第2章随机变量及其分布

1、第第2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，建立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法然而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想通过随机事件概率的计算来达到了解随机现象的规律性显得很不方便 本章，我们将引进概率论中的一个重要概念随机变量随机变量的引进是概率论发展史上的 重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们用分析的方法来研究随机现象的统计规律 本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分布及一些常见的典型分布，给出

2、分布函数的概念及计算，最后给出随机变量函数的分布教学要求：教学要求： 理解并掌握随机变量的概念理解并掌握随机变量的概念;随机事件可以采取数量的标识。如：随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。产品为优质品记为产品为优质品记为1，次品记为，次品记为2，废品记为，废品记为3。天气下雨记为天气下雨记为1，不下雨记为，不下雨记为0。 一、 随机变量的概念 随机试验的结果本身有两种表达形式：一种是数值型，一种是描述型为了全面地研究随机试验

3、的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念. 实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法使其结果与唯一的实数对应起来，将它转化为数值型这样，不管随机试验可能出现的结果是否为数值型，我们总可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每一个结果都与唯一的实数对应起来Ex1 (1) 掷一枚骰子，观察出现的点数掷一枚骰子，观察出现的点数.)6(,),2(),1(621点点出现出现点点出现出现点点出现出现eeeS 引入引入: 654321 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1)(eeeeeeeeeeeeeXX,33来表示来表示可用可用点点出现出现且事

4、件且事件 X.44来表示来表示可用可用出现点数不大于出现点数不大于事件事件 X（3 3）某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命）某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X X。X X 的可能取值为的可能取值为 0,+ 0,+ ) )（2 2）某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数）某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数X.X.X X 的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，.（4 4）在）在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X.X X 的可能取值为的可能取值为 0 0，11上的全体实数。上的全体实数。2. 定义定义 .)(,)(,上的随机变量上的随机变量叫做样本空间叫做

5、样本空间则将单值实函数则将单值实函数与之对应与之对应有一个实数有一个实数如果对于每一个如果对于每一个的样本空间为的样本空间为设随机试验设随机试验SeXXeXSeSE .X记为记为3. 注意注意 (1)实质上，随机变量就是把样本空间进行了量化实质上，随机变量就是把样本空间进行了量化. . ,)2(来表示来表示母母随机变量通常用大写字随机变量通常用大写字ZYX.,表示它们可能取的值表示它们可能取的值用小写字母用小写字母zyx(3)随机变量为一个实值函数，定义域为样本空间随机变量为一个实值函数，定义域为样本空间. . ;)(是单值函数是单值函数eXX 自变量自变量e取哪一点具有随机性，由于随机变量取

6、值取哪一点具有随机性，由于随机变量取值有一定的概率，对于取某一点又有统计规律性；有一定的概率，对于取某一点又有统计规律性； .)(法则法则一般是人为规定的对应一般是人为规定的对应eXX (5)有了随机变量，随机事件都可用随机变量来表示有了随机变量，随机事件都可用随机变量来表示. .,:等等比如比如xXxX (4)(6)随机变量的分类随机变量的分类: : 离散型随机变量离散型随机变量：随机变量所取的一切可能值为有限多个或可列个随机变量所取的一切可能值为有限多个或可列个. . 如如ex1中（中（1）、（）、（2）连续型随机变量连续型随机变量：随机变量所取的一切可能值可以充满某个空间随机变量所取的一

7、切可能值可以充满某个空间. .如如ex1中中（3 3）、（）、（4 4） 其他类型随机变量其他类型随机变量. . 教学要求：教学要求：1. 理解离散型随机变量的分布律及性质理解离散型随机变量的分布律及性质; 2. 掌握几个常用的离散型分布掌握几个常用的离散型分布; 3. 会应用概率分布计算有关事件的概率会应用概率分布计算有关事件的概率; 一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为 ), 2 , 1( kxk相应的概率为相应的概率为, 2 , 1 , kpxXPkk称上式为随机变量称上式为随机变量X的概率

