36正弦定理和余弦定理

1、系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）36配套作业及资料请入群正弦定理和余弦定理（听课盘）知识梳理1正弦定理、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的径，则别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半1 好教育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）2在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，三角形解的情况3三角形中常用的面积公式1ah(h 表示边 a 上的高)(1)S21bcsinA1acsinB1absinC.(2)S2221r(abc)(r 为三角形的内切圆半径)(3)S24在ABC 中，常有的结论(1)ABC.(2) 在三角

2、形中大边对大角，大角对大边(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边2 好教育云平台系列四 相关讲解请入群诊断自测1概念思辨2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形() a abc(2)在ABC 中，.()sinAsinAsinBsinC(3)若 a，b，c 是ABC 的三边，当 b2c2a2>0 时，ABC 为锐角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 为直角三角形；当 b2c2a2<0 时，ABC 为钝角三角形()(4)在ABC 中，若 sinAsinB<cosAcosB，则此三角

3、形是钝角三角形()(1) (2)(3)(4)2衍化(1)(必修A5P10A 组T4)在ABC 中，a4，b5，c6，则sin2A .sinC 1由正弦定理得 sinAsinBsinCabc456，又由余弦定理知b2c2a22536163sin2A2sinAcosA43cosA4，所以sinC 2×6×41.2bcsinC2×5×6(2)(必修 A5P20A 组 T11)若锐角ABC 的面积为 10 3，且 AB5，AC8，则BC 等于71AB·ACsinA，所以 10 3 ×21因为ABC 的面积 S25×8sinA，解AB

4、C得 sinA 3，因为角 A 为锐角，所以 cosA1.根据余弦定理，得 BC252822221×5×8cosA52822×5×8×23小题热身49，所以 BC7.(1)(2016)A1B2A高考)在ABC 中，若 AB13，BC3，C120°，则 AC(C3D4在ABC 中，设 A，B，C 所对的别为 a，b，c，则由 c2a2b23 好教育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）æ1ö2abcosC，得139b 2×3b×ç2

5、47;，即 b 3b4022b1(负值舍去)，èø即 AC1.故选A.4(2)(2016卷)ABC 的内角 A，B，C 的对别为 a，b，c，若 cosA5，cosC 5 ，a1，则 b.1321133123541263由已知可得 sinA5，sinC13，则 sinBsin(AC)5×135×1365，631×6521 ab 再由正弦定理可得sinAsinBb13.35题型 1利用正、余弦定理解三角形(2018·郑州)在ABC 中，角 A，B，C 所对的别为 a，b，c，典例1 ba 若，则 cosB()sinA3cosBA1B.1

6、 3CD. 32222边角互化法B由正弦定理知 sinB sinA1，即 tanB 3，由 B(0，)，所以 BsinA3cosB13，所以 cosBcos32，故选 B.(2018·重庆期末)在ABC 中，已知 AB4 3，AC4，B30°，典例2则ABC 的面积是(A4 3)B8 34 好教育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群C4 3或 8（学霸网）配套作业及资料请入群D. 3（听课盘）3注意本题的多解性C在ABC 中，由余弦定理可得 AC242(4 3)2BC22×4 3BCcos30°，BC4 或 BC8.当 BC4 时，ACBC，

7、BA30°，ABC 为等腰三角形，C120°，ABC 的面积为1AB·BCsinB ×2114 3×4×24 3.2当 BC8 时，ABC 的面积为1AB·BCsinB114 3×8×28 3，故选 C.2×2方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1. 已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC 能够实现边角互化见典例 1.2. 已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解

8、三角形见典例 2.3. 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行见典例 2.冲关训练1(2017·河西五市联考)在ABC 中，角 A，B，C 的对别为 a，b，c，且满足(ba)sinA(bc)(sinBsinC)，则角 C 等于()A.B.C.D.236A43由题意， 得(b a)a (b c)(b c)， ab a2 b2 c2 ， cosC a2b2c212，C3，故选 A.2ab5 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）2(

