二次曲线的方程化简、作图及分类毕业论文

1、本科毕业论文本科毕业论文题目： 二次曲线的方程化简、作图及分类 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学 2007 级 5 班 姓名： 曹振佐 指导教师： 李秀兰 职 称： 教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日二次曲线的方程化简、作图及分类摘 要:本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷. 特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何

2、理论和代数理论自然地联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了. 关键词:坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换 目 录1 引言.12 预备知识.13 二次曲线的方程的化简.23.1 用坐标变换化简二次曲线.23.1.1 化简缺少项的二次曲线.2xy3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线.2xy3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线.3xy3.1.2 利用转轴化简含有项的二次曲线.3xy3.1.3 一般二次曲线方程的化简.43.1.3.1 中心曲线的化简.43.1.3.2 非中心二次曲线的化简.53.2

3、通过主直径, 主方向化简二次曲线.53.2.1 中心曲线的化简.63.2.2 无心曲线的化简.63.2.3 线心曲线的化简.73.3 用不变量、半不变量化简二次曲线.8 中心曲线的化简.83.3.2 无心曲线的化简.83.3.3 线心曲线的化简.93.4 正交变换化简二次曲线.93.5 合同变换法化简有心二次曲线.104 二次曲线的方程的作图.124.1 中心二次曲线的作图方法.124.2 无心二次曲线的作图方法.134.3 线心二次曲线的作图方法.155 二次曲线的方程分类.16二次曲线的分类.16参考文献.171 引言我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、

4、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类和作图.以及完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就321III，1K成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识.2 预备知识在平面直角坐标系上,由二元一次方程xyO 022233231322212211ayaxayaaxa) 1 (所表示的曲线,叫做二次曲线.我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简,最后对二次曲线进行分类和作图.为了方便起见,我们引进下面一些记号: ,3323132221221

5、1222),(ayaxayaxyaxayxF ,1312111),(ayaxayxF ,2322122),(ayaxayxF ,3323133),(ayaxayxF ,222122112),(yaxyaxayx这样我们容易验证,下面的恒等式成立 ,),(),(),(),(321yxFyxyFyxxFyxF式也就可以写成) 1 ( .),(),(),(),(321yxFyxyFyxxFyxF我们把的系数所排成的矩阵),(yxF332313232212131211aaaaaaaaaA叫做二次曲线的矩阵.）（ 1的系数所排成的矩阵），（yx22121211*aaaaA叫做的矩阵.），（yx显然二次曲

6、线的矩阵的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是) 1 (A的系数.),(),(),(321yxFyxFyxF下面我们引用加个符号 , , , .22111aaI221212112aaaaI3323132322121312113aaaaaaaaaI33232322331313111aaaaaaaaK这里的是矩阵的主对角元素的和,是矩阵的行列式,是矩阵的1I*A2I*A3IA行列式.3 二次曲线的方程的化简3.1 用坐标变换化简二次曲线 化简缺少项的二次曲线xy.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线xy方法 将坐标原点移至二次曲线的中心,的坐标由中心方程组),(00yx00, yx 给出. ,

7、 0, 0232212131211ayaxaayaxa)2(这样将变换公式 代入原方程,即可化简原二次曲线.,00yyyxxx例1 化简二次曲线方程.01162422yxyx解 二次曲线的系数矩阵 .101048181A因为 ,所以 此曲线是中心二次曲线. .0440012I由中心方程组得 )2(，084, 01yx解 .2, 100yx可得 变换公式 ，2, 1yyxx代入原方程, 整理得 .(椭圆)016422yx.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线xy例 2 化简二次曲线方程.010036409422yxyx解 将方程的左端配方,得: .036)2(9)5(422yx令 , 2,

8、5yyxx可得 变换公式 , 2, 5yyxx于是方程化为.(椭圆)0369422yx 利用转轴化简含有项的二次曲线xy方法 转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公式 给出.12221122cotaaa) 3(然后将变换公式 代入原方程.,cossin,sincosyxyyxx例3 化简二次曲线方程.080609241622yxyxyx解 这里.242 , 9,16122211aaa由得 ,) 3(247249162cot,257)247(12472cos2,542257122cos1sin,532257122cos1cos所以 转轴公式为 ),34(51

9、cossin),43(51sincosyxyxyyxyxx代入原方程,整理得.(抛物线)24xy 一般二次曲线方程的化简.1 中心曲线的化简方法 一般采用先移轴后转轴较为简便. 例4 化简二次曲线方程.0211010322yxyxyx解 因为 即此曲线为中心曲线.0541232312I先移轴,由中心方程组得 , 0523, 0523yxyx解得 . 2, 200yx故移轴公式为 , 2, 2yyxx代入原方程,整理得. 0132 2 yyxx)4(对方程进行转轴 .)4(1, 1,23, 133221211aaaa , 即 .031122cot122211aaa4故转轴公式为 代入方程),(2

