数字信号处理第五章

1、第五章离散时间随机信号（Discrete-Time Random Signal）1主要内容：§5.1§5.2§5.3§5.4§5.5§5.6§5.7引言随量的描述离散随机过程时间平均相关序列和协方差序列的性质功率谱离散随机信号通过线性非移变系统2§5.1引言（Introduction）离散时间信号可分成两大类：离散时间确定信号和离散时间随机信号。§5.2随量的描述(The Discription of Random Variables)5.2.1概率分布函数单个随量x的概率分布函数定义为：它的取值不超过某

2、个特定值X的概率，即：Px ( 的概率3如果x是连续随¥量，x的概率密度函数定义为：p ( X )D ¶Px ( X )ò-¥P ( X ) =p ( X )dX 或xxx¶X如果x是离散随px (量，x的概率质量函数定义为：的概率概率质量函数与概率分布函数的关系为：Px ( X ) = å px ( X )x£ X5.2.2 均值随量x的均值(数学期望)定义为：¥m DExDå xp (x)òm DD或Exxp (x)dxxxxx-¥xÎX式中，X是x的离散值域，px (x

3、)是概率质量函数。mx表示随量x的统计平均或集合平均，简称均值。45.2.3均值的性质1、E x + y = E x+ E y2、E ax = aE x量x和y有：E xy = E xE y3、对于线性5.2.4 方差的两随量x的方差定义为：随ssDE(x - Ex) DE(x - m ) = Ex2 - m22222xx xx¥åxÎXò-¥Ex2 Dx2 p (x)dx其中或 Ex2 D称为随x2 p (x)x2量x的均。5§5.3离散随机过程(The Discrete Random Process)5.3.1离散随机过程的一个时

4、间序列xn(-¥ < n < ¥)多个随量5.3.2概率分布函数设xn和xm是离散随机过程xn(-¥ < n < ¥) 中在两个不同时刻n和m上的随量，定义概率分布函数如下：(Xn , n, Xm , m) =£ Xm Px的概率质量布函数定,xmnm如果 xn和 xm是离散随义为：量，(xn , xm )的(Xn , n, Xm , m) = Xm 的概率px,xmnm6如果一个随机过程在不同时刻的随量互不影响，则称诸随量是统计的。此时有：(Xn , n, Xm , m) = Px(Xn , n)Px(Xm , m)P

5、x,xnmnm5.3.3随机过程的数字特征(均值、方差和均)对于狭义平稳随机过程，其数字特征与时间n无关，即¥=对于所有的n，有： m¥ò-¥Ex2 =(x, n)dx = Ex2 x2 pnxn¥s 2(x, n)dx = s 22n以上公式均是与时间无关的常量。75.3.4自相关序列随机过程xn 的自相关序列定义为：X *R(n, m) Ep( X , n, X , m)dX dXxx nmxn ,xmnm-¥-¥式中，星号*表示复共轭。5.3.5互相关序列随机过程xn 和yn 的互相关序列定义为：¥-

6、5;¥òò-¥R (n, m)DEx y* Dxy* p(x, n, y, m)dxdyxy nm xn , ymxn与 ym式中，px , y(x, n, y, m) 是的概率密度函数。8nm5.3.6自协方差序列随机过程xn 的自协方差序列定义为：C(n, m)DE(x - m)(x- m)*xx nxnmxm5.3.7互协方差序列随机过程xn 和 yn 的互协方差序列定义为：C(n, m)DE(x - m)( y- m)*xy nxnmym5.3.8两随差有狭义平稳随机过程量的概率密度函数只与它们的时间时间与时间起点无关，自相关序列、自协方差9序列

7、以及互相关序列和互协方差序列只是时间差的函数而与时间起点无关。px(Xn , n) = px( Xm , m) = px ( X )nm(Xn , n, Xm , m) = px(Xn+k , n + k, Xm+k , m + k)px,x,xn+km+knm5.3.9广义平稳随机过程概率分布函数或概率密度函数是随时间变化的，概率密度函数也与时间起点有关，其均值是(与时间无关)，自相关序列只与时间差有与时间起点无关。简称为平稳随机过程或平稳过程。10§5.45.4.1时间平均(Time-mean)遍历性随机过程一个平稳随机过程，它的一个取样序列的时间平均等于它的集合平均。5.4.2

