第二章边缘检测

1、u边缘检测与滤波器边缘检测与滤波器u多尺度滤波器与过零点定理多尺度滤波器与过零点定理u最优边缘检测滤波器最优边缘检测滤波器u补充：病态问题与正则化方法补充：病态问题与正则化方法边缘：边缘：图像中的边缘是像素灰度值发生剧烈变化而不连续的图像中的边缘是像素灰度值发生剧烈变化而不连续的结果。边缘检测是所有基于边界的图像分割方法的第一步。结果。边缘检测是所有基于边界的图像分割方法的第一步。边缘的重要性：边缘的重要性：边缘点包含了图像中的大多数信息边缘点包含了图像中的大多数信息在边缘点附近信号具有在边缘点附近信号具有频域的高频域的高频分量频分量，所有边缘检测方法在本，所有边缘检测方法在本质上都是检测信号

2、的高频质上都是检测信号的高频边缘检测的难点：区分信号的高边缘检测的难点：区分信号的高频和噪声频和噪声边缘检测边缘检测u边缘检测与滤波器边缘检测与滤波器u多尺度滤波器与过零点定理多尺度滤波器与过零点定理u最优边缘检测滤波器最优边缘检测滤波器u补充：病态问题与正则化方法补充：病态问题与正则化方法边缘是边缘是图像上灰度的不连续点图像上灰度的不连续点，或者是，或者是灰度变化剧烈处灰度变化剧烈处边缘的数学表达：边缘的数学表达：信号一阶微分信号一阶微分最大值最大值/ /两阶微分两阶微分过零过零点点（章毓晋（章毓晋 P78P78图图5.1.15.1.1）l但在实际算法实现但在实际算法实现上，检测过零点的算上

3、，检测过零点的算法比检测局部最大值法比检测局部最大值的算法简单的算法简单使用使用梯度梯度(gradient)(gradient)描述图像函数的变化，描述图像函数的变化，梯度方向是图像函数增长最大的方向梯度方向是图像函数增长最大的方向22222fffxy22|f |()()ffxyf,Tffxy 噪声对边缘检测的影响噪声对边缘检测的影响 实际信号都是有噪声的，按照一阶微实际信号都是有噪声的，按照一阶微分最大值或二阶微分过零点的方法检分最大值或二阶微分过零点的方法检测边缘，可能检测出测边缘，可能检测出噪声引起的假边噪声引起的假边缘缘（因为噪声一般是高频信号）（因为噪声一般是高频信号）解决方法解决方

4、法u先对原始图像先对原始图像f(x,y) f(x,y) 进行平滑滤波：进行平滑滤波：u再对滤波后的信号再对滤波后的信号g(x,y)g(x,y)求一阶或两求一阶或两阶微分阶微分( , )( , )* ( , )g x yf x yh x y*表 示 卷 积 运 算由于滤波运算与卷积运算次序可以互换由于滤波运算与卷积运算次序可以互换u所以可将图像先平滑、后微分的两步运算合并，直接求所以可将图像先平滑、后微分的两步运算合并，直接求 或或u 称为称为一阶微分滤波器一阶微分滤波器， 称为称为两阶微分滤波器两阶微分滤波器边缘检测的基本方法边缘检测的基本方法设计平滑滤波器设计平滑滤波器h h检测检测 的局部

5、的局部最大值最大值或或 的的过零点过零点( ( )* ( )( )( ) ()d f xh xdg xf s h xs dsdxdx( ) ()( )* ( )f s h xs dsf xh x hh hh* fh* fh平滑滤波器平滑滤波器h(x)h(x)应满足以下条件：应满足以下条件：当当|x|x|，h(x) 0, h(x)h(x) 0, h(x)为偶函数为偶函数 h(x)h(x)一阶及二阶可微一阶及二阶可微常用的平滑滤波器：常用的平滑滤波器：高斯函数（一维）高斯函数（一维） 22212xh xe 22232xxhxe 2222231(1)2xxhxe 1h x dx其中，其中， 为高斯函