10、2),(22 yxyyxx)4(整理得最简方程为 .(双曲线)0125212 2 yx.2 非中心二次曲线的化简方法 一般采用先转轴后移轴进行化简例5 化简二次曲线方程.0168222yyxyx解 因为 , 所以此曲线是非中心曲线. 01111112I先进行转轴 , 即 .02112cot4故转轴公式为 ),(22),(22yxyyxx代入原方程,得 . 016242422 yxy)5(对进行移轴( 实质配方),得:)5(.)23(22)2(2xy令 则变换公式为 ,23,2 xxyy,23,2 xxyy则原方程化简为 .(抛物线) 2 22xy3.2 通过主直径,主方向化简二次曲线方法 一坐

11、标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含项.xy 中心曲线的化简方法 取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的中心.例6 化简二次曲线方程.0122422yxyxyx解 因为 , , 2111I0312212I所以 此曲线是中心曲线.其特征方程为,0322因此两特征根为, .1132由, 分别对应的两个主方向为 ,.11321:1:11YX1:1:22YX由两主方向决定的主直径分别为和取二主直径为新坐标系轴, 02 yx0 yx得 ,2,22yxyyxx解得, 1)(22, 1)(22yxyyxx代入原方程,化简得 .(双曲线)132 2 yx 无心曲线的化简

12、方法 取它的唯一的一个主直径为轴,过顶点垂直于主直径的直线为轴建xy立坐标系(顶点为坐标原点)例7 化简二次曲线方程.0168222xyxyx解 这里.0, 4, 1, 1, 12313221211aaaaa因为 ,所以 此曲线是无心曲线.231322121211aaaaaa因为 .其特征方程为0, 221II,022因此两特征根为 .0, 221对应于的非渐近主方向为.211:1:11YX取主直径为 为新坐标系轴,主直径与曲线的交点即顶点为02 yxx)21,25(过顶点且以非渐近主方向为方向的直线方程为即11:YX)25(21xy. 03 yx则变换公式为 ,22,23yxyyxx解得 ,

13、21)(22,25)(22yxyyxx代入原方程,整理得 .(抛物线)2 22xy 线心曲线的化简方法 取它的中心直线为轴,任取垂直它的直线为轴,建立坐标系.xy例8 化简二次曲线方程.0322222yxyxyx解 因为 所以此曲线是线心曲线. ,231322121211aaaaaa唯一的主直径为 .01 yx取主直径为新系的轴,取任一垂直它的直线如为轴,这时变换公式为 x0 yxy,21,2yxyyxx解得,21)(22,21)(22yxyyxx代入原方程,得.(两条平行直线)22y3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线 中心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为02

14、32 22 1IIyx例9 化简二次曲线方程.0121252522yxyxyx解 特征方程为,288,24,10321III.024102因此两特征根为. 4, 621可知最简形式为 .024288462 2yx即 .(椭圆)1322 2 yx 无心曲线的化简方法 用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为.02132 1xIIyI例10 化简二次曲线方程.048222xyxyx解 因为 .016404011411, 01111, 2321III它的最简形式为 .0216222 xy即 .(抛物线)0222 xy 线心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为: 011

15、2 1IKyI例11 化简二次曲线方程.0322222yxyxyx解 这里 即此曲线是线心曲线.,231322121211aaaaaa.831113111, 211KI所以 它的最简形式为:.02822 y即 .(两条平行的直线)2y3.4 正交变换化简二次曲线方法 任意实二次型,AXXxxaxxxfTijiijnn1n1j21),(都可以用正交变换化为平方和.QYX 2222211nnyyyf这里是的全部特征根.), 2 , 1(niiA例12 化简二次曲线方程.024241222yxyxyx解 上式中所有二次项构成实二次型.它的系数矩阵.2212),(yxyxyxf1661A特征矩阵. )

16、5)(7(1661)(Af即 的特征根为 .A5, 721当时,的特征向量分别为单位化得5, 721A) 1 , 1(),1 , 1 (21. )21,21(),21,21(21以为列向量,作正交矩阵21,21212121Q正交变换为 ,2121,2121yxyyxx代入原方程,得 .08572 yyx配方得 .0516)45(572yx令,45, yyxx则坐标交换为,5222121,5222121 yxyyxx得标准方程为.(双曲线)516572 2 yx3.5 合同变换法化简有心二次曲线方法 对矩阵A作合同变换,即.333231232221131211321.000000cccccccc

17、cdddEA所作变换为 ,232221131211cycxcycycxcx这样式就化简成 ) 1 (0),(32221dydxdyxF例13 化简二次曲线方程.0211010322yxyxyx解 系数矩阵 .215551235231A 因为 ,451232312I所以 此曲线为中心曲线.10510031001555552500004242341555200152104225521333121001015222010012010010001001001001AE这样经变换, 2, 223yyyxx使原方程化为 .(双曲线)01452 2 yx检验 把变换, 2, 223yyyxx代入原方程,并整