8、分布的概率分布或或分布律分布律. . 注意注意 1.概率分布可用表格表示为概率分布可用表格表示为: : Xkp1x2xnx1p2pnp2.概率分布满足两个条件概率分布满足两个条件: : );, 2 , 1( , 10)1( kpk. 1)2(1 kkp以上两式即为概率分布的性质以上两式即为概率分布的性质. . ex1. 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X02 .2P X求P414121Solution. .412 XPXPex2.将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令次，令X -3 -1 1 3 kP X：出现的正面次数与反面次数之差：出现的正面次数与反面次数之差试求：试求： （1

9、）X 的分布律；的分布律；解：解： X 的可能取值为的可能取值为81838381-3， - 1，1，3并且分布率为并且分布率为 .35 .0)2( XP 1 XP.83 35 . 0XPex3. 从一装有从一装有4个红球，个红球，2个白球的口袋中，按以下两个白球的口袋中，按以下两 种方式取出种方式取出5个球：个球：(1) 每取一个，记下颜色后放回，再取下一个；每取一个，记下颜色后放回，再取下一个；(2) 取后不放回；取后不放回； 求取出球中红球个数求取出球中红球个数X的分布律的分布律.Solution. X012345P556254115624C53225624C52335624C544562

10、4C5564X34P562234CCC561244CCC练习：一练习：一袋中有袋中有5 5个乒乓球，编号分别为个乒乓球，编号分别为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，从中随机抽取，从中随机抽取3 3个，以个，以X X表示取出的表示取出的3 3个球中最大个球中最大的号码，求的号码，求X X的的分布律分布律3511310P XC233513410CP XC243516510CP XCex4.设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为 ， 2141 ncnXPn试试求求常常数数 c解：解：由分布率的性质，得由分布率的性质，得 11411nnncnXP该级数为等比级数，故有该级数为等比级数，故

11、有 1411nnc341141cc 所以所以3 c练习：练习： 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为,1,2,aP XkkNN试确定常数试确定常数a. .11NNkkaP XkN1a 1aNN二、几个常用的离散型分布二、几个常用的离散型分布 1. 0-1-1分布分布 or or 两点分布两点分布设随机变量设随机变量X只能取两个值只能取两个值, 它的分布律是它的分布律是Xkp01qp,1pq 则称则称X服从参数为服从参数为p的的0-1分布或两点分布分布或两点分布,)., 1(pBX记为记为2. 伯努利试验与伯努利试验与二项分布二项分布 伯努利试验的定义伯努利试验的定义: 在一固定不变的条件

12、下做一种试验（在一固定不变的条件下做一种试验（n次）次） ;:)1(AA与与有两个有两个每次试验的可能结果只每次试验的可能结果只; 1,)(,)()2( qpqAPpAP(3)各次试验的结果互不影响各次试验的结果互不影响, ,即相互独立即相互独立. . 这样一串试验称为这样一串试验称为n重伯努利试验重伯努利试验. . 当当n=1时时, ,称为两点分布称为两点分布. . 在在n重贝努利试验中重贝努利试验中A出现出现k次的概率公式次的概率公式 .1,)( ,pqpAPqpCkXPknkkn 其中其中Proof. 根据独立事件概率的乘法定理，在根据独立事件概率的乘法定理，在n次试验中，次试验中，事件

13、事件A在指定的在指定的k次实验中发生，而在其余的次实验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为次试验中不发生的概率为 ,knkqp 而事件而事件A在在n次试验中发生次试验中发生k次，而不限定哪次，而不限定哪k次，所次，所以应有以应有 ,种种不不同同方方式式knC由此有由此有 .1 ,pqqpCkXPknkkn 注意到注意到: k的取值为的取值为0，1，2,n，于是，于是 )()1()0()(0nPPPkPnnnnkn . 1)( nqp二项分布二项分布设随机变量设随机变量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( ,1 ,nkpqqpCkXPknkkn 则称则称X服从参数为服从参

