庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S，则输入的n的值为(C)A7 B6 C5 D4【解析】框图首先给累加变量S赋

6、值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行循环体，S，k112；判断2n不成立，执行循环体，S，k213；判断3n不成立，执行循环体，S，k314；判断4n不成立，执行循环体，S，k415.判断5n不成立，执行循环体，S，k516.判断6n不成立，执行循环体，S，k617.由于输出的S，可得：当S，k6时，应该满足条件6n，即：5n6，可得输入的正整数n的值为5.故选C.9设椭圆C：1(a>b>0)，O为坐标原点，若椭圆C上存在两个关于x轴对称的点A，B，使得|AB|b，且AOB的重心为椭圆C的一个焦点，则椭圆C的离心率为(B)A. B. C. D.【解析】不妨设点A(x0，y0

7、)(x00，y00)，因为点A，B关于x轴对称，则点B(x0，y0)，因为|AB|b，则y0.因为AOB的重心为椭圆C的一个焦点，则c，即x0.因为点A在椭圆C上，则1，所以1，即e2，即e，选B.10将函数f(x)sin的图像向左平移n(n>0)个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为偶函数，则n的最小值为(B)A. B. C. D.【解析】由f(x)sin向左平移n(n>0)个单位后得到函数ysin的图像，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到函数ysin的图像，因其为偶函数，故x0时，2nk，kZn，kZ.故选B.11如图所示，

8、点G是ABC内一点，若SAGB7，SBGC5，SAGC6，且xy，则xy(C)A. B. C. D1【解析】在GA上取一点E，使得，在GB上取一点F，使得，连接CE，EF，FC.SEGF××SAGB，SCGE×SAGC，SCGF×SBGC，G为CEF的重心，0，0，5670，18670.，xy，选C.12设x1，x2分别是函数f(x)xax和g(x)xlogax1的零点(其中a>1)，则x14x2的取值范围是(D)A4，) B(4，) C5，) D(5，)【解析】由f(x)xax0得ax；由g(x)xlogax10得logax；因为函数yax与yl

9、ogax互为反函数，图像关于直线yx对称， 由得不妨设x1<x2, 由图得x1x2>2，且x2>1, 所以x14x2x1x23x2>5，故答案选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13计算：_4_【解析】原式4.14设数列an的前n项和为Sn，已知Sn2ann(nN*)，则数列an的通项公式是_an2n1_【解析】当n1时，S12a11，则a11.当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，即an12(an11)则数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an12n，即an2n1.15某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而

10、成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，2)，若每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为_【解析】三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，2)，概率密度分布图像关于x1 000(小时)对称，每个元件使用寿命超过1 200小时的概率为，每个元件的使用寿命不超过800小时的概率为，每个元件的使用寿命超过800小时的概率为，根据此部件的结构，元件1，2中至少有一个正常工作，元件3必须正常工作，又各个元件能否正常工作相互独立，设三

11、个元件能正常工作的事件分别记作A，B，C，该部件能正常工作的事件记作M，则M(·)·C，P(M)P(·)·P(C)(1P(·)·P(C)(1P()P()·P(C)×，故答案为.16已知函数fx2m与函数gln 3x的图像上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是_【解析】原问题等价于hfgx2ln x3xm在有零点，而h2x3，知h在单调递减，在单调递增，又hm2，hln 22m，hln 2m，由ln 2>可判断h>h，因而h的值域为，又h有零点有m20ln 22m得m.三、解答题：共70分解

12、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共60分17(本小题满分12分)在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知m，n(cos C，1)，且m·nb.()求角A的大小；()若a2，求ABC的面积S的最大值【解析】()由m，n(cos C，1)，且m·nb可得2acos Cc2b，(1分)由正弦定理，得2sin Acos Csin C2sin B(2分)又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，则sin C2cos Asin C(4分)因为si

13、n C0，则cos A.又0<A<，所以A.(6分)()因为a2，A，由余弦定理，得b2c22bccos 4，即b2c2bc4.(8分)因为b2c22bc，则b2c2bc2bcbcbc.所以bc4，当且仅当bc时等号成立(10分)所以Sbcsin A×4×，故ABC的面积S的最大值为.(12分)18(本小题满分12分)某职称晋级评定机构对某次参加专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分(满分100分)及以上者晋级成功，否则晋级失败()求图中a的值；()根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握

14、认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计()将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)参考公式：K2，其中nabcd.P(K2K0)0.400.250.150.100.050.025K00.7801.3232.0722.7063.8415.024【解析】()由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(2a0.0200.0300.040)×101，解得a0.005.(2分)()由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25，所以晋级成功的人数为100×0.2

