1向量X教师版

1、向量注:向量不能比较大小，因为方向没有大小4. 零向量：长度为零的向量叫零向量零向量只有一个，其方向是任意的5. 单位向量：长度等于 1 个单位的向量单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量6. 共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线 上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量7. 相反向量：长度相等且方向相反的向量二、向量的运算（一）运算定义1向量的加减法， 实数与向量的乘积，两个向量的数量积，这些运算的定义都是自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运 算，

2、发现它们有很好地运算性质，这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础，向量确实是一个好工具特别是向量可以用坐标表示，且可以用坐标来运算，向量运算问题可以完全坐标化刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图 形 、 符 号 、 坐 标 语 言 。 主 要 内 容 列 表 如 下 :运算图形语言付号语言坐标语言加法与 减法B壬raOA+OB=OC?OB -OA=AB、 一记OA=X*，yi），OB=（xi，y2）则 OOB=（xi+x2，yi+y2）OB-OA= （x2-xi，y2-yi） 一?0A+AB=OB实数与 向量的 乘积AAZRB?TAB=入a入 R、T 记a=（x，y）T贝“入a=（入 x

3、，入 y）亠J两个向 量的数 量积Ta b=a qcoqa，b）记a = （xi，yi），b=（x2，y2）f T（二）运算律知识清单一、向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量向线段的长度）.2向量的表示方法斗耳冲字母表示法.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有几何表示法:如a,b,c,|（等.:用一条有向线段表示向量AB,CD等.:在平面直角坐标系中.如 ，向量OA的起点 0 为在坐标原点，终点 A 坐标为坐标表示法x, y,则x,y称为OA的坐标,记为OA=x, y.注：向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具扌3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可

4、以自由平移，平移前后的向量相等两向量a与b相等，记为a =b.注:两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcosr其中-a,b;）,这个数的大小与加法：a b =b a（交换律）;（a b） a （b c）（结合律）4 4444444实数与向量的乘积：（a b）= a/ b；C”一 一.）a = a九-a；（丄a）=（止）a两个向量的数量积：ab=ba ；（入a） b=a（入b）=入（ab）；T T T T T T T（a+b） C=a -C+bC注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则， 迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，2 2例如（ab）2=_ 2 a

5、b b（三）运算性质及重要结论 .t平面向量基本定理：如果ei,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一 向量a丁且只有一对实数 人，入2,使 a = +入2e?，称入e+几 2：为ei,e2的线性组合。1其中q,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底T；2平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e,q的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的这说明如果a -川几22且a =，rq：；也2色,那么1也=23当基底e，e2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础向量坐标与点坐标的关系： 当向量起点在原点时， 定义向量坐标

6、为终点坐标，AB坐标为终点坐标减去起点一、7T T坐标语言为：设非零向量a = x1,y1,b=为,y2,则a/b：=f x x2即，或 xiy2-X2yi=0,在这里，实数入是唯一存在的，当a与b同向时，入0 ；当a与by = y2二|T TT T异向时，入0。口 1=旦，入的大小由a及b的大小确定。因此，当a,b确定时，入的符号与 I b|大小就确定了 这就是实数乘向量中入的几何意义。两个向量垂直的充要条件T Ta b=0坐标语言：设非零向量两个向量数量积的重要性质：1a=|a|2即|a|= a（求线段的长度）;* f T T2a _ b =科七=0（垂直的判断）;正确即若 A（x, y）

7、,则 OA = （x,y）;当向量起点不在原点时，向量坐标，即若 A （Xi,yi） , B （X2,y2）,则AB=（X2-xi,y2-yi） 两个向量平行的充要条件符号语言：ab = a二，b（b = 0）（xi,y”=入（X2,y2）,符号语言：a _ b：=呻TT Ta二Xi, yi,b = X2,y2，则a _ bXjX?yi y0长度、角度等问题，由此可以看到向量注:两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcosr其中-a,b;）,这个数的大小与以上结论可以（从向量角度）有效地分析有关垂直、 知识的重要价值.COS T=（求角度）。两个向量的长度及其夹角的余弦有关b cos二叫做向

8、量b在a方向上的投影(如图)数量积的几何意义是数量积a b等于a的模与b在a方向上的投影的积如果R(Xi,yJ,P2(X2,y2),则RP2=(X2花2 yj, PP2 =J(X2二Xi)L(y2二yj2,这就是平面内两点间的距离公式课前预习1. 在 L ABCD 中，2. 平面内三点A(0, -3),B(3,3), C(x,-1)若ABII BC,贝 U X 的值为 13. 设 a , b , c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，贝 U:一 TTTTTTTTTT(a b)c-(c a)b=0|a|-|b|v|a-b|(b c)a_(c a)b 不与 c 垂直 (3a+2b) (3a_2b

9、 )=9|a |2- 4 b |2中, 真命题是T Ta b4. OAB 中,OA= a ,OB= b ,OP=p，若p=t(), t R,则点 P 在/ AOB|a| |b|平分线所在直线上5._已知 a = (x,3 ),b =( 2,4 ),a 丄 b，则实数 x=_ 66._已知 a + b=(2, 8),a b珂-6, 4 则 a=_(-2,-6)_ , b=_(4,-2)_,a与b的夹角的余弦值是.10 _7 .在 OAB 中，OA = (2cos二,2sin：),OB = (5cos - ,5sin -),若OA OB= -5,则-5酉28.已知 ABC 中，A (2, -1)