9、2018·山东师大附中模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对别是 a，b，c，1已知 cos2Ac 3，sinA 6sinC.3，(1) 求 a 的值；(2) 若角 A 为锐角，求 b 的值及ABC 的面积 ac 解 (1)在ABC 中，c 3，sinA 6sinC，由正弦定理，得 a 6·csinAsinC6× 33 2.163，由 0<A< ，得 sinA2(2)由 cos2A12sin2Asin2A，则 cosA3得，231sin2A 33 .由余弦定理 a2b2c22bccosA， 化简，得 b22b150，b5(b3 舍去)11 65 2所

10、以 SABC2bcsinA2×5×3× .32题型 2利用正、余弦定理三角形的形状(2017·陕西模拟)设ABC 的内角 A，B，C 所对的别为 a，b，c，典例若 bcosCccosBasinA，则ABC 的形状为()A锐角三角形C钝角三角形B直角三角形D不确定用边角互化法BbcosCccosBasinA，由正弦定理得 sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即 sinAsin2A.又 sinA>0，sinA1，A2，故ABC 为直角三角形故选 B.条件探究 1将典例条件变为“若 2sinAcosBsinC”，那么A

11、BC 一定是()A直角三角形B等腰三角形6 好教育云平台系列四 相关讲解请入群C等腰直角三角形B2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群D等边三角形（听课盘）解法一：由已知得 2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB， 即sin(AB)0，因为<AB<，所以 AB.故选B.解法二：由正弦定理得 2acosBc，a2c2b2ca2b2ab.故选 B.由余弦定理得 2a·2ac条件探究 2将典例条件变为“若ABC 的三个内角满足sinAsinBsinC51113”，则ABC( A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形)D

12、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形C在ABC 中，sinAsinBsinC51113，abc51113，故设 a5k，b11k，c13k(k>0)，由余弦定理可得a2b2c225k2121k2169k2 23cosC110<0，2ab2×5×11k2æö又C(0，)，Cç2，÷，èøABC 为钝角三角形故选 C.条件探究 3将典例条件变为“若 bcosBccosCacosA”，试形状三角形的解由已知得a2c2b2a2b2c2b2c2a2b·c·a·，2ac2ab2bcb2

13、(a2c2b2)c2(a2b2c2)a2(b2c2a2)(a2c2b2)(b2a2c2)0.2或 C .a2c2b2 或 b2a2c2，即 B2ABC 为直角三角形7 好教育云平台系列四 相关讲解请入群方法技巧2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）判定三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系冲关训练在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求角 A 的大小；(2)若sinBsin

14、C 3，试ABC 的形状解 (1)由 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC 及正弦定理，得 2a2(2bc)b(2cb)c，b2c2a21即 bcb2c2a2，cosA2，2bc0°< A<180°，A60°.(2)ABC180°，BC180°60°120°.由sinBsinC 3，得sinBsin(120°B)sinBsin120°cos Bcos120°sin B 3.3，3 32sinB 2 cosB 3，即 sin(B30°) 1.0°<

15、 B<120°，30°< B30°<150°.B30°90°，即 B60°.ABC60°，ABC 为等边三角形.题型 3与三角形有关的最值8 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）角度 1与三角形边长有关的最值(2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对典例 3别为 a，b，c，且 abcosC csinB.3(1) 求 B；(2) 若 b2，求 ac 的最大值本题采用转化法解 (1)在ABC 中，ab

16、cosC 33 csinB， 3sinAsinBcosC sinCsinB，3sinAsin(BC)sinBcosC 33 sinCsinB， 3化为 cosBsinC sinCsinB，sinC0，3可得tanB 3，B(0，)，B.3(2)由正弦定理得 b 2R 4 ，sinB3令 yac2RsinA·2 RsinC163 sinAsinC16æ2ö8æö4 3 sinAsinç 3 A÷3sinç2A6÷3.èøèø0<A<，2A<0<

17、 3 2，6<A<2.2 5æöæ1ù故6<2A6< 6 ，sinç2A6÷ç2，1ú，èøèûæ8ùyç3，4ú.ac 的最大值为 4.è角度 2û与三角形内角有关的最值(2017·庄河市期末)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，典例设 f(x)a2x2(a2b2)x4c2.(1)若 f(1)0，且 BC3，求角 C 的大小；9 好教育云平台系列四 2019 一

