第一节定积分的概念

1、1)(xfyaxbx xyo 曲边梯形的定义曲边梯形的定义: : 设设 y = f (x) 在区间在区间 a,b 上非负上非负, , 连续。连续。 由直线由直线 x = a, x = b ,y = 0 及曲线及曲线 y = f (x) 所围成的图形所围成的图形 称为称为曲边梯形曲边梯形, 其中曲线弧称为其中曲线弧称为曲边曲边。 2xy)(xfy O曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法(1)(1)分割分割0 xa 1x1ixixbxn1nx2x,1210bxxxxxxanii)., 2 , 1(1nixxxiii 在区间在区间 ,ba上任意插上任意插n+1个分点，个分点， 把把,ba分成分成 n

2、 个小区间：个小区间：,1iixx)., 2 , 1(ni 每每 个小区间的长度个小区间的长度3（2 2）近似代替）近似代替niiAA1 iinixf )(1 （3 3）求和）求和 (4)(4)取极限取极限,max1inix niiixfA10)(lim , 0 iAiixf )( ), 2 , 1(ni 图图5-2xy)(xfy O0 xa 1x1ixixbxn1nx2xiA nA 2A 1A i n 2 1 42. 2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 路程路程=速度时间速度时间.匀速直线运动：匀速直线运动：i(1) (1) 分割分割 (2) (2) 近似代替近似代替 iiitvs

3、) ( niiiniitvss11) ( (3) (3) 求和求和 设物体作直线运动设物体作直线运动, , 0)(tv且且 计算在这段时间内物体所经过的路程。计算在这段时间内物体所经过的路程。 连续函数连续函数, )(tvv ,21TT是时间间隔是时间间隔 已知速度已知速度 上上 的的 (4) (4) 取极限取极限 ,max1init .) (lim10 niiitvs ,21101TtttttTnii 1 iiittt), 2 , 1(ni t1T2T0t1t2t1itit1ntnt)(iv 5面积面积 niiixfA10)(lim 路程路程 niiitvs10) (lim . badxxf

4、 .21 TTdttv设函数设函数 f(x)在在a,b上有界上有界, , 在在a,b中中任意任意插入若干个分点插入若干个分点 , bxxxxxxanii1210把区间把区间 a,b 分成分成 n个小区间个小区间: : , , , ,12110nnxxxxxx 各小区间的长度依次为各小区间的长度依次为: :任取任取一点一点 ,1iiixx 并作出和并作出和 niiixfS1 1 iixf 作乘积作乘积 ), 2 , 1(ni , ,max21nxxx 记记 , 0 当当 S和和 总趋于确定的极限总趋于确定的极限 ,I称这个极限为函数称这个极限为函数 f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分

5、, , 即即 niiibaxfIdxxf10 lim (2)(2) , badxxf记作记作 ,1122011nnnxxxxxxxxx 6a-积分下限积分下限, b-积分上限积分上限, a,b-积分区间积分区间. )(xf,ba)(xf 设设在区间在区间上连续上连续, , 则则,ba 在区间在区间 上可积上可积. .)(xf,ba在在上满足什么条件，上满足什么条件，)(xf,ba在在上一定可积上一定可积)(xf,ba 设设在区间在区间上有界，上有界， 且只有有限个间断点且只有有限个间断点, ,则则 )(xf,ba 在区间在区间 上可积上可积. .如果如果 )(xf,ba在在 上的定积分存在上的

6、定积分存在, )(xf 称称 在在,ba 上上可积可积. niiixf1 )(xf的的积分和积分和。 bababaduufdttfdxxfduudxxbaba 222、且定积分与区间且定积分与区间a,b的分法和的分法和 的取法无关。的取法无关。i 7Adxxfxfba)(, 0)(Adxxfxfba)(, 0)(定积分的几何意义定积分的几何意义 y)(xfy Aax bx xo y)(xfy ax bx Axoxybx )(xfy 1A2A3Aax dco图5-6321AAA bddccadxxfdxxfdxxf)()()( badxxf)( niiixfA10)(lim niiixf10)(

