《电磁场与电磁波》第10讲

1、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波11第三章第三章 静态电磁场及其边值问题（静态电磁场及其边值问题（3） 3.5 镜像法镜像法教师姓名：教师姓名： 宗福建宗福建单位：单位： 山东大学微电子学院山东大学微电子学院2018年年4月月19日日第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波2 本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 3.7 有限差分法有限差分法 静态电磁场：静态电磁场：场

2、量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波33.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像3.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像3.5.3 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像3.5.4 介质平面的镜像介质平面的镜像 3.5 镜像法镜像法第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波4 当有电荷存在于导体或介质表面附

3、近时，导体和介质表面会当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。布。非均匀感应电荷产生的电位很难求非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出问题的提出几个实例几个实例接地导体板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所示。示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷 3.5 镜像法镜像法第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波5 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点

4、电荷，如图。非均匀感应电荷产生的非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代等效电荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波62. 镜像法的原

5、理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只

6、要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3. 镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波7 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” ” ；4. 镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5. 确定镜像

7、电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波8 电像法概念、适用情况电像法概念、适用情况电像法：电像法：用假想点电荷来等效地用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭点电荷和等效点电荷迭加给出空间

8、电势分布。加给出空间电势分布。适用情况：适用情况： a) 所求区域有少许几个点电荷，所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。用假想点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。有一定对称性。 c) 给定边界条件给定边界条件注意注意：a a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、点电荷位置、Q Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。所求区域之外。b b）不能改变原有边界条件（实际是通过边

9、界条件来确定假）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。想电荷的大小和位置）。c c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。d d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。）坐标系选择仍然根据边界形状来定。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波91. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电

10、位函数电位函数因因z = 0时，时，q qhhq 有效区域有效区域RR q qh第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波10上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q qh22222211( , , )4()()qx y zxyz hxyz h(0)z 2223 202 ()Szqhzxyh 2223 2d dd2()inSSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波113. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无

11、限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。1231111()4qRRRR 对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满

12、足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波12 例例3.5.1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？。移至无穷远处，需要做多少功？。qqx = 0d-d 解解：移动电荷：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷移至无穷远时电场力所做的功。远时电场力所做的功。20( )4(2 )xq

13、xxEe222001( ) dd4(2 )16eddqqWqE xxxxd 2016oeqWWd 由镜像法，感应电荷的电场可以由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷用像电荷qq 替代。当电荷替代。当电荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷q应位于应位于x，则有，则有第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波133.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像思考题1：无限大导体上部有一个电偶极矩为P的电偶极子。求电势、电场分布。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波143.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁

14、波153.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波163.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像思考题2：无限大导体的边角处有点电荷。求电势、电场分布。n12n像电荷数像电荷数第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波173.5.1 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像思考题3：无限大平行导体板内有点电荷。求电势、电场分布。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波18山东大学物理学院 宗福建182.3 电像法思考题3：无限大平行导体板内有点电荷。求电势、电场分布。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波19

15、2 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像2,0;0,0lx zhzz 镜像线电荷：镜像线电荷：ln(0)2lRzR满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题hhl 有效区域有效区域RR l当当z=0时，时，RR0,llhh 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波203.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷

16、不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 01()4qqRR ?dq 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为d 。方法：利用导体球面上电位为零确定方法：利用导体球面上电位为零确定 和和q。d 问题：问题： PqarRdqPaqrRRdd第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波21 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得=0qqRR =RqRq 常常数数此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。oqPoPq =RdaqRadq 常常数数2add a

17、qqd 条件：若条件：若像电荷的位置像电荷的位置像电荷的电量像电荷的电量1ad qq qPaqaRRdd第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波223.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像对A点：r=a-R0,r=R0-b对B点： r=a+R0,r=R0+b0000RbRbrQraRaRQ 常数200RbaRQQa 0000()()()()Rb aRaRRb=rqrq 常常数数第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波233.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像2222000001( )()042cos2cosQQPaRR abRR b第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波243.5.2 导体球面的镜像导

18、体球面的镜像2222000001( )()042cos2cosQQPaRR abRR b222200002cos2cosQQaRR abRR b 222200002cos2cosQ bRR bQaRR a 2222220000(2cos ) (2cos )Q bRR bQaRR a第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波253.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像200RbaRQQa 2222220000(2cos ) (2cos )Q bRR bQaRR a2222220022() ()Q bRQaRQ bQa()baQQ 不合理，舍去。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波263.5.2 导体球

