工科波导光学

1、2.4 光波导的电磁理论光波导的电磁理论作业：作业：2-12； 2-35；推导课；推导课本公式（本公式（2.2-41）Maxwell方程及边界条件方程及边界条件Maxwell方程方程0BDDJHBEffttHBEPED0强度：强度：E：电场强度，：电场强度，H：磁场强度：磁场强度通量密度：通量密度：D：电位移矢量，：电位移矢量，B：磁感应强度：磁感应强度 f：自由电荷密度，：自由电荷密度，Jf：自由电流体密度：自由电流体密度 ：磁导率，真空磁导率：磁导率，真空磁导率 0介电常数介电常数=真空介电常数真空介电常数*相对介电常数相对介电常数1,0rr2.32.12.22.42.52.6边界条件边界

2、条件12nE1H1B1D1E2H2B2D20021212121BBnDDnJHHnEEnsfsf2.82.92.102.11切向连续切向连续法向连续法向连续Maxwell电磁理论基础波动方程波动方程无自由电荷无自由电荷 f=0无自由电流无自由电流 Jf=000BDDHBEttEEEDEEEln02202tHBEDDHBE0,ttAAA2弱导近似：弱导近似： 0 02202tEE022222tcnEE022222tcnHH001,cnr012222tvEE012222tvHH课本2.4-12,2.4-13谐变电磁场谐变电磁场:线性介质中线性介质中,电磁场可分解为谐变分量的叠加电磁场可分解为谐变分

3、量的叠加 tjttjtexp,exp,rHrHrErE000BDEHHEjj222,tjt22,00002222cfcknkkkkHHEEHelmholtz方程方程Maxwell方程方程& r为位置矢量为位置矢量, t为时间为时间, w为震荡频率为震荡频率k为电磁波波数为电磁波波数, k0为真空中的电磁波波数为真空中的电磁波波数.022222tcnEE022222tcnHH以特定频率作简谐震荡的电磁场可以表示为以特定频率作简谐震荡的电磁场可以表示为:课本2.4-16,2.4-17，记平面光波导中的平面光波导中的Helmholtz方程方程 对称性考虑对称性考虑)exp()(zjxjzy

4、, 0一维均匀平面光波导中，电磁一维均匀平面光波导中，电磁场在场在 y 和和 z 方向均匀，对于波导方向均匀，对于波导内沿内沿 z 方向传输的电磁波，其方向传输的电磁波，其任一电磁场分量均具有如下形任一电磁场分量均具有如下形式：式：满足：满足： 3213210,0,nnnxnhxnxhnxn波导结构（折射率空间分布）：波导结构（折射率空间分布）：限制层波导层限制层n3n1n2xyzhttDHBE,Maxwell方程方程zyxzyxAAAzyxeeeAzzyyxxxyzzxyyzxzzyyxxxyzzxyyzxHHHjyExExEzEzEyEEEEjyHxHxHzHzHyHeeeeeeeeeee

5、e0直角坐标系内的形式直角坐标系内的形式EHHEjj0zzyyxxxyzzxyyzxzzyyxxxyzzxyyzxHHHjyExExEzEzEyEEEEjyHxHxHzHzHyHeeeeeeeeeeee0直角坐标系内的形式直角坐标系内的形式jzy, 0yzxzyxyEjdxdHHjHjdxdEHE00TE0 xEyzxzyxyHjdxdEEjEjdxdHEH0TM0yE0zE0zH0yH0 xH课本2.4-37课本2.4-38一维平面光波导的场方程及其解一维平面光波导的场方程及其解3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:yzxzyxyEjdxdHHjHjdxdEHE

6、00TEyzxzyxyHjdxdEEjEjdxdHEH0TM课本2.4-45,2.4-46，记zk限制层波导层限制层n3n1n2xyzh3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:场方程（场方程（平面光波导的平面光波导的Helmholtz方程方程 ）方程是微分算符的本征方程，本征值 决定模场函数的性质，如果 0，方程的解是余弦(正弦)函数，若 0，则是指数函数。另一方面必须考虑物理的合理性，对于可传播的导波模，芯层的电磁场必然是波动的，而包层必然是阻尼的，这就要求在芯层和包层的符号必须是相反的。至此已在电磁场方程的基础上论证了导波的必要条件是2202Kn2202Kn22

7、02Kn2220jnk2220jnkn2K0 n1K0 3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:场方程（场方程（平面光波导的平面光波导的Helmholtz方程方程 ）模式解模式解: 参考课本参考课本P35-38 及教材附带课件及教材附带课件.TE模讨论之相差相位因子，以的相位可以不同，可以状不变，但它导截面上分布保持其形中，一种模式的场在波波的传输过程的一种稳定分布，即在导波模式是指波导空间平面导波模式的场分布0)(:,0)(0)(22320222222022212022yyyyyyEnkdxEdEnkdxEdEnkdxEd敷层区衬底区：薄膜区：;, 0)(1,;,

8、 0)(1:2220102210场为正弦解在薄膜区：若解得为指数解由边界连续可由方程，当xEEnknkExEEnkyyyy12222, 0)(1ciyyxEE相当射线光学分析中：形式驻波，在边界衰减这时为导模，在薄膜区场为指数解；可在衬底敷层：指数解在敷层区当, 01,223020 xEEnknkyy13122201:cicyyxEE相当于射线光学中：，正弦解，为驻波其他为1230, 00cink为正玄解，相当于，各层当辐射模衬底辐射模导模n1n2n3k0n1k0n2k0n3波动方程（波动方程（TE模）模） 00yxyzzxyEHEiHxHi HiEx 2222020yyEk nEx22220