15、525(人)，填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100(3分)假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得K22.613>2.072，(5分)所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关(6分)()由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即XB，P(Xk)C(k0，1，2，3，4)，(8分)故P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)C，所以X的分布列为X01234P(Xk)(11分)数

16、学期望为E(X)4×3.(12分).19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD是直角梯形其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2.()求证：平面PCD平面PAB；()线段PD上是否存在点Q，使得二面角QACD的平面角的正切值为，如存在，试确定这个点的位置；如不存在，试说明理由【解析】()PAPD，又AD2，PDPA.(1分)又底面ABCD是直角梯形，ABAD，侧面PAD底面ABCD，AB平面PAD，ABPD.(3分)ABPAA，PD平面PAB.(5分)平面PCD平面PAB.(6分)()解法一：取AD中点O，连接PO，则PO

17、AD，又侧面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.假设存在点Q，过Q作QNPO交AD于点N，过点N作NMAC交AC于点M，连接QM.PO底面ABCD，QN底面ABCD，QMN就是二面角QACD的平面角(8分)从而，设QNa，则MNa.在POD中，有PO1，QNPO，即DNa.(9分)在ACD中，有AD2，AC，CAD，由正弦定理得ACD，MNCD，从而有即.(10分)a23a，解得a.(11分)又PO1，存在符合要求的Q点且Q点为PD的中点(12分)解法二：取AD中点O，连接PO，则POAD，又侧面PAD底面ABCD，PO底面ABCD.BCAD，AOBC1，ABAD，COAD.以O为坐标原点，

18、OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系(7分)则A(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)假设存在点Q(x，y，z)，可设，则(x，y，z1)(0，1，1)，从而Q(0，1)，(0，1，1)，设平面QAC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得取y11，得n1.(9分)取平面ACD法向量为n2(0，0，1)，从而cosn1，n2，(10分)设二面角QACD的平面角为，tan 且0，从而cos ，(11分)，解得，或2(舍去)，存在符合要求的Q点且Q点为PD的中点(12分)20(本小题满分12分)如图，抛物线C的顶点在坐标

19、原点，焦点F在x轴正半轴上，点M为圆O：x2y212与抛物线C的一个交点，且|MF|3.()求抛物线C的标准方程；()设斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若|AB|8，证明：直线l与圆O相切【解析】()设抛物线C的方程为y22px(p0)，联立x2y212，得x22px12，即(xp)2p212.因为x0，则xp.设点M(x0，y0)，则x0p.(3分)因为|MF|3，则x03，即3，所以p212，化简得p24p40，即(p2)20，则p2，所以抛物线C的标准方程是y24x.(6分)()设直线l的方程为xym，联立y24x，得y24y4m0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y

20、1y24，y1y24m.(8分)所以|AB|y1y2|····4.(9分)因为|AB|8，则2，即2m8，所以m6，此时(4)216m>0.所以直线l的方程是xy6，即xy60.(11分)因为圆O的半径r2，圆心O到直线l的距离d2r，所以直线l与圆O相切(12分)21(本小题满分12分)已知函数f(x)aln(x1)(x1)2.()求函数f(x)的单调区间；()试证对任意的nN*，有1<.【解析】()函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)2(x1).(1分)(1)若a20，即a2，则f(x)0对x(1，)恒成立，故f(x)在区间(1，)上

21、单调递增；(2分)(2)若a2<0，即a<2，则方程2x2(2a)0的两根为x±；当1，即a0时，f(x)0的解为x，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；(4分)当>1，即0<a<2时，f(x)0的解为x或1<x<，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .(5分)()当a2时，f(x)2ln(x1)(x1)2，由()知，f(x)在区间(0，1)上递增，即对任意x(0，1)，有f(x)>f(0)1，即2ln(x1)(x1)2>1，整理得2xx2<2ln(x1)(7分)令x(k1，2，n)，则<2ln ，累加得，1&

22、lt;22ln(n1)(9分)下面证明：对任意的nN*，有ln(n1)<.记函数g(t)2tln tt21(t>1)，则g(t)2(ln tt1)，g(t)2，当t>1时，g(t)<0，故函数g(t)在区间(1，)上递减，因此g(t)<g(1)0，故函数g(t)在(1，)上也单调递减. 所以g(t)<g(1)0，即对t>1，有2tln t<t21, (11分)令t(nN*)，则2·ln <()21，故ln(n1)<.综上所述，对任意的nN*，有1<.(12分)(二)选考题：共10分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为.()若曲线C为双曲线，求m的取值范围；()以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系当m1时，过点P(2，0)作直线l交曲线C于