19、面的镜像导体球面的镜像由Q和镜像电荷Q 激发的总电场能够满足在导体面上= 0 的边界条件。因此是空间中电场的正确解答。球外任一点P的电势为，式中r为由Q到P点的距离，r 为由Q到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，为OP与OQ的夹角。 0002222014/142cos2cosR QQrarR Q aQRaRaRbRb第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波273.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像0002222014/142cos2cosR QQrarR Q aQRaRaRbRb第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波283.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像由高斯定理，收敛于球面上的电通量为

20、 Q ，因此，Q等于球面上的总感应电荷，它是由于受电荷Q 的电场吸引而从接地处传至导体球上的。由|Q|Q，由Q发出的电场线只有一部分收敛于球面上，剩下的部分伸展至无穷远，电场如右图所示。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波293.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像如上例，但导体球不接地也不带电荷，求球外电势。解解 这里给处的条件是导体球上的总电荷为零。这条件包括（1）球面为等势面（电势待定）；（2）从球面发出的总电通量为零 。 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波303.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像由上例可知，若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q ，其位置和大小如前，则球面上电势

21、为零。若在球心再放一个假想电荷Q ，则导体球所带总电荷为零 ，同时球面仍为等势面，其电势为 Q/40 R0 。因此，条件（1）和（2）都被满足。球外任一点P的电势为 000/14R Q aR Q aQrrR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波313.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像000/14R Q aR Q aQrrR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波323.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像如上例，但导体球不接地而带电荷 Q0 ，求球外电势，并求电荷Q所受的力。解解 这里给处的条件是导体上的总电荷。这条件包括（1）球面为等势面（电势待定）；（2）从球面发出的总电通量为 Q 0 。

22、第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波333.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像由上例可知，若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q ，其位置和大小如前，则球面上电势为零。若在球心再放一个假想电荷Q 0 Q ，则导体球所带总电荷为Q 0 ，同时球面仍为等势面，其电势为:（Q 0Q）/40 R0 。因此，条件（1）和（2）都被满足。球外任一点P的电势为 0000/14R Q aQR Q aQrrR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波343.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像0000/14R Q aQR Q aQrrR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波353.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像

23、因为空间中的电场相当于点电荷Q、镜像电荷Q 和球心处的电荷Q0 Q 所激发的电场，因此电荷Q所受的力等于Q 和球心处的电荷Q0Q 对它的作用力F，式中第二项是吸引力，而且当 a R0 时这项的数值大于第一项。由此可见，即使Q与Q 0 同号，只要Q距球面足够近，它就可能受到导体的吸引力。这是由于感应作用，虽然整个导体的总电荷是正的，但在靠近Q的球面部分可能出现负电荷。 23220000022232220()(2)4()()Q QQQQQ RaRQQFaabaa aR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波362222221()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad22223

24、2()4(2cos )Sr aq dara adad2222223 200()sin d dd4(2cos )inSSq daaaqSqaadadd 可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波37点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像,aqqd 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，

25、点电荷荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）无关（为什么？）aqdobqrRRaqdod第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波38球壳内的电位球壳内的电位22223 2()4(2cos )Sr aq adra adad 2222223 200()sin d dd4(2cos )inSSq adaqSqaadad 感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面

26、的内表面上上的总感应电荷为导体球面的内表面上上的总感应电荷为可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 22222201()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波392 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电的感应电荷分布，则荷分布，则 2,aaqq ddd 导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面导体球面是电位不为零的

27、等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零电荷为零采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。PqarRd第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波400aqqqda ， 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位可用一个位于球心的镜像电荷于球心的镜像

28、电荷q来替代，即来替代，即01()4qqqRRr 球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddq第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波413.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像思考题：求空心导体球内的势，aR0.第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波423.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像思考题：求空心导体球内的势，aR0.第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波433.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像思考题：求空心导体球内的势，aR0.第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波443.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像思考题：求空心导体球内的势，aR0.第3章 电磁场与电磁波电磁场与