6、数的方差，为高斯函数的方差， 越大，平滑效果越强，但越大，平滑效果越强，但 太大，噪声虽然被平滑了，太大，噪声虽然被平滑了，但信号的突变部分（即边但信号的突变部分（即边缘点处的信号）也被平滑缘点处的信号）也被平滑了。这点是边缘检测的困了。这点是边缘检测的困难难二维高斯平滑滤波器二维高斯平滑滤波器一阶微分滤波器一阶微分滤波器二阶微分滤波器（高斯二阶微分滤波器（高斯- -拉普拉斯算子）拉普拉斯算子）222221,2xyh x ye2222223,122yxh x yxeex2222222421,(2)2xyxyh x ye2222223,122xyh x yyeey0102030400102030

7、4000.0050.010.0150.02( , )( , )* ( , )g m nf m nh m n( , )( , ) (,)k lf k l h mk nl离散信号的一阶差分运算离散信号的一阶差分运算前向差分前向差分: h: h(1)(1)(n)=h(n+1)-h(n)(n)=h(n+1)-h(n)后向差分后向差分: h: h(1)(1)(n)=h(n)-h(n-1)(n)=h(n)-h(n-1)前后向平均差分前后向平均差分: h: h(1)(1)(n)=(h(n+1)-h(n-1)/2(n)=(h(n+1)-h(n-1)/2离散信号的二阶差分运算离散信号的二阶差分运算二阶差分是一阶

8、差分的差分，使用二阶差分是一阶差分的差分，使用前后向平均差分前后向平均差分h h(2)(2)(n)= (h(n+2)+h(n-2)-2h(n)/4(n)= (h(n+2)+h(n-2)-2h(n)/4离散卷积与差分同样可以交换运算顺序离散卷积与差分同样可以交换运算顺序(1)(1)( , )( , )*( , )gm nf m nhm n常用的平滑滤波器：高斯函数（一维）常用的平滑滤波器：高斯函数（一维）uc c称为称为归一化常数，归一化常数，与连续高斯函数不同与连续高斯函数不同u与连续平滑滤波器一样，为了与连续平滑滤波器一样，为了使使 ，以保证滤以保证滤波后不改变原信号的均值波后不改变原信号的

9、均值u连续的高斯函数连续的高斯函数h(x)h(x)，当，当lxllxl3 3时，时，h(x) h(x) 00；离散情况离散情况下，下，h(n)h(n)在一在一3 3 n n 3 3 内取样内取样u若整数若整数n n的取值范围为一的取值范围为一N N n n N N，则，则h(n)h(n)可用一个长可用一个长度为度为2N2N十十1 1的窗口表示的窗口表示一阶一阶/ /二阶差分滤波器：对高斯平滑滤波器求差分二阶差分滤波器：对高斯平滑滤波器求差分1hn 222nh nceRobertRobert算子算子121001,0110hhRobertRobert算子对图像滤波，可计算沿两个算子对图像滤波，可计

10、算沿两个45450 0方向的方向的一阶差分，该滤波器直接计算一阶差分，该滤波器直接计算原图像差分原图像差分，不包不包含平滑含平滑，故不能抑制噪声。，故不能抑制噪声。SobelSobel算子算子12121101000 ,202121101hh 12111101000,101111101hh 这两种滤波器不这两种滤波器不仅计算仅计算原图像差原图像差分分，也，也包含平滑包含平滑，故对抑制噪声效故对抑制噪声效果较好。果较好。拉普拉斯算子拉普拉斯算子010141010h22222fffxy因为拉普拉斯算子计算的是二阶导数，所以对图因为拉普拉斯算子计算的是二阶导数，所以对图像中的噪声相当敏感。另外他常产生