8、随机过程的时间平均随机过程 x(n)的一个取样序列的所有取样值的算术平均值。用< x(n) >表示，即：< x(n) >= D lim1Nåx(n)N ®¥ 2N +1 n=- N随机过程的时间取样自相关序列为：< x(n)x *(n + m) >= D lim1Nåx(n)x *(n + m)N ®¥ 2N +1 n=- N11对于遍历性随机过程，有：< x(n) >= D lim1Nåx(n) = Ex DmN ®¥ 2N +1nxn=- N< x

9、(n)x *(n + m) >= D lim1Nån=- Nx(n)x *(n + m) = Ex x* = R(m)nn+mxxN ®¥ 2N +1§5.5相关序列和协方差序列的性质(The Properties of Correlation Sequence and Covariance Sequence)设 xn 和 yn 是两个实平稳随机过程，它们的自相关序列、自协方差序列、互相关序列、互协方差序列为：Rxx (m) = Exn xn+m Rxy (m) = Exn yn+m Cxx (m) = E(xn - mx )(xn+m - mx

10、)Cxy (m) = E(xn - mx )( yn+m - my )12性质1：C(m) = R2xxCxy (m) = Rxy (m) - mxmy= 0和my(m) Cxy (m) = Rxy (m)= 0时：C当mx证明：Cxx (m) = E(xn - mx )(xn+m - mx )= Exn xn+m= RR- mx xnm2- mx xn+m+ mxmx )+ mxmx1322 性质2：C证明：性质3： RRnRxx (m) = Exn xn+m R (0) = Ex2 xxn(-m)(-m)CRxy (m) = Ryx (-m)Cxy (m) = Cyx (-m) n + m

11、 = n'E éxùR (m) = Ex xx证明：ë n' -mûnn+m n'xx= E éëxn' xn' -m ùû = Rxx (-m)= n + mE éëxùû n'yR(m) = Ex y''n -mnnn+mxy= E éë yn' xn' -m ùû = Ryx (-m)141/ 2(0)Ryy (0)1/ 2(0)Cyy (0)RC性质

12、4：特列： 证明：C(0)R(0)因为xn 和yn 都是实随机过程，所以下列不等式成立：éE ê(ù2xnyn+m) ú ³ 0±êúEx2 E y2ëûn+mn将上式左端展开，得：éE ê(ù2éù2xnyn+mxnyn+m±) ú = E ê(±ú)êúêúRxx (0)Ryy (0)Ex2 E y2ëûëûn+m

13、n15éùx2y2x y= E ên+n+m± 2nn+múRxx (0) ×Ryy (0) úûêë Rxx (0)Ryy (0)Ex2 E y2Ex y= n+n+m± 2nn+mRxx (0)Ryy (0)Rxx (0) ×Ryy (0)Rxy (m)= Rxx (0) + Ryy (0) ± 2Rxx (0)Ryy (0)Rxy (m)Rxx (0) ×Ryy (0)= 2 ± 2³ 0Rxx (0) × Ryy (0

14、)所以：| Rxy (m) |£Rxx (0) × Ryy (0)xn = yn令，上式可以简化成：| Rx (0)16= xn-n性质5：若 yn，则有：0Ryy (m) = Rxx (m)Cyy (m) = Cxx (m)Ryy (m) = E yn yn+m 证明：= Exn-n = Rxx (m)xn+m-n00性质6：在随机过程中，两随机过程的时间间隔越大，它们的相关性越小。lim Cxx (m) = 0lim Cxy (m) = 0m®¥m®¥lim Rxy (m) = mxmy2lim Rm®¥m&#

15、174;¥17自相关序列、自协方差序列与均值、均、方差的关系：Cxx (m)Rxx (m)s 2x0m0m18已知随机信号 x(n) = cos(w0n +j) ,其中，角频率w0例5.5.1，是是j 在区间(0, 2p ) 均匀分布的随量。求x(n)的均值和自相关序列，并判别 x(n)是否广义平稳随机过程。解：x(n)的均值为：2pòx(n) × pj (j)djE x(n) =01p2òw n) cos(j) + sin(w n) sin(j) dj=cos(p002012p2pò0cos(w n + j)dj=01épp

