全国卷新课标高考中档大题专项训练立体几何与空间向量

1、高考中档大题专项训练-立体几何与空间向量1.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB = 5, AC= 6,点 E, F 分别在 AD ,5CD 上，AE = CF =4, EF 交 BD 于点 比将厶 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置，OD=10.(1)证明：D H 丄平面 ABCD ;求二面角 B D A C 的正弦值.(1)证明 由已知得 AC 丄 BD , AD = CD.因此 EF 丄 HD，从而 EF 丄 D H.由 AB = 5, AC= 6 得 DO= BO = AB2 AO2= 4.丄EOH AE 1由EF/ AC 得DO=AD=4.所以 O

2、H = 1 , D H = DH = 3.于是 D H2+ OH2= 32+ 12= 10= D O2，故 D H 丄 OH.又 D H 丄 EF，而 OHAEF = H , 所以 D H 丄平面 ABCD.(2)解如图,方向，建立空间直角坐标系，则H(0,0,0),A( 3, 1,0), B(0, 5,0), C(3, 1,0),又由 AE = CF 得AEADCF ,CD，故AC / EF.以 H 为坐标原点,HF 的方向为 x 轴正方向，HD 的方向为 y 轴正方向,HD 卞的方向为 z 轴正1)D (0,0,3), AB = (3, 4,0), AC= (6,0,0), AD = (3

3、,1,3).设 m= (xi, yi, zi)是平面 ABD的法向量，则m AB= 0,mAD= 0,3xi 4yi= 0,即3xi+ yi+ 3zi= 0,所以可取 m = (4,3, 5).设 n = (x2, y2, Z2)是平面 ACD 的法向量，则n AC=0,n AD =0,6x2= 0,即3x2+ y2+ 3Z2=0,所以可取 n = (0, 3,1).于是 cos m ,m147f5n=|m|n|=50 x, 10=25sin m, n2 9525因此二面角BD AC 的正弦值是2 ,95252 .在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 0 的直径，EF 是上底面圆 0的直径，

4、FB 是圆台 的一条母线.(1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH /平面 ABC ;1已知 EF = FB =2AC = 2 3, AB = BC，求二面角 F BC A 的余弦值.(1)证明 设 FC 中点为 I，连接 GI , HI.在厶 CEF 中，因为点 G , I 分别是 CE, CF 的中点,所以 GI / EF.又 EF / 0B，所以 GI / 0B.在厶 CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HI / BC.又 HInGI = I, BCAOB = B, 所以平面 GHI /平面 ABC.因为 GH?平面 GHI，所以 GH /平面 ABC.解 连

5、接 00 ，贝 U 00 丄平面 ABC.又 AB = BC,且 AC 是圆 0 的直径，所以 以 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得 B(0,2.3, 0), C( 2,3, 0,0).过点 F 作 FM 丄 0B 于点 M ,所以 FM =一 FB2 BM2= 3,可得 F(0,3, 3).故 BC = ( 2 3, 2 3, 0), EBF = (0，3, 3).设 m= (x, y, z)是平面 BCF 的法向量.B0 丄 AC.m BC = 0,由m BF = 0,可得平面 BCF因为平面 ABC所以 cosm ,所以二面角 F -2 3x 2 3y= 0, 可得

6、 _ / 3y + 3z =0.的一个法向量 m= 1, 1,三3,的一个法向量 n = (0,0,1),BC A 的余弦值为3.将边长为 1 的正方形 AA1O1O(及其内部)绕 001 旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 2n长为n，其中 B1 与 c 在平面 AA1010 的同侧.3(1)求三棱锥 C 01A1B1 的体积；求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小.解 连接 0iBi,则AB=ZAi0iBi= J,OiAiBi为正三角形，-SV0lA,B1Vc0iA Bi(2)设点 Bi在下底面圆周的射影为B,连接 BBi,贝UBBi/ AAi,ZBBiC 为直线 BiC 与 AAi