11、双像素宽的像中的噪声相当敏感。另外他常产生双像素宽的边缘（边缘（P80 P80 图图5.1.55.1.5），也不能提供边缘方向的信，也不能提供边缘方向的信息。由于以上原因，拉普拉斯算子很少直接用于息。由于以上原因，拉普拉斯算子很少直接用于检测边缘，而主要用于已知边缘像素后确定该像检测边缘，而主要用于已知边缘像素后确定该像素是在图像的暗区或明区一边。素是在图像的暗区或明区一边。Prewitt算子算子Roberts算子算子拉普拉斯算子拉普拉斯算子Soble算子算子i = imread(miss.bmp);i = imread(miss.bmp);i =i(:,:,1);i =i(:,:,1);fi

12、gure;figure;ro = edge(i,roberts);ro = edge(i,roberts);imshow(1-ro);imshow(1-ro);figure;figure;pre= edge(i,prewitt);pre= edge(i,prewitt);imshow(1-pre);imshow(1-pre);figure;figure;so = edge(i,sobel);so = edge(i,sobel);imshow(1-so);imshow(1-so);figure;figure;log = edge(i,log);log = edge(i,log);imshow(1

13、-log);imshow(1-log);matlabmatlab：edgeedge滤波器的尺度：滤波器的尺度：滤波器的滤波器的方差方差（如高斯滤波器的（如高斯滤波器的 ）u方差越大，检测到的边缘点越少，分辨率越低方差越大，检测到的边缘点越少，分辨率越低不同不同 的高斯函数的高斯函数不同不同 的高斯函数的频率特性的高斯函数的频率特性u高斯平滑滤波器为低通滤波器，但高斯平滑滤波器为低通滤波器，但 越大，频带越窄，对较高频率的越大，频带越窄，对较高频率的噪声有很大抑制作用，从而避免了假的边缘点的检出，但同时，信号的边噪声有很大抑制作用，从而避免了假的边缘点的检出，但同时，信号的边缘处也被平滑，使缘处

14、也被平滑，使某些边缘点检测不出来某些边缘点检测不出来将某一维信号用不同方差的将某一维信号用不同方差的两阶微分滤波器进行滤波，两阶微分滤波器进行滤波，并标出过零点的位置，则以并标出过零点的位置，则以下点的集合称为下点的集合称为过零点指纹过零点指纹图图或或零交叉图零交叉图零交叉图给出了零交叉图给出了 在不在不同尺度滤波器平滑后的过零同尺度滤波器平滑后的过零点位置，即不同尺度滤波器点位置，即不同尺度滤波器下的边缘位置下的边缘位置( ( ),)Z f x( ,):( ,)0,0 xg x零交叉指纹图零交叉指纹图( )fx过零点定理过零点定理u给定过零点指纹图给定过零点指纹图Z(f(x,), Z(f(x

15、,), ) )，f(x)f(x)可在相差一个常可在相差一个常数因子的意义下唯一确定数因子的意义下唯一确定u用用高斯二阶微分滤波器高斯二阶微分滤波器得到的过零点指纹图具有单调性：得到的过零点指纹图具有单调性：当当增大时，增大时，成对成对的零交的零交叉点交汇在一起消失，如图所示叉点交汇在一起消失，如图所示问题：问题：检测到的边缘会发生偏移检测到的边缘会发生偏移边缘偏移的原因边缘偏移的原因u相邻的边缘点会互相影响相邻的边缘点会互相影响u存在噪声存在噪声设图示信号为：设图示信号为： 为理想信号：为理想信号： 为观察信号：为观察信号：通过二阶微分滤波器对观察信号进行滤波通过二阶微分滤波器对观察信号进行滤

16、波00,( )0,Axxf xxx( )( )( )f xf xx( )( )* ( )( )* ( )( )* ( )( )( )hhg xf xh xf xh xxh xfxx( )f x( )f x理想边缘，零交叉始理想边缘，零交叉始终在终在x=x0处处其中，其中， 是均值是均值为为0、方差为、方差为 的的白噪声白噪声( )x2检测检测g(x)g(x)的过零点，设过零点为的过零点，设过零点为将将f fh h(x)(x)在在x=xx=x0 0处用泰勒级数展开：处用泰勒级数展开：f(x)f(x)为理想阶跃信号，有为理想阶跃信号，有: :代入，得到：代入，得到：零交叉点偏移量：零交叉点偏移量：