16、9;2020w n) sin(j)w n) co s(j)=-sin(= 0cos(2p ëû00ì1, 0 £ w £ 2p0, others(j) = ï 2p其中：píïîj19x(n) 的自相关序列为：2pòx(n)x(n + m) × pj (j)dj(n, n + m) = E x(n)x(n + m) =Rxx012p2pò0cos(w n + j) cosw (n + m) + jdj=0011 cos(w m) + cos(2w n + w m + j)dj

17、2p2p ò02=000= 1 cos(w m)02随机信号x(n)的均值为，自相关序列只与时间差有关，所以 x(n)为广义平稳随机过程。20§5.6功率谱(Power Spectrum)5.6.1平稳随机过程的功率谱协方差序列的Z变换称为平稳随机过程的功率谱。即：+¥(m)z-mSxm=-¥对于零均值随机信号xn ，则有：+¥(m)z-mSxm=-¥对于一个实平稳随机过程，Rxx (m)的Fourier变换总是存在的，即：+¥jw(m)e- jwmSxm=-¥21上式的逆变换为：11pm-1x (z)zdz 和j

18、wjmwx (e)edwRR1pjwx (e)dw由上式可得到：R1p即：Ex2 =2p ò-pS(e jw )dwnxx功率谱在一个周期内的平均值就是随机过程的平均功率。5.6.2功率谱的性质jw1.实平稳随机过程的功率谱是非负的，即：Sxx (e) ³ 0jw*(e jw )x2.实平稳随机过程的功率谱是实函数，即：S式中，*号表示复共轭。22*- jwm ù饥Sxx (e) = ê å R(m)e= å R (m)e证明：jwjwm*úëm=-¥ûm=-&

19、#165;¥-¥= å R(m)e jwm l = -må R(-l)e- jwlm=-¥l =¥¥= å R(l)e- jwl = S(e jw )xxl =-¥3. 实平稳随机过程的功率谱是w 的偶函数，即：Sjw(e- jw )x¥¥å R(m)e jwm= å R(-m)e jwm证明：S(e- jw ) =xxm=-¥m=-¥-¥l = -må R(l)e- jwll =¥¥= å R(

20、l)e- jwl = Sl =-¥(e jw )xx235.6.3平稳随机过程的互功率谱两个平稳随机过程xn 和yn 的互功率谱定义为：+¥S(z) = å R(m)zmxyxym=-¥或者+¥S(e jw ) = å R(m)e- jwmxyxym=-¥由以上可得出：S(e jw ) = S*(e- jw )xyyx24例5.6.1相位为平稳随机的正弦序列仍然是一个平稳A2随机过程，它的自相关序列为：Rxx (m) =cos(w0m) ，2式中，A 是正弦序列的增幅， w0 是正弦序列的角频率。求该正弦序列的功率谱。解：该

21、正弦序列的功率谱为：+¥A2åjwcos(w0m)e- jwmSxx (e) =2m=-¥e jw0m+ e- jw0mA2+¥å× e- jwm=2A22-w )mm=-¥+¥åj (w- j (w +w )m ùé=+ eëe00û4m=-¥= pA2 d (w - w ) + d (w + w )00225例5.6.2设平稳随机的自相关序列为：R，(m) = a|m|,| a |<1xx求该随机过程的功率谱。解：随机过程的功率谱为：+¥

22、;+¥åå a|m|e- jwmjw(m)e- jwm=Sxm=-¥m=-¥+¥0å a|m|e- jwm + åa|m|e- jwm=-1m=-¥m=0+¥+¥= åamejwm + åame- jwm-1m=0 11- ae jwm=101- ae- jw=+-11- a2=1- 2a cosw + a2上面求得的功率谱都是实的、非负的偶函数。26§5.7离散随机信号通过线性非移变系统(The Discrete Random Signal throug

23、h the Linear Shift-invariant System)5.7.1随机信号通过线性非移变系统+¥+¥y(n) = å h(k)x(n - k) = å h(n - k)x(k)k =-¥k =-¥其中离散随机信号x(n)是一个平稳随机过程的一个取样序列，h(n) 为线性非移变系统的取样响应。275.7.2输出随机过程的均值系统的输出响应y(n) 是输出随机过程yn 的一个取样序列，根据遍历性假设，由 y(n)求出yn 的均值为：my = E y(n) = E å h(k)x(n - k) = å h