18、轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）(2)若 f(2)0，求角 C 的取值范围本题采用重要不等式法解 (1)由 f(1)0，得 a2a2b24c20，b2c.又由正弦定理，得 sinB2sinC，æöBC3，sinç3C÷2sinC，èø 3整理得 3sinCcosC，tanC .3角 C 是三角形的内角，C.6(2)f(2)0，4a22a22b24c20，即 a2b22c20，a2b2c2a2b22ab1由余弦定理，得cosC4ab2(当且仅当ab 时取等号)2ab4abæö又余弦函数在

19、ç0，2÷上递减，C 是锐角，0<C3.èø方法技巧求与三角形中边角有的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可冲关训练xöæx2xöæ(2018·绵阳检测)已知向量 mç 3sin4，1÷，nçcos4，cos 4÷，记 f(x)m·n.èøèøæ2ö(1)若 f(x)1，求 cos

20、1; 3 x÷的值；èø(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对求函数 f(A)的取值范围别是 a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，xxcos2x解 (1)f(x)m·n 3sin4cos44 3x1x1æxö12 sin22cos22sinç26÷2.èø10 好教育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）æxö1因为 f(x)1，所以 sinç26÷2，èøæ&#

21、246;2æxö1cosçx3÷12sin ç26÷2，èøèøæ2öæö1cosç 3 x÷cosçx3÷2.èøèø(2)因为(2ac)cosBbcosC由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC， 所以 2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，所以 2sinAcosBsin(BC)，因为 ABC，所以sin(BC)sinA，且sinA0，123

22、，所以 0<A<所以 cosB2，B3 ， A 1æAö所以6<26<2，2<sinç26÷<1.èøæxö1又因为 f(x)m·nsinç26÷2，èøæAö1所以 f(A)sinç26÷2，èøæ3ö故函数 f(A)的取值范围是ç1，2÷.èø1(2017·山东高考)在ABC 中，角 A，B，C 的

23、对别为 a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足 sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是()Aa2bABb2aCA2BDB2A等式右边sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB，等式左边sinB2sinBcosC，sinB2sinBcosCsinAcosCsinB. 由cosC0，得sinA2sinB.11 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）根据正弦定理，得 a2b.故选 A.2(2018·南阳模拟)在ABC 中，内角 A

24、，B，C 的对别为 a，b，c.若 asinBcosCcsinBcosA1b，且 a>b，则 B.2 6由正弦定理，得 sinB(sinAcosCsinCcosA)1sinB，即 sinBsin(AC)21sinB，因为sinB0，所以sinB ，所以 B216或 6 ，又因为 a>b，故 B .5263(2018·沈阳模拟)在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对别为 a，b，c，且满足(ab)(sinAsinB)(cb)·sin C.若a 3，则b2c2 的取值范围是 5<b2c26由正弦定理，可得(ab)·( ab)(cb)·c，

25、即 b2c2a2bc，cosAb2c2a2æö1bc32，又 Aç0，2÷，A3.sinBsinC 2，2bcèøsin3b2c2 4(sin2B sin2C) 4sin2B sin2(A B)é1cos2B1cos2(AB)ùöæ4êú3sin2Bcos2B42sinç2B6÷4.22èøëûæöæ5öABC 是锐角三角形，且 A3，Bç6，2÷，即 2B

26、6ç6， 6 ÷，èøèøö1æ2<sinç2B6÷1，5<b c 6.22èø4(2017卷)ABC 的内角 A，B，C 的对别为 a，b，c.已知ABCa2的面积为3sinA.(1) 求sinBsinC；(2) 若 6cosBcosC1，a3，求ABC 的周长a211 a解(1)由题设得2acsinB3sinA，即2csinB3sinA. sinA 由正弦定理得1sinCsinB.23sinA故sinBsinC2.312 好教育云平台系列四 2019 一轮 数

