复数知识点总结

1、复数一、复数的概念1. 虚数单位i(1) 它的平方等于1，即i21 ；(2) 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满 足交换律与结合律.(3) i 的乘方：i4n 1,i4n 1 i,i 4n 21,i4n 3 i, n N*，它们不超出 bi 的形式.2. 复数的定义形如a bi(a,b R)的数叫做复数，a,b分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 a bi c di，即a c,b d，那么这两个复数相等4. 共轭复数 zabi时，zabi.性质：z z； z1z2 z1z2 ；Zjz2 z1 4 ；(皀)=(z20)；Z2Z2二、复平面及复数的坐标表示

2、1. 复平面在直角坐标系里，点 z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z a bi可用点Z (a, b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴.点 Z(a,b)uuu向量oZ .2. 复数的坐标表示3. 复数的向量表示4. 复数的模在复平面内，复数za bi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离 OZ叫做复数z的模,记作z .由定义知,.a2b2 .三、复数的运算1. 加法 (a bi) (c di) (a c) (b d)i .uuuruiun几何意义： 设z a bi对应向量OZ1(a,b) , z2 c d i对应向量O乙 (c,d)，则(

3、a c,b d) 因此复数的和可以在复平面上用平行四边uuiu uuuzi Z2对应的向量为O乙OZ25.除法bi cdia bibi cdibcc dic di c diac bdc2 d2ad i形法则解释.2.减法:(a bi)(c di) (auuurc) (bd)i umu几何意义：设Z-a b i对应向量OZi(a,b),z2 cd i对应向量OZ2(c,d)，则iuiuuuuuuuZiZ2对应的向量为OZiOZ2Z2 Zi(a c, bd) ZiZ2I(ac) (bd)iJ(ac)2 (b2d)表示乙、Z2两点之间的距离，也uuur等于向量乙Z2的模3.乘法a bicdia cb

4、 d i.4.乘方mnZ Zm nZ(zm、nmn)z(Zi、nnnZ2)ZiZ26.复数运算的常用结论(i)(abi)22 ab22abi(2)(ii)2 2i(ii)2iii i(3)i ,iiii i(4)ZiZ2ZiZ2W Z2(、一 2 _(5) z z z , z z, (a bi)(a bi) a2 b22iz1Zj=召 Z2 ,-1，z z Z2z2乙Z2乙Z2(6)(7)Zi Z2Z1Z2,Z1Z2四、复数的平方根与立方根1.平方根若(a bi)2c di，则是cd i的平方根.(1的平方根是i )2.立方根如果复数Z1、Z2满足3Z1(1)1的立方根：1, , 2.1.3

5、2 11312 2,212(2)1的立方根：122 i,-1 Z -2五、复数方程1.常见图形的复数方程(1)圆：z Zo r ( r 0, Zo 为常数)，a bi是c di的一个平方根，(a bi)也Z2，则称乙是Z2的立方根.3 1. 1 2 0.Ji2 .表示以Zo对应的点Zo为圆心，r为半径的圆(2)线段乙Z2的中垂线：z Ziz Z2 (其中Zi,Z2分别对应点 乙，Z2)(3)椭圆:2a (其中a0 且 zi z22a),表示以Zi,Z2对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a的椭圆(4)双曲线： z Z|z z2 2a (其中2a ),表示以Z!,z2对应的点F1、F2为焦点，实轴长为 2a的双曲线2.实系数方程在复数范围内求根