17、 过零点偏移量是过零点偏移量是均值为零均值为零的的随机变量，随机变量，其其方差方差与噪声信号与噪声信号的方差成正比，与二阶微分滤波器的方差成正比，与二阶微分滤波器 的均方差也成正比的均方差也成正比000()()()0hhg xfxx000000()()()()()hhhfxfxfxxxx00000()()()()0hhg xfxxxx00()( )* ( )|0hx xfxf xh x0000()()hhxxxfx 0 xh改进：改进：一种基于零交叉图求边缘的方法一种基于零交叉图求边缘的方法u用多尺度滤波得到零交叉图，在较大方差处检测所有过零用多尺度滤波得到零交叉图，在较大方差处检测所有过零点

18、，由此得到不包括噪声引起的过零点，但定位精度差点，由此得到不包括噪声引起的过零点，但定位精度差在指纹图中找寻边缘准确位置在指纹图中找寻边缘准确位置边缘检测：边缘检测：用一阶或二阶微分用一阶或二阶微分/ /差分滤波器对信号滤波并差分滤波器对信号滤波并检测局部最大值或过零点检测局部最大值或过零点不少研究者由一定的不少研究者由一定的边缘模型边缘模型及及噪声模型噪声模型出发，提出了最出发，提出了最优的边缘检测滤波器，他们都采用了最简单的优的边缘检测滤波器，他们都采用了最简单的阶跃边缘阶跃边缘与与可加性的白噪声可加性的白噪声模型。模型。00,( )0,Axxf xxx( )( )( )f xf xx2其

19、中，其中， 是均值为是均值为0、方差为、方差为 的白噪声的白噪声( ) x2假设u信号：信号：受白噪声影响的阶跃边缘受白噪声影响的阶跃边缘u滤波器：滤波器：有限脉冲响应滤波器有限脉冲响应滤波器CannyCanny最优化准则最优化准则检测标准（最大信噪比准则）：检测标准（最大信噪比准则）：要有好的检测结果，不要有好的检测结果，不丢失重要的边缘，不应有虚假的边缘丢失重要的边缘，不应有虚假的边缘(SNR)(SNR)定位标准（最优过零点准则）：定位标准（最优过零点准则）：实际边缘位置与检测到实际边缘位置与检测到的边缘位置间的偏差最小的边缘位置间的偏差最小(L)(L)单响应标准（多峰值响应准则）：单响应

20、标准（多峰值响应准则）：对实际上的同一边缘对实际上的同一边缘要有低的响应次数要有低的响应次数CannyCanny以一维形式为例，给出了三条准则的以一维形式为例，给出了三条准则的数学表达式数学表达式，将寻找最优滤波器的问题转换为泛函的约束优化问题将寻找最优滤波器的问题转换为泛函的约束优化问题针对一维信号和前两个最优化准则，可用变分法求得滤波针对一维信号和前两个最优化准则，可用变分法求得滤波器的完整解器的完整解加入第三个最优化准则，则需要通过数值优化方法得到最加入第三个最优化准则，则需要通过数值优化方法得到最优解优解最优的滤波器可有效近似为标准差为最优的滤波器可有效近似为标准差为 的高斯一阶微分滤

21、的高斯一阶微分滤波器，误差小于波器，误差小于2020对于二维情况，阶跃边缘由位置、对于二维情况，阶跃边缘由位置、方向、幅度确定，可以证明，将图方向、幅度确定，可以证明，将图像与一对称的二维高斯函数做卷积像与一对称的二维高斯函数做卷积再沿梯度方向微分，就构成了一个再沿梯度方向微分，就构成了一个简单而有效的滤波器简单而有效的滤波器双阈值技术双阈值技术边缘检测通过阈值化确定突出的边缘，对噪声引起的边缘检测通过阈值化确定突出的边缘，对噪声引起的单边缘虚假响应会造成边缘不连续，这是由于滤波结单边缘虚假响应会造成边缘不连续，这是由于滤波结果超出或低于阈值所致，这种问题可通过果超出或低于阈值所致，这种问题可