18、理得 .01452 2 yx经检验,此方法对中心曲线是成立的.4 二次曲线的方程的作图4.1 中心二次曲线的作图方法对中心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为0),(:yxFC. 0232 22 1IIyx)6(其中是曲线的两特征根,且轴分别沿和对应的主方向.因此21,C, yx12轴关于原坐标系中轴的倾角满足. xx2212112111tanaaaaXY可见要从中心二次曲线的简化方程作出其图形,只需以过的中心C)6(C且与原坐标系中轴的倾角为直线作为轴,建立直角坐标系,然),(00yxOxxyxO 后在该坐标系下作出所表示的曲线即可.)6(例14 求二次曲线的简化方程,并作042226565

19、:22yxyxyxC出其图形.解 因为 不变量. 128,16,10321III所以解特征方程 .016102即得曲线的两特征根且由.C, 8, 221823II图 1 椭圆：142 2 yx得曲线的简化方程为 .08822 2 yx即 (椭圆)142 2 yx另外通过解中心方程组 , 0253, 02335yxyx可得曲线的中心 .)241,243(O过作与轴的倾角的直线 ,并以此作为轴建立Ox41arctan22 yxx直角坐标系,且在该坐标系下作出方程(椭圆)所表示的曲线,yxO 142 2 yx如图1所示.142 2 yxooxxyy4.2 无心二次曲线的作图方法对无心二次曲线,由于

20、同号,不妨设它们均非负.利用不0),(:CyxF2211,aa变量可将其简化方程为其中号可任选, 这里不妨取-号, 即简化方程为0121312 xIIIy 0121312 xIIIy)7(不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴(主直径),原点是曲线的xO顶点(主直径与曲线的交点).对任意点,若设其在旧、新坐标系的坐标为和P),(yx,则数与至多差一个正数倍,所以若主直径上某),(yx),(yxF0121312 xIIIy一点或的坐标使或则向量便指向)0 ,(xP（), 0(yP）0)0 ,(xF（0), 0(yF）PO轴的正向 因轴正向上的点使为负 , 否则,便指向x（x)0 ,(xP131

21、2 12xIIIy)轴的负向.可见要从简化方程画出无心二次曲线的图形,只需x)7(0),(:CyxF先求出曲线的主直径和顶点,并选取主直径上一点或若),(00yxO)0 ,(xP（), 0(yP）或,则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建0)0 ,(xF（0), 0(yF）OPOx立直角坐标系;若或则以作为原点,以向量yxO 0)0 ,(xF（0), 0(yF）O的正向作为轴正向建立直角坐标系,并在该坐标系下作出方程OP xyxO 所表示的曲线即可.)7(例15 求二次曲线的简化方程,并作出其图0256102:22yxyxyxC形.解 对所给二次曲线由于.0),(:yxFC2313221212

22、11aaaaaa所以 曲线是无心的.因为 曲线的不变量,6402321III，所以曲线的简化方程为 . 0242 xy)8(又曲线的主直径为,顶点为.取主直径上一点,由于01 yx) 1 , 2(O)0 , 1 (P,所以只需以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标0)0 , 1 (FOOP x系并在该坐标系下作出方程所表示的曲线即可,如图2所示.yxO )8(图 2 抛物线：2 24xyx2 24xyoyoxy4.3 线心二次曲线的作图方法对线心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为0),(:CyxF . （9）02112 IKy不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴 主直径 ,所以若

23、曲线的不x（）变量,则要作出曲线的图形,只需作出主直径即可;若,只需作出与主01K01K直径平行的二直线 即0131211ayaxa012211211131211aaIKayaxa可.例16 求二次曲线的简化方程,并作出其图形.03222:22yxyxyxC解 对所给二次曲线由于0),(:yxFC.231322121211aaaaaa所以曲线是线心的.因为二次曲线的不变量,又曲线的主直径为802321III，,所以只需在原坐标系下作出直线,即为要作的曲线的01 yx021 yx图形,如图3所示.图 3 两平行直线：021 yxx03 yx01 yxoy5 二次曲线的方程分类 二次曲线的分类通过

24、适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九中标准方程的一种形式:1(椭圆)；12222byax2(虚椭圆)；12222byax3(双曲线)；12222byax4(点或称两相交于实点的共轭虚直线)；02222byax5(两相交直线)；02222byax6(抛物线)；pxy227(两条平行直线)；22ay 8(两平行共轭虚直线)；22ay9(两重合直线)；02y 参考文献:1吕林根,许子道.解析几何M.第4版.北京:高等教育出版社,2006.2甘浪舟.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题J.安庆师范学院学报,2004,10(2):45-47.3吕林根.解析几何学习指导书M北京:高等教育出版社

25、,2006.J.广西师院学报(自然科学版),1997,14(2):76-81.5傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广J.湖北师范学院学报(自然科学版),2001,21(2):72-74.6苏婷.二次曲线方程化简J.陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249.7林梦雷.二次曲线方程的化简J.漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.8席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法J.许昌师专学报,2001,20(20):6 -13.9Wen K T.Ways for the simplification of the Binary Curve EquationJ.

26、Journal of Bijie Teachers College,1995,(2):66-71.10 Qu J,Xi F Y.The simplification of the Binary Curve Equation by Parameter FunctionsJ.High School Mathematics Teaching,1994,24-25. Second Curve Equation Reduction Mapping And ClassificationAbstract: In this paper, we give the conic simplified methods,