10、, B (3, 2) , C (-3 , -1), BC 边上的高为 AD , 求点 D 和向量AD坐标。D(1,1)AD=(-1,2)典型例题一、平面向量的实际背景与基本概念例 1如图，设 O 是正六边形的中心，分别写出图中与 的模相等的向量以及方向相同的向量。SOAB=注:两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcosr其中-a,b;）,这个数的大小与解：AD,BE,EB,CFCB,EF例 5已知 a = (4, 2), b = (6, y),且 a II b，求 y . 3二、平面向量的线性运算例 2如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = a , AD =b , 你能用 a, b 表

11、示向量AC=a+b,DB= a-b变式 1：如图，在五边形 ABCDE 中，T TCD =c ,EA = d，试用 arCE=a+b+ dIAAB二 a ,BC二 b ,i电 b , c , d 表示向量CE和.EDE=-a- b- c- d变式 2:已知OA=a,OB=b,OC=C,OD=d,且四边形 ABCD 为平行四边形,贝 Uab+cd=0变式 4：已知 a、b 是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a b)垂直的充要条件变式 5:在四边形 ABCD 中，AB=a+2b,BC= 4a b,CD= 5a 3b,其中 a、b 不共线，则四边形 ABCD 为梯形例 3.如图，已知任意两

12、个非零向量 a、b ,试作OA二 a + b,OB二 a + 2b,OC二 a+ 3b,你能判断 A、B、C 斗点之间的位置关系吗？为什么？A、B 斗三点共线OA + OC斗OB变式 1:已知OA二 a + 2b,OB=2a + 4b,OC =3a + 6b(其中 a、b 是两个任意非零向量)，证明：A、B、C 三点共线.证明：AB = OB OA= a + 2b,AC = OC OA= 2a + 4b, AC =2AB所以，A、B、C 三点共线.变式 2:已知点 A、B、C 在同一直线上，并且OA=a + b,OB=(m-2)a + 2b,OC=(n，1)a + 3b (其中 a、b 是两个

13、任意非零向量)，试求 m、n 之间的关系.b 是两/个士意非AB = OB OA= a + 2b,AC = OC - OA= 2a + 4b,n=2m-6例 4已知四边形 ABCD,点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，求 证：EF二HG变式 1:已知任意四边形ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F,求证:AB DC =2EF.、平面向量的基本定理及坐标表示BDCA变式 1:与向量 a = (12, 5)平行的单位向量为 I12,仝(或 L12,-匕3 13丿V 1313y变式 2:1已知 a =(1,2), b = (x,1 )，当 a+2b 与 2a b

14、 共线时，x值为2变式 3:已知 A(0,3)、B(2,0)、C( 1,3)与AB 2AC方向相反的单位向量是(01)变式 4：已知 a = (1 , 0), b = (2, 1).试问：当 k 为何实数时，ka b 与 a+3b1平行，平行时它们是同向还是反向？k=- 反向3例 6设点 P 是线段RP2上的一点，R、F2的坐标分别为, y1, x2, y2.(1) 当点 P 是线段PF2上的中点时，求点 P 的坐标；(X1+X2,y1+y2)2 2(2) 当点 P 是线段 PR 的一个三等分点时，求 P 的坐标(空匕 ,2yY2)33四、平面向量的数量积例 7已知 |a| = 6, |b|

15、= 4 且 a 与 b 的夹角为 60，求(a + 2b) (a-3b)已知；=3, b =4, a b a 2b =23,那么a与b夹角为 120_变式 2：已知向量 a 和 b 的夹角为 60, | a | = 3, | b | = 4,贝 U( 2a -b) a 等于 12变式 3:在厶 ABC 中，已知 |AB|=4 , |AC|=1 , SAAB=3，则ABAC等干土 2变式 1:变式 2:OB= b,(3：已知两点 M3,2, N-5,-5 ,忒网，则P点坐标是-1 冷如图，设点 P、则OP二3Q 是线段 AB 的三等分点，若OA，OQ =专(用弘弘b表示)变式 1:A变式 4：设

16、向量 2te1- 7e2与向量 e - te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.tv 0 且土2例&已知|a| = 3, |b| = 4 且 a 与 b 不共线，k 为何实数时，向量 a + kb 与 a-k b 互相垂直？k=_34变式 1:已知 a 丄 b , |a|= 2, |b| = 3,且向量 3a + 2b 与 ka-b 互相垂直，则 k 的值为3_2_变式 2：已知|a|= 1, |b| = 2 且(a-b)丄 a,则 a 与 b 夹角的大小为_二4_ .例 9已知 a = (4, 2),求与向量 a 垂直的单位向量的坐标.(-丄,上)(丄,-?) -：.5:丿5.5

17、.5变式 1:若 i = (1,0), j =(0,1)，则与 2i+3j 垂直的向量是一 3i+2j 或 3i 2j变式 2：已知向量 a =(1,1) , 6 =(2, -3)，若ka -2b与a垂直，则实数 k= 1变式 3:若非零向量 a,b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是(B )A.a b=a-bB. |a b|=|a-b|f -* 千C.(a b)(a -b)=0D. (a -b)2=0变式 4：已知向量a=(3,4), b=( 2,x),c=(2,y)且 a/ b, a 丄 c.求例 10.已知 A (1 , 2), B (2, 3), C (-2 , 5),试判断 ABC 的形状，并给出证明.直角三角形变式 1： O 是 ABC 所在的平面内的一点，且满足ABC 一定为直角三角形变式 2：已知 A、B、C