22、通过滞后阈值化滞后阈值化处理处理解决解决图像信号的响应大于高阈值，它一定是边缘图像信号的响应大于高阈值，它一定是边缘图像信号的响应小于低阈值，它一定不是边缘图像信号的响应小于低阈值，它一定不是边缘图像信号的响应在高低阈值之间，如果它与大于高图像信号的响应在高低阈值之间，如果它与大于高阈值的像素相连，它也可能是边缘阈值的像素相连，它也可能是边缘高、低阈值可根据对信噪比的估计确定高、低阈值可根据对信噪比的估计确定多尺度技术多尺度技术滤波器的尺度选择一直是边缘检测的一大难题滤波器的尺度选择一直是边缘检测的一大难题对于对于CannyCanny边缘检测，不同的尺度对应着不同方差的边缘检测，不同的尺度对应

23、着不同方差的GaussianGaussian操作操作特征综合方法特征综合方法用最小尺度的滤波器去检测边缘，并把边缘标记出来用最小尺度的滤波器去检测边缘，并把边缘标记出来把检测结果与高斯函数作用，估计下一个较大尺度的滤把检测结果与高斯函数作用，估计下一个较大尺度的滤波器检测该边缘的位置波器检测该边缘的位置用较大尺度滤波器与原图像卷积，如果在刚才预测的地用较大尺度滤波器与原图像卷积，如果在刚才预测的地方检测出边缘，那么只有当它的幅度远大于小尺度滤波方检测出边缘，那么只有当它的幅度远大于小尺度滤波器时才接受这个边缘器时才接受这个边缘* ( )gfh2222|()()xygggggxyarctan()

24、xygg参考资料参考资料“A Computational Approach to Edge Detection”, IEEE Trans. A Computational Approach to Edge Detection”, IEEE Trans. PAMI, Vol. PAMI-8, No. 6, 1986, pp:679698PAMI, Vol. PAMI-8, No. 6, 1986, pp:679698matlab：edge =2.5=2.5Roberts算子算子Log算子算子 =1=1边缘检测与滤波器边缘检测与滤波器获取图像一阶微分局部最大值获取图像一阶微分局部最大值/ /二阶微

25、分过零点二阶微分过零点边缘检测的难点在于区分真正的边缘和噪声，为了减弱噪边缘检测的难点在于区分真正的边缘和噪声，为了减弱噪声的影响，在对图像进行微分声的影响，在对图像进行微分/ /差分之前，使用平滑滤波差分之前，使用平滑滤波器处理原始图像器处理原始图像多尺度滤波器与过零点定理多尺度滤波器与过零点定理滤波器的尺度对于边缘检测的影响滤波器的尺度对于边缘检测的影响最优边缘检测滤波器最优边缘检测滤波器边缘检测是一个病态问题，必须增加一些条件，从而使它可边缘检测是一个病态问题，必须增加一些条件，从而使它可用正则化方法（用正则化方法（regularization methodregularization

26、method）求解。）求解。完善定义的问题完善定义的问题(well-posed problem)(well-posed problem)问题的解具有存在性与唯一性；问题的解具有存在性与唯一性；数据连续变化时，问题的解也连续变化，从而保证问题的解数据连续变化时，问题的解也连续变化，从而保证问题的解对噪声具有鲁棒性对噪声具有鲁棒性病态问题病态问题(ill-posed problem)(ill-posed problem)不符合上述条件的问题不符合上述条件的问题在计算机视觉中，绝大多数问题都是病态问题在计算机视觉中，绝大多数问题都是病态问题例：边缘检测中求信号的一阶例：边缘检测中求信号的一阶/ /高