14、数为n,p的二项分布的二项分布,).,(pnBX记为记为3. 泊松分布泊松分布(Poisson)分布分布 设随机变量设随机变量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( , 0 ,! kekkXPk 则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, ).( X记为记为4. 几何分布几何分布 设随机变量设随机变量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1( ,)1(1 kppkXPk则称则称X服从参数为服从参数为p的几何分布的几何分布, ).(pGX记为记为注意注意: 1. 两点分布是二项分布的特殊情况，二项分布是两点两点分布是二项分布的特殊情况，二项分布是两点 分布的推广分布的推广

15、. 2. 泊松分布是概率论中最重要的分布之一。在实际泊松分布是概率论中最重要的分布之一。在实际应用泊松分布主要用来描述大量重复试验中稀有事应用泊松分布主要用来描述大量重复试验中稀有事件（即概率较小的事件）出现的次数。如某时间段件（即概率较小的事件）出现的次数。如某时间段中来到公用设施前要求提供服务的人数、某时间段中来到公用设施前要求提供服务的人数、某时间段内系统发生故障的次数、商店里每天卖出的贵重商内系统发生故障的次数、商店里每天卖出的贵重商品的件数、书籍中出现的印刷错误个数等。此外，品的件数、书籍中出现的印刷错误个数等。此外，在管理科学中，泊松分布也具有十分重要的地位。在管理科学中，泊松分布

16、也具有十分重要的地位。 泊松分布的概率计算问题可通过查泊松分布表泊松分布的概率计算问题可通过查泊松分布表（见附表（见附表2）完成。）完成。泊松定理泊松定理 设设 0是一常数，是一常数，n是任意整数，设是任意整数，设npn=，则，则对任意一固定的非负整数对任意一固定的非负整数k，有，有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(时时，当当对对于于固固定定的的 nk证明证明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1定理的条件定理的条件npn=，意味着，意味着n很大时候很大时候pn必

17、定很小。必定很小。因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 （=np）作为作为 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而当而当 时效果更佳。时效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表可查。的值有表可查。 ekppCkknnknknn!1lim从而从而ex5. 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答

18、对能答对4道题以上的概率是多少？道题以上的概率是多少？,对对的的题题数数表表示示该该学学生生靠靠猜猜测测能能答答设设X ，答答对对一一道道题题 A则答则答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验 415，则则BX 41 AP则则解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，试验，所以所以 44 XPP道题道题至少能答对至少能答对 54 XPXP5445414341 C641 ex6. 若某人做某事的成功率为若某人做某事的成功率为1%，他重复努力，他重复努力400次，次，则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为400110 =1 0.990.9

19、820P XP X 成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 ex7. 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.1，现从中取，现从中取出出15件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率： B= 取出的取出的15件产品中恰有件产品中恰有2件次品件次品 C= 取出的取出的15件产品中至少有件产品中至少有2件次品件次品 ,取取出出一一件件产产品品为为次次品品 A . 1 . 0 AP则则 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作件产品，故可近似看作是一是一15重重Berno

20、ulli试验试验解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CCex8. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接可以直接出厂；以概率出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了新生产了1000台仪器（假设各台仪器的生产过程相互台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求独立），求:(1)全部能出厂的概率全部能出厂的概率 ;

21、(2)其中恰好有两件不能出厂的概率其中恰好有两件不能出厂的概率 ;(3)其中至少有两件不能出厂的概率其中至少有两件不能出厂的概率 .Solution. 设设A=仪器能出厂仪器能出厂， B1 =仪器能直接出厂仪器能直接出厂,B2=仪器需进一步调试仪器需进一步调试,.21SBB 则则, 7 . 0)(1 BP且且3 . 0)(2 BP, 1)|(1 BAP, 8 . 0)|(2 BAP由全概率公式得由全概率公式得: .94. 0)|()()|()()(2211 BAPBPBAPBPAP设设X为所生产的为所生产的1000台仪器中能出厂的台数，则台仪器中能出厂的台数，则X作为作为1000次独立试验中仪