7、lim 8两曲线围成的图形的面积：两曲线围成的图形的面积： ax bx xy)(1xfy )(2xfy Ao21AAA dxxfdxxfbaba)()(219例例 利用定义计算利用定义计算 102dxx解解 102dxx的分法与点的分法与点 102dxx与与 1 , 0 取法无关取法无关. i 322211:;, 2 , 1,ninninxfninixiiiii 并并做做乘乘积积取取区区间间的的右右端端点点： 1 , 0)(2Cxxf ;, 2 , 1,11ninxxxiii 等份等份, 把把 n 1 , 0, 2 , 1 , 0,ninixi 分点为分点为 23123161211216111

8、nnnnnnninxfniniii 求求和和：10niiixf10lim 102dxx,1n n当当时，时，. 0 316)12)(1(lim2nnnn11 ; 0 , 1badxxfba abbadxxfdxxfba - , 2规定规定 bababadxxgdxxfdxxgxf babadxxfcdxxcf )( bcadxxfdxxfdxxfbccabacba 上式对上式对 也成立也成立cbbacadxxfdxxfdxxf)()()( bccadxxfdxxf)()(cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(定定积分对积分区间积分对积分区间具有可加性具有可加性12abdxdxbaba

9、 1 ).( badxxfdxxfbaba ax bx xy xfy xgy O , , 0baxxf . 0 badxxfba 则则若若 , ,baxxgxf . badxxgdxxfbaba 则则若若 ,min ,max,xfmxfMbaxbax . baabMdxxfabmba (估值不等式估值不等式) 则则设设 412)1(dxx) 14( 2651) 14(17如如13 baabfdxxfba (定积分的中值定理定积分的中值定理) 若若 使使得得 ,ba ,baCxf Mdxxfabmba )(1)()(1)(badxxfabfba 使使得得 , , ba 证证由连续函数介值定理知由

10、连续函数介值定理知: xyO)(xfy ab )( f abfdxxfba 之之间间）与与在在ba (都都成成立立。或或baba 由性质由性质6知知 14例例1 估计下列各积分的值估计下列各积分的值 ;arctan3 31 xdxx（1） （2） 2 0 2dxexx解解（1）设）设 ,arctan xxy 31336 3 31 arctan xdxx31333 9 3 31 arctan xdxx32 即即 .3,31, 01arctan2xxxxy,36arctan31 xxxm33arctan3 xxxM在在 xxarctan3,31上单调递增，故上单调递增，故 15（2）记）记 ,2

11、, 0,)(2xexfxx又又 ,)21(41 ef, 1)0(f,)2(2ef 所以所以 ,41 em2eM 0241e2 0 2dxexx022 e即即 2 0 2dxexx412e22e,12)(2xexfxx则则 令令, 0)( xf,21x得唯一驻点得唯一驻点 16（1）用反证法用反证法 证明证明bxxxxabadxxfdxxfdxxfdxxf 0000)()()()( 00 )(xxdxxf 00 xxcdx02 c例例2 设设)(xf)(xg,ba（1）若在）若在,ba, 0)(xf, 0)( badxxf,ba. 0)(xf,ba)()(xgxfbadxxf )(,)( bad

12、xxg,ba).()(xgxf及及 在在 上连续，证明上连续，证明 上上 ，且且则在则在 上，上， （2）若在）若在上上 ，且且则在则在 上，上， , 0)( xf,ba假设在假设在上上 ),(0bax 0 x0 x0)(0 xf则至少存在某点则至少存在某点 , 使使（不妨设（不妨设，若，若 是区间端点证明类似），是区间端点证明类似），因此因此 这与假设这与假设0)( badxxf矛盾，命题得证。矛盾，命题得证。 )(xf,ba上连续，上连续， , 0 使得使得 都有都有 0)( cxf(c是某个常数），是某个常数）， 由于由于 在在 ,),(00baxxx 17例例3 设设 xf在在 b,a上连续，上连续， xg在在 b,a上连续，且不变号上连续，且不变号.证明至少存在一点证明至少存在一点 ,b,a 使下式成立使下式成立 babadxxgfdxxgxf ( ). 证证 若若 , 0 xg等式显然成立等式显然成立 . 若若 , 0 xg不妨假设不妨假设 , 0 xg则则 . 0badxxg xf在在ba,上连续，上连续， xf在在ba,上必有最大值上必有最大值 M 和最小值和最小值 m, .Mxfm 则则 xMgxgxfxmg只要证只要证 Mdxxgdxxgxfmbaba考研题考研题2002年年18由定积分的性质得由定积分的