24、(k)Ex(n - k)+¥+¥k =-¥k =-¥由于 Ex(n - k) = mx+¥å故：m= mh(k) = m H (e)j 0yxxk =-¥+¥H (e jw ) = å h(k)e- jwk k =-¥注：285.7.3输出随机过程的自相关序列 Ryy (n, n + m)Ryy (n, n + m) = E y(n) y(n + m)éh(r)x(n + m - r)ù+¥+¥h(k)x(n - k) åå= E

25、34;úëk =-¥ûr =-¥+¥+¥= å h(k) å h(r)E x(n - k)x(n + m - r)k =-¥r =-¥+¥+¥= å h(k) å h(r)Rxx (m - r + k)k =-¥r =-¥+¥+¥Ryy (m) = å h(k) å h(r)Rxx (m - r + k)k =-¥r =-¥29输出随机过程的均值为，其自相关序列只与时

26、间r - k = l差有关，所以它是一个平稳随机过程。令上式可以写成：+¥+¥+¥Ryy (m) = å Rx (m - l)Rhh (l)l =-¥k =-¥l =-¥= Rxx (m) * Rhh (m) = Rxx (m) * h(m) *h(-m)+¥式中：Rhh (l) = å h(k)h(l + k) = h(l) * h(-l)k =-¥冲激响应的自相关序列（确定信号）。是系统305.7.4输出随机过程的功率谱Syy (z)，因此输出随机过程的= 0假设输入随机过程的均值 mx均值

27、亦为零。则有：Syy (z) = Sxx (z)Shh (z)设 h(n)是实序列，则有：¥S(z) = å R(m)z-m= H (z)H (z-1)hhhhm=-¥如果h(n) 是复序列，则： Syy (z) = Sxx (z)H (z)H (1/ z )*所以： Shh (z) = H (z)H (1/ z )*，31(m) = h(m) * h*(-m) ，其中h*(-m)注：当 h(n)是复序列时，Rhh¥-¥ZT éëh*(-m)ùû = å h*(-m)z-m n = -m

28、9;h*(n)zn的Z变换为：m=-¥n=¥ù*úûù*úûé饥11=å h(n)(z*)n=å h(n)()-n= H *()êën=-¥êën=-¥z*z*在 h(n)为实序列的情况下，有：-1Syy (z) = Sxx (z)H (z)H (z)如果系统是稳定的，那么的收敛域包括jwjwjw2Syy (e) = Sxx (e) H (e)圆，所以：32注：当h(n)是实序列时，H (e-

29、 jw ) = H *(e jw )。即：输出随机过程的功率谱等于输入随机过程的功率谱 频率特性幅度平方的乘积。5.7.5输入输出随机过程的互相关序列Rxy (m)¥Rxy (m) = Ex(n) y(n + m) = Ex(n) å h(k)x(n + m - k)= å h(k)Ex(n)x(n + m - k)k =-¥k =-¥¥¥= å h(k)Rk =-¥即：Rxy (m) = Rxx (m) * h(m)x (m) * h(m)33系统冲激响应的自相关序列Rhh (m)为：Rhh (m) =

30、 h(m) * h(-m) = å h(l)h(m + l)¥l =-¥所以：Ryy (m) = Ry (m) * h(-m)上式说明，输出随机过程的自相关序列，可以通过输入与输出间的互相关序列冲激响应进行相关计算来得到(注意：h(m) 与h(-m) 进行线性卷积等效于与进行相关运算)。34如果输入是一个零均值的平稳白噪声随机过程，其方差为s，自相关序列是 R2d (m)，功率谱为，2x2根据Rxy (m) = Rxx (m) * h(m) 有：(m) = s h(m)2Rxyx对上式进行Z变换得： S(z) = s H (z)2xyx如果已知系统输入和输出之间的互相关序列和互功率谱，可以由上式求出系统的冲激响应或系统函数：11H (e jw ) =S(e jw )H (z) =或S(z)ssxyxy2x2x355.7.6输出随机过程的方差输出随机过程的均：12p j òc(z)z-1dzE y2 (n) = R(0