9、320yyEk nEx22220120yyEk nEx22220220yyEk nExxn1n3n2yz包层包层薄膜层薄膜层衬底衬底0k c001c 0n15波动方程的解（场分布）波动方程的解（场分布）33122exp() cladding( )cos() core exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 2222303k n2222202k n222201xkk n010302max(,)k nk n k n根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用余弦函数表示，而在覆盖层、衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用指数函数表示。 导模存在条件导模存在条件：k

10、x、a3、a2均应为实数，故须满足 与射线法结果一致与射线法结果一致16p2q3对比课本取zk边界条件边界条件边界条件为：边界处切向Ey分量连续，切向分量Hz也连续，由 知 连续 0yzEiHxxEy(1) x= -a处，12cos()xEk aE1222sin()|exp()|xxxaxak Ek xExa122(sin()xxk Ek aE2tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 17对比课本2a=h边界条件边界条件(

11、2) x=a处，13cos()xEk aE1333sin()|exp()|xxx ax ak Ek xExa 133(sin()xxk Ek aE3tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 18特征方程（本征值方程）3tan()xxk ak11322tan ()tan ()xxxk amkkTE模模关于关于 的函数的函数 z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 33122exp

12、() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 2tan()xxk ak19对比课本2a=h)/arctan()/arctan(xxxkqkpmhk即课本TE模的特征方程：与射线法得到结果的一致：1012132ncos2k tm11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程）关于关于 的函数的函数关于关于 的函数的函数TM模的特征方程：2211311222322tan ()tan ()xxxnnk amn kn k20对比课本2a=h)/arctan()/arctan(xxxkqkpmhk与射线法推导过程的区

13、别？1012132ncos2k tm11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程） z x t=2a A C 入射波阵面 二次反射波阵面 一次反射波阵面 n3 n2 n1 k1 1/222211212221sin2tancosnnn1/222211313221sin2tancosnnn2222303k n2222202k n222201xkk n传播常数传播常数横向波矢横向波矢21对比课本2a=hTE模的特征方程：zknksin10cos10nkkx平板波导模式分布平板波导模式分布33122exp() cladding( )cos() core

14、 exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 将特征方程的解，代入上式，并确定各个系数，求得Ey。而后根据右式，确定其余场分量。yzxzyxyEixHHiHixEHE0022平板波导模式分布平板波导模式分布23 m=0时 为最低模,m=1,m=2其模式结构如图xn2=n3n1m=0m=1m=2Exx对称平面光波导n2=n3高阶短低阶长轴等距离两次全反射在小即入射角大。而高阶模大低阶模，z，1的深度大小，穿透）对高价模32,2nn，场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减的快慢分别由衰减系数2和3确定。平板波导模式分布平板波导模式分布2和3的值大，则场衰减快

15、，穿透深度1/ 2和1/ 3就浅，说明场主要束缚在导波层中。反之， 2和3的值小，则场衰减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。 2和3的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数m密切相关。由模式本征方程可以导出，m越大，则越小， 2和3也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸到导波层外的距离较远。26导模和辐射模 iCladdingCore iSubstrateCladdingCoreSubstrate辐射模的特点：辐射模的特点： 传播常数连续。传播常数连续。 沿传播方向有损耗。沿传播方向有损耗。 与导模一起组成一个与导模一起组成一个完备的正交函数集。完备的正交函数集。导模的特点：导模的

16、特点： 传播常数取分立的值。传播常数取分立的值。 理论上没有损耗。理论上没有损耗。 各个导模正交。各个导模正交。27特征模的展开特征模的展开 任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？ 处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的电磁场分布。电磁场分布。 数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开；数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开； 各导波模以相应阶数模的传播常数传播；各导波模以相应阶数模的传播常数传播； 随着光的传播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠随着光的传

17、播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇一样反复加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇一样反复蠕动前进。蠕动前进。()( , )( )exp ()mmmmE x tA Exjtz光波导中的各种损失光波导中的各种损失 在单模波导中导波模只有基模，其余展开分量全部在单模波导中导波模只有基模，其余展开分量全部转变成耦合损失，所以为减小耦合损失，应尽量使转变成耦合损失，所以为减小耦合损失，应尽量使入射光束的形状与波导基模的形状相同。入射光束的形状与波导基模的形状相同。波动光学获得波动光学获得TETE模式和模式和TMTM模式的特征方程与几何

18、光模式的特征方程与几何光学分析获得的横向谐振条件类似，但是表述起来更学分析获得的横向谐振条件类似，但是表述起来更为严格。为严格。求解特征方程，可以获得传输常数的一系列解，每求解特征方程，可以获得传输常数的一系列解，每一个解对应一个模式。一个解对应一个模式。由传输常数可以获得其他的分布参数，进一步得出由传输常数可以获得其他的分布参数，进一步得出电磁场的各个场分量。电磁场的各个场分量。4分别对分别对TETE和和TMTM模，找出满足模，找出满足 k k0 0n n2 2 k k0 0n n1 1 的的 的个数（总是有限的），按从大到小依次记为的个数（总是有限的），按从大到小依次记为 m m （m=1,2m=1,2M)M)； m m 即为第即为第 m m 个个TETE或或TMTM模式的传输常模式的传输常数，其随数，其随 的变化关系决定了该模式在波导中的的变化关系决定了该模式在波导中的传输特性传输特性波导内各模式场分布与传输特性的求解波导内各模式场分布与传输特性的求解从模式的传输常数从模式的传输常数 m 求出该模式的横向振荡参数求出该模式的横向振荡参数 kxm 以及在限制层内的衰减常数以及在限制层内的衰减常数 pm、qm ，代入束缚，代入