132利用导数研究函数的极值

1、日照实验高中 2007 级数学导学案-导数1.3.2 利用导数研究函数的极值(第二课时)学习目标：1理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x)在闭区间a,b1上所有点(包括端点a,b)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；2掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤学习重点难点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.自主学习一、知识再现：求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(X)求方程f(x)=0的根用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极

2、大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.二、新课探究1、函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭 区间a,b上的函数f (x)的图象图中f(xj与f (x3)是极小值，f(X2)是极大值函数f(x)在a, b上的最大值是f (b)，最小值是f (x3)一般地，在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b 1上必有最大值与最小值.教师备课学习笔记X1rOx2b x教师备课学习笔记说明：在开区间(a,b)内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值.如1函数f (x)二 在(0/-)内连续，但没有最大值与最小值;x函数的最值是比较整个

3、定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.函数f(x)在闭区间a,b 1上连续，是f(x)在闭区间a,b 1上有最大值与最 小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.2、利用导数求函数的最值步骤：由上面函数f (x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义 区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.设函数f (x)在a, b上连续，在(a,b)内可导，则求f (x)在b,b】上的 最大值与最小值的步骤如下：求f (x)在(a,b)内的极值；将f (x)的各极值与f (a)、f

4、(b)比较得出函数f(x)在b,b 1上的最 值.三、例题解析：例1求函数y=x4-2x25在区间1-2,2上的最大值与最小值-解：先求导数，得y/=4x3-4x/3令y=0即4x -4x = 0解得X! - -1, x2= 0, x3= 1导数y/的正负以及f(-2),f(2)如下表X-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2/y一0+0一0+y134/54/13从上表知，当x二2时，函数有最大值13,当x二1时，函数有最小值4 x + ax +b例2已知f(x) =log3-,x(0,+ g).是否存在实数教师备课学习笔记xa、b,使f (x)同时满足下列两个条件：(1)

5、f (x)在(0,1)上是减函数，在1,+g)上是增函数；(2)f (x)的最小值是1,若存在，求 出a、b，若不存在，说明理由教师备课学习笔记2x ax bx在1,+)上是增函数 g(x)在(0,1)上是减函数，在1,+s)上是增函数经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件 课堂巩固:1函数f(x) =x3-3x7 在-3,0上的最大值，最小值分别是()A.1, -1 B.1,17 C. 3,17 D. 9,1922.函数f(x) =x -21 nx的最小值是()A 0B -1C 1D 2323已知f(x) =2x -6x - m(m为常数)在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上的最小值为4.函数f(x) =x-ex在-1,1上的最大值是 _ ；最小值是 _ 归纳反思:解：设g(x)= f(x)在(0,1) 上是减函数,；g(i)=og =3b1 =0a =1解得丿Jb=1教师备课学习笔记2f (X) =(X -4)(x -a)若f (1) =0，求