7、所成角(或补角),BBi= AAi= i.连接BC, B0, 0c,AB=A| Bi= 3,Ac=亍,- Be= 3，B0C = J, B0C 为正三角形，BC=B0=i, tanZBB1C=iBBi，A1B1i=J00i SV0iAiB1.3i2.直线 BiC 与 AAi所成的角的大小为45.14 .如图，在四棱锥 P ABCD 中,AD / BC,/ ADC=ZPAB = 90 BC = CD =为棱 AD的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90(1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM /平面 PBE，并说明理由；若二面角 P CD A 的大小为 45求直线 PA 与平

8、面 PCE 所成角的正弦值.解 在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行延长 AB, DC ,相交于点 M(M 平面 PAB),点 M 即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC/ ED，且 BC = ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CM / EB又 EB?平面 PBE, CM?平面 PBE.所以 CM /平面 PBE.(说明：延长 AP 至点 N,使得 AP = PN,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)方法一 由已知，CD 丄 PA, CD 丄 AD , PAAAD = A,所以 CD 丄平面 FAD.从而 CD 丄 PD.所以/ PDA 是二面角 P CD A

9、 的平面角.所以 / PDA = 45 设 BC = 1,则在 Rt PAD 中，PA = AD = 2.过点 A 作 AH 丄 CE ,交 CE 的延长线于点 H，连接 PH.易知 PA 丄平面 ABCD ,从而PA丄 CE 且 PAnAH = A,于是 CE 丄平面 PAH.又 CE?平面 PCE , 所以平面 PCE 丄平面 RAH.过 A 作 AQ 丄 PH 于 Q ,贝 U AQ 丄平面 PCE.所以/ APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角.所以 AH =在 Rt FAH 中，PH =FA2+ AH2所以 sin/APH = AH = 3.方法二 由已知，CD 丄 PA, CD

10、 丄 AD , PAnAD = A,所以 CD 丄平面 PAD.于是 CD 丄 PD.从而/PDA 是二面角 P-CD A 的平面角.所以 / PDA = 45 由/ PAB= 90 且 PA 与 CD 所成的角为 90 可得 PA 丄平面 ABCD.设 BC = 1,则在 Rt PAD 中，PA = AD = 2.作 Ay 丄 AD，以 A 为原点，以 AD, AP 的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系，则 A(0,0,0), P(0,0,2), C(2,1,0), E(1,0,0).所以 PE = (1,0 , 2), EC = (1,1,0), AP =

11、(0,0,2).设平面 PCE 的法向量为 n = (x, y, z).n PE= 0,x 2z= 0,由T得设 x = 2,解得 n = (2, 2,1).n EC= 0.x+y= 0.设直线 PA 与平面 PCE 所成的角为a在 Rt AEH 中,/ AEH = 45 AE = 1 ,3*22|n AP|2_1|n| |AP| 2X22+ -22+1231PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 g则 sin a所以直线5.如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 丄平面 ABCD , PA 丄 PD, PA = PD, AB 丄 AD ,AB = 1, AD = 2, AC = CD

12、 = 5.(1)求证：PD 丄平面 PAB ;求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM /平面 PCD ?若存在，求 AAP 的值；若不存在，说明 理由.(1)证明平面 PAD 丄平面 ABCD，平面 PAD 门平面 ABCD = AD，又 AB 丄 AD ,AB?平面 ABCD , AB 丄平面 PAD./ PD?平面 FAD , AB 丄 PD,又 PA 丄 PD, PAnAB = A, PD 丄平面 PAB.解 取 AD 中点 O,连接 CO, PO. / PA = PD , PO 丄 AD.又PO?平面 PAD，平面 PAD 丄平面

13、ABCD , PO 丄平面 ABCD ,/ CO?平面 ABCD , PO 丄 CO,/ AC = CD, CO 丄 AD.以 O 为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知 P(0,0,1), B(1,1,0), D(0, 1,0) , C(2,0,0).则 PB = (1,1 , 1) , PD = (0 , 1, 1) , PC= (2,0 , 1).设 n = (xo, yo,1)为平面 PDC 的一个法向量.1,则存在 氏0,1使得 AM = 2AP，因此点 M(0,1 入?), BM = ( 1，人为./ BM?平面 PCD, BM /平面 PCD ,一T一11当且仅当 BM n = 0,即(一