27、阶微分，因为，当信号中加高阶微分，因为，当信号中加上即使幅度很小但频率很高的噪声时，解都会发生很大的变上即使幅度很小但频率很高的噪声时，解都会发生很大的变化。化。病态问题描述病态问题描述将观察信号记作将观察信号记作Y Y，理想信号记作，理想信号记作Z ZA A为某一变换算子，为某一变换算子，A A一般不可逆一般不可逆, ,理想信号理想信号Z Z为无噪声时的某物理信为无噪声时的某物理信号，例如空间某点的运动状态参数，或其三维几何形状参数，而号，例如空间某点的运动状态参数，或其三维几何形状参数，而Y Y指通过某观察设备观察到的与指通过某观察设备观察到的与Z Z有关的量。由于观察器不理想，有关的量。

28、由于观察器不理想，Y Y中也可能包含了噪声，也可能包含了系统误差，在边缘检测问题中中也可能包含了噪声，也可能包含了系统误差，在边缘检测问题中，Z Z可理解为无噪声下图像各点的理想灰度值，可理解为无噪声下图像各点的理想灰度值，Y Y为实际灰度值。为实际灰度值。在只有上式的条件下，由在只有上式的条件下，由Y Y求求Z Z就是病态问题。就是病态问题。YAZ稳定算子稳定算子P PlPZPZ描述了描述了Z Z在全部定义域范围内的总平滑程度，其值越小，在全部定义域范围内的总平滑程度，其值越小，Z Z越平滑越平滑用正则化方法求用正则化方法求Z Z的三种方法的三种方法（1 1）在约束）在约束|PZ|PZ|C

29、C的条件的条件(C(C为某一指定常数为某一指定常数) )下求下求Z Z，使，使|AZ-Y|AZ-Y|最小最小（2 2）在约束）在约束|AZ-Y| |AZ-Y| C C的条件下，求的条件下，求Z Z ，使，使|PZ|PZ|最小最小（3 3）求解）求解Z Z使使E E最小：最小：E=|AZ-Y|+E=|AZ-Y|+ |PZ|PZ|三种方法思想一致，算法不同。三种方法思想一致，算法不同。正则化方法求解的思想正则化方法求解的思想 求求Z Z，使，使|AZ-Y|AZ-Y|尽可能小尽可能小 Z Z为理想物理信号，与噪声比较它应是一个为理想物理信号，与噪声比较它应是一个变化相对缓慢变化相对缓慢的连续函数，应

30、的连续函数，应使稳定泛函使稳定泛函|PZ|PZ|也较小也较小2|()PZPZd问题描述问题描述Z(n)Z(n)为理想信号，为理想信号，Y(n)Y(n)为带有噪声的观察信号为带有噪声的观察信号正则化求解正则化求解定义泛函定义泛函问题转化：求问题转化：求Z(n)Z(n)使上式最小，这是典型的变分问题，求解结果使上式最小，这是典型的变分问题，求解结果 h(n)h(n)为为三次三次B B样条函数样条函数, ,上式表明，上式表明， Z(n) Z(n)的最优解为对观察信号用三次的最优解为对观察信号用三次B B样条函数样条函数滤波滤波所得的结果，也就是说，所得的结果，也就是说，消除噪声的最优平滑滤波器为三消

31、除噪声的最优平滑滤波器为三次次B B样条函数样条函数；由于三次；由于三次B B样条函数非常接近于高斯函数，故样条函数非常接近于高斯函数，故高斯函数高斯函数是是最常用的平滑滤波器。最常用的平滑滤波器。YAZ2(2)211( ( )( )( )NNnnEY nZ nZn( )( )* ( )Z nY nh n求出理想信号求出理想信号Z(n)Z(n)后，可由后，可由Z(n)Z(n)的一阶差分局部最大值或二阶的一阶差分局部最大值或二阶差分过零点得到边缘点差分过零点得到边缘点在三维计算机视觉中，除了常需要边缘点的信息外，还需要许在三维计算机视觉中，除了常需要边缘点的信息外，还需要许多由图像处理方法得到的信息，主要有：多由图像处理方法