第五章连分数

1、第五章第五章 连分数连分数基本内容 连分数的定义和性质连分数的定义和性质：理解连分数的有关：理解连分数的有关概念，会证明每一个简单连分数都是一个概念，会证明每一个简单连分数都是一个实数。实数。 实数表示为连分数实数表示为连分数：会证明任一无理数都：会证明任一无理数都可表为无限简单连分数，了解有理数的连可表为无限简单连分数，了解有理数的连分数表示法。分数表示法。 循环连分数循环连分数：了解二次代数数都是循环连：了解二次代数数都是循环连分数，会求二次方根的连分数。分数，会求二次方根的连分数。 最佳渐近分数：最佳渐近分数： 5.1 连分数的定义及性质连分数的定义及性质例例 即 5.2 实数表示为连分

2、数实数表示为连分数 任一个有限任一个有限简单连分数简单连分数表示一个表示一个有理数有理数。反之，。反之，任意一个有理数可以有恰好任意一个有理数可以有恰好2种种方式表示成一个方式表示成一个有限简单连分数，其中一个含有奇数个项，另一有限简单连分数，其中一个含有奇数个项，另一个含偶数个项。个含偶数个项。 任一个无限任一个无限简单连分数简单连分数表示一个表示一个无理数无理数。反之，。反之，任意一个无理数可以任意一个无理数可以唯一唯一的表示成的表示成 一个无限简单一个无限简单连分数。连分数。 若一个实无理数是一个整系数一元二次方程的根，若一个实无理数是一个整系数一元二次方程的根，则称为二次无理数。则称为

3、二次无理数。 任意任意二次无理数二次无理数与与循环简单连分数循环简单连分数一一对应。一一对应。要把一个分数写成连分数，只要不断地把分子分母同时除以分子，将分子化为 1 。如37/99？11,1 2, 1, 2, 0,1111121112112 2, 1, 2, 0,121211121251211213725219937当然，连分数也可写成分数，如3043301311342114131211实数的连分数表示算法由来：早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法辗转相除法，实际上就是求最大公约数的辗转相除法。我们先来回顾一下辗转相除法，不过这次不用短除式，而尝试用等式来描述这个算法。

4、既然上边的式子成立，那么下面左式也会成立。 例1 用辗转相除法求942和1350的最大公约数。13504081942942942126240840840830312612612664303030506 13501119422131450 代入得：于是，有5122111251251511151212111115112（）例3 斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比）为如此反复，最后得例例4 例例5 例例 6 例例 7 5.3 最佳渐近分数最佳渐近分数三个问题： 一个分数的连分数表达式是否可能永远写不完？（否） 即便能写完，是否一定要把它写完？ 如果没有把它写完就截断，所得的分数与原来的分数有何关系？ 首先，任何一个有理数一定可以写成有限连分数；任何一个无理数一定可以唯一地写成无限连分数； 其次，利用分数的连分数表达式的逐次截断值（即，渐近分数）可以求出该分数的近似值。