27、学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）1(2)由题设及(1)得cosBcosCsinBsinC2，2即cos(BC)2，所以 BC1 3 ，故 A .3a21由题意得2bcsinA3sinA，a3，所以 bc8.由余弦定理得 b2c2bc9，即(bc)23bc9.由 bc8，得 bc33.故ABC 的333.13 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）重点两级优选练A 级一、选择题1(2017·长沙模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的别为 a，b，c.若 a13，b3，A60°，则边 c()A1

28、B2CC4D6a2c2b22cbcosA13c296ccos60°，即4 或 c1(舍去)故选 C.c23c40，c2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.若C120°，c 2a，则()Aa>b Ba<b CabDa 与 b 的大小关系不能确定A据题意由余弦定理可得 a2b22abcos120°c2( 2a)2，化简整理得a2b2ab，变形得 a2b2(ab)(ab)ab>0，故有 ab>0，即 a>b.故选 A.3(2017·湖南长郡中学六模)若ABC 的内角 A，B，C 所对的别为 a，b，ac，已

29、知 2bsin2AasinB，且 c2b，则b等于()A2B3AC. 2D. 3由 2bsin2AasinB，得 4bsinAcosAasinB，由正弦定理得 4sinBsinAcosA14，由余弦定理得 a2b24b2b2，sinAsinB，sinA0，且 sinB0，cosAaa24b2，b2.故选A.4(2017·衡水中学调研)在ABC 中，三边之比 abc234，则sinA2sinB sin2C()14 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）C2D.1A1B22B4916sinA2sinB1不妨设 a2，b3，c4，故

30、cosC 2×2×3 4，故sin2C a2b262ccosC1ö2，故选 B.æ8×ç4÷èø5在ABC 中，A，B，C 是三角形的三个内角，a，b，c 是三个内角对应的3三边，已知 b2c2a2bc.若sinBsinCABC 的形状()4，A等边三角形C钝角三角形AB不含 60°的等腰三角形D直角三角形b2c2a2，由已知，得 b2c2在ABC 中，由余弦定理，可得 cosA2bc1.a2bc，cosA20<A<，故 A.32ABC，A3，C 3 B.3æ2ö

31、3由sinBsinC4，得sinBsinç 3 B÷4.èøæ22ö3即sinBçsin 3 cosBcos 3 sinB÷4.èø 31322 sinBcosB2sin B4， 3134 sin2B4(1cos2B)4， 31æö2 sin2B2cos2B1，sinç2B6÷1.èø又<2B76< 6 ，62B62，即 B3.15 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘

32、）C3，也就是ABC 为等边三角形故选 A.6(2014·江西高考)在ABC 中，内角 A，B，C别是 a，b，c.若所对的c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是()B.9 3 2CC.3 3 2A3D3 3c2(ab)26，即 c2a2b22ab6.222C3，由余弦定理得 c a b ab，1absinC 316×3 3由和得 ab6，S2故选 C.2×，ABC227(2018·上海杨浦质量调研)设锐角ABC 的三内角 A，B，C 所对边的边长分别为 a，b，c，且 a1，B2A，则 b 的取值范围为()A( 2， 3)AB(1， 3)C( 2，

33、2)D(0,2) abb由，得 b2cosA.sinAsinBsin2A<AB3A<，从而 <A< .632又 2A<，所以 A<，24 23所以<A<， <cosA<，所以 2<b< 3.故选A.642218(2014卷)钝角三角形 ABC 的面积是2，AB1，BC2，则 AC()A5B. 5BC2D1111 2SABC2AB·BCsinB2×1× 2sinB2，sinB ，B45°或 135°.2若 B45°，则由余弦定理得 AC1，ABC 为直角三角形，不符

34、合题意，因此æ 2ö2222×ç÷B135°，由余弦定理得 AC AB BC 2AB·BCcosB122×1×2èø5，AC 5.故选 B.16 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）9(2018·辽宁五校第一次联考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的别是 a，b，c，若直线 bxycosAcosB0 与 axycosBcosA0 平行，则ABC 一定是()A锐角三角形C直角三角形CB等腰三角形D等腰或者直角三角形由两