29、电磁波453.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像思考题：在接地的导体平面上有一半球凸部，半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，试用电像法求空间电势 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波463.5.2 导体球面的镜像导体球面的镜像思考题：在接地的导体平面上有一半球凸部，半球的球心在导体平面上，点电荷Q位于系统的对称轴上，试用电像法求空间电势 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波47思考题第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波48思考题第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波49思考题试证明：一对正负电荷组成的电荷系统，只要不是等量正负电荷，则必然存在一个球形等势能面，并给出该势能面的位

30、置及半径。第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波503.5.3 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。l图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱lxoa0d图图2 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱的镜像的镜像ald( , )P xo0ld特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共

31、同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波51222211lnln222cos2cosllCdddd222211lnln0222cos2cosllCa adadadad由于上式对任意的由于上式对任意的都成立，因此，将上式对都成立，因此，将上式对求导，可以得到求导，可以得到2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad a由于导体圆柱

32、接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数ldll2lladd 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波52导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：2242222cosln22cosldadaCddd由由 时，时，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为2222()2(2cos )lSadaa adad 导体圆柱面上单位长

33、度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为222220()dd22coslinSlSdaaSaadad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。ln2ldCa第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波532. 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴图图1 1 两平行圆柱导体两平行圆柱导体hahall图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴lblhhbaa特点：由于两圆柱带电导体的电场互特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背匀，

34、相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。的一侧电荷密度较小。分析方法：将导体表面上的电荷用线分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为密度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两根的两根无限长带电细线来等效替代，如图无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。所示。l问题：如图问题：如图1所示，两平行导体圆柱的所示，两平行导体圆柱的半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单位长度分别带电荷位长度分别带电荷 和和 。ll第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波54图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴lblhhbaa 通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电

35、轴，因而通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。这种方法又称为电轴法。2add 由由2()()hb hba22bha 利用线电荷与接地导体圆柱面利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定的镜像确定b 。思考思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波55两长直平行带电圆柱导体两长直平行带电圆柱导体(不同半径不同半径)外部的电场：外部的电场：电轴法：将圆柱导体撤去，代之以电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线两带电细线(等效电轴等效电轴) 。 rrPln2 a12 +b2 =h

36、12a22 +b2 =h22设圆柱导体的半径为设圆柱导体的半径为a1 a2 ，两圆心离，两圆心离y轴为轴为h1 h2 ，两等效电轴的距离为，两等效电轴的距离为2b注意确定注意确定等效电轴等效电轴的位置。的位置。 若取若取y轴电位为轴电位为0，则圆柱导体则圆柱导体外外任一点任一点P的电位为的电位为: D= h1+ h2xy- + 0a1a2h1h2Dbb- + 第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波56xy- + 0a1a2h2h1偏心电缆夹层的电场：偏心电缆夹层的电场：电轴法：将圆柱导体撤去，代之以电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线两带电细线(等效电轴等效电轴) 。 rrPln2 a12

37、+b2 =h12a22 +b2 =h22- + b若取若取y轴电位为轴电位为0，则偏心电缆夹层任一点则偏心电缆夹层任一点P的电位为的电位为: b设圆柱导体的半径为设圆柱导体的半径为a1 a2 ，两圆心离，两圆心离y轴为轴为h1 h2 ，两等效电轴的距离为，两等效电轴的距离为2b注意确定注意确定等效电轴等效电轴的位置。的位置。 DD= h2- h1第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波573.5.4 点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像 图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面zx12qh特点：特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质

38、产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。图图2 2 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷Pqhh11xzqRR问题：问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质大平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q，距分界平面为距分界平面为h 。12分析方法：分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用位于介质位于介质 2 中的镜像电荷

39、来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。1第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波58介质介质1中的电位为中的电位为122222211( , , )4()()qqx y zxyz hxyz h(0)z 222221( , , )4()q qx y zxyz h(0)z 2 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数

40、为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为图图3 3 介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷22qqPxzhR第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波59可得到可得到1211()()qqqqqqqq说明：说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为12121212,llll 12121212qqqq 1020zz211020zzzz利用电位满足的边界条件利用电位满足的边界条件第3章 电磁场与电磁波电磁场与电磁波60图图1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质分界平面分界平面zx12Ih图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线电流电流PIhh11xzIRR特点：在直线电流特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，产生