清华大学一元微积分期中考题答案_第1页
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文档简介

1、一填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1.答案： 2. 。答案：3. 。答案：4. 已知时，为的5阶无穷小量，则 。答案：5. 。答案：6. 。答案：17. 。答案：8. 。答案：9. ，则 。答案：10. ，则 。答案：11. 函数的不可导点的个数为 。答案：212. 曲线当时的渐近线为 。答案：13. 设，则 。答案：14. 已知函数由确定，则曲线在点处的切线方程为 。答案： 15. 函数的反函数的导数 。答案：二计算题（每题10分，共40分）1. 已知求。解： 5分 .5分1. 写出函数 在处的带有Lagrange余项的阶泰勒公式。解： 6分，.4分 .（注：只写出

2、Peano余项，给2分）2. 根据的奇数偶数不同情况分别讨论函数（为正整数）的增减性，求它在实数范围的最值并画出其图像。解：当时，驻点为，上单调增，单调降，最大值为，无最小值； 2分当为奇数时（为正整数），驻点为与，上单调增，单调降，最大值为，无最小值； 2分当为偶数时（为正整数），驻点为与，上单调降，上单调增，单调降，最小值为。 3分.图像3分，一个1分2. 设为上的连续可导函数，(I) 求证：为上的可导函数；(II) 计算。解：(I) 因为为上的可导函数，当或时，为可导函数。当时，因为为上的连续可导函数，由罗比达法则，所以在点可导。.5分故为上的可导函数。(II).5分三证明题1. (8分)设，且当时，存在且单调增，证明：当时，单调增。证明：设，则当时， 4分 其中。 2分由于单调增，故，从而单调增。2分2. (7分)设函数在内二阶可导，且其图像在内有三个点满足关系，(I) 证明必然存在一个点，使得;(II) 写出此命题的一个推广命题。证明：(I) 记，则在内二阶可导。由已知条件，设为区间内的三个点，使得函数与得图像相交，即

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