35、直线平行可得 bcosBacosA0，由正弦定理可知 sinBcosBsinAcosA0，即1sin2A1sin2B，又 A、B(0，)，且 AB(0，)，所以 2A22.若 AB，则 ab，cosAcosB，此时两直2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2线重合，不符合题意，舍去，故 AB2，则ABC 是直角三角形，故选 C.10(2017·武昌调研)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对别为 a，b，c.若a2bsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是()A4B3 3CC8D6 3a2bsinCsinA2sinBsinCsin(BC)2sinBsinCtanBtanC2t

36、anBtanC，又根据三角形中的三角恒等式tanAtanBtanCtanAtanBtanC(注：tanA tanBtanC tan(BC)tan(BC)1，tanBtanC即tanAtanBtanCtanAtanBtanC)tanBtanC tanA，tanA2(t2)2m2 tanA4tanAtanBtanCtanA·(tanAm)，令 m2tt t ttanA2m2448，当且仅当 t t ，即 t2，tanA4 时，取等号故选 C.二、填空题11(2015·重庆高考)设ABC 的内角 A，B，C 的对别为 a，b，c，且 a12，cosC4，43sinA2sinB，则

37、 c.由3sinA2sinB 及正弦定理，得3a2b，所以b3a3.由余弦定理cosC217 好教育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）a2b2c22232c21，得4，c4.2ab2×2×312(2018·河北唐山一模)在ABC 中，角 A，B，C 的对边 a，b，c 成等差数列，且 AC90°，则 cosB.34a，b，c 成等差数列，2bac.2sinBsinAsinC.AC90°，2sinBsin(90°C)sinC.2sinBcosCsinC.2sinB 2sin(C45&

38、#176;) BABC180°且 AC90°，C45° 2 ，代入式中，2sinB 2æBösinç90°2÷.èøB2sinB 2cos2.BBB4sin2cos2 2cos2. 2sinB .24cosB12sin2B1 4413.213(2018·沈阳监测)已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对别为 a，b，c，面积为 S，且满足 4Sa2(bc)2，bc8，则 S 的最大值为81bcsinAa2b2c22bc.由题意得 4×2又 a2b2c22bccosA，代入上式

39、得 2bcsinA2bccosA2bc，æö即sinAcosA1， 2sinçA4÷1，èø又 0<A<，<A<534 ，A4 4 ，4411A2，S2bcsinA2bc，又 bc82 bc，18 好教育云平台系列四 相关讲解请入群2019 一轮 数学（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘）当且仅当 bc 时取“”，bc16，S 的最大值为 8.14(2017·浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.点 D 为 AB 延长线上一点，BD2，连接 CD，则BDC 的面积是，cosBDC. 15 2 1

40、0 4依题意作出图形，则sinDBCsinABC.由题意知 ABAC4，BCBD2，1 15 sinABC则cosABC4，.41BC·BD·sin DBC所以 S2BDC1 15 152×2×2×.42BD2BC2CD21因为 cosDBCcosABC42BD·BC8CD2，所以 CD 10.8由余弦定理，得 cosBDC 410410.42×2× 10B 级三、解答题15(2018·郑州质检)已知ABC 的外接圆直径为4 33 ，角分别为 a，b，c，C60°.A，B，C 所对的边19 好教

41、育云平台系列四 2019 一轮 数学相关讲解请入群（学霸网）配套作业及资料请入群（听课盘） abc(1)求的值；sinAsinBsinC(2)若 abab，求ABC 的面积 abc4 3解 (1)因为2R，sinAsinBsinC34 34 3所以 a4 3A，bsinB，csinC.3 sin334 3(sinAsinBsinC) abc34 3.所以sinAsinBsinC3sinAsinBsinC(2)由 c4 34 3 32，sinC，得 c×332c2a2b22abcosC，即 4a2b2ab(ab)23ab，又 abab，1absinC所以(ab)23ab40，ab4 或 ab1(舍去)，所以 S2ABC 31×4× 3.2216(2017四校联考)已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对别为 a，b，c，且满足 sin2AsinAsinB6sin2B0.a(1)求b的值；4，求sinB 的值解 (1)因为sin2AsinAsinB6sin2B0，sinB0，3(2)若cosCæsinAö2sinAsinAsinA所以çs