22、器能出厂的次数，为次独立试验中仪器能出厂的次数，为贝努利试验，贝努利试验，,94. 0 p并且并且).94. 0 ,1000( BX即即;)94. 0(1000)1(1000 XP ;)06. 0()94. 0(21000)2(29989981000CXP 998010009991)3(kXPXPkXP .)94. 0()06. 0()94. 0(110009999991000 C 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X X服从服从4 的泊松分布，分别的泊松分布，分别 求（求（1 1）每分钟内恰好接到）每分钟内恰好接到3 3次呼唤的概率；（次呼唤的概率；（2

23、 2）每分钟不超过）每分钟不超过4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xeex9.解解0.195630.628838ex10.设一女工照管设一女工照管800个纱锭，若每一个纱锭单位时间个纱锭，若每一个纱锭单位时间内纱线被扯断的概率为内纱线被扯断的概率为0.005，求单位时间内扯断次数，求单位时间内扯断次数不大于不大于10的概率的概率.Solution. 设设X为单位时间内扯断次数，则为单位时间内扯断次数，则).4()005. 0 ,800( BX)10( XP所所求求概概率率为为0.9971

24、60查表ex11. 有同类设备有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，满足上式最小的查表可知，满足上式最小的N是是8。至少需配备至少需配备8个工人才能满足要求。个工人才能满足要求。 解：解：

25、设设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知XB(300,0.01)，若配备，若配备N位维修人员，所需解决的问题位维修人员，所需解决的问题是确定最小的是确定最小的N，使得：，使得：PXN0.01 （=np=3） 从一批次品率为从一批次品率为p p的产品中，有放回抽的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数抽取的次数X X的分布律。的分布律。 解解 记记A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 则则 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3

26、, 是相互独立的！是相互独立的！ 且且X X的的所有所有可能取值为可能取值为 )(121kkAAAAP( ( X=k )X=k )对应着事件对应着事件 kkAAAA121ex12.教学要求：教学要求：理解随机变量分布函数的概念及性质理解随机变量分布函数的概念及性质. 一、分布函数的概念一、分布函数的概念 对于离散随机变量对于离散随机变量X，我们可以用分布律来描述概率分布，我们可以用分布律来描述概率分布，对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列出，因对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列出，因此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不可能的然而此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不

27、可能的然而,我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取值的概我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取值的概率如率如,考虑对于任意实数考虑对于任意实数 （ ），落在区间），落在区间 上上的概率的概率 , 但由于但由于 = 因此我们只需考虑因此我们只需考虑 和和 形式的概率就可以了，形式的概率就可以了，而而 与与 具有相同的形式，因此，我们有下面的具有相同的形式，因此，我们有下面的概念概念. 21xx，21xx 21xx，21xXxP21xXxP12xXPxXP2xXP1xXP2xXP1xXP1. 分布函数的定义分布函数的定义 .)( ,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是

28、一个随机变量是一个随机变量设设XxXPxFxX 注意注意:;1 , 0),()()1(值域为值域为的定义域为的定义域为分布函数分布函数xF.)()2(00 xXPxF 性质性质2. , 1)(0 xF, 0)(lim)( xFFx. 1)(lim)( xFFx性质性质1. .)(为单调不减函数为单调不减函数xF).()(,2121xFxFxx 时时即即当当性质性质3. .)(是右连续的是右连续的xF).()(lim)0(000 xFxFxFxx 即即证明：证明：:,)1(2121得得则则如如xXxXxx 21xXPxXP 21xFxF 11(2) 01lim0lim01 2xnnnnnnF x

29、F xF xF xFnAXnnAAA 由的定义易得。利用的单调性,要证，只要证。考虑事件，则，)(lim)(lim)(limnnnxAPnFxF 0)(1 nnAP可类似证明极限1)(limxFx xFnxFn )1(lim110lim()lim()nnnnF xF xPAn xFxXP 只只须须证证明明：的的单单调调性性，为为证证此此性性质质由由xF)3(，令令211 nnxXAn，则则11xXAAAnnnn 则则为两个实数为两个实数设设,ba),()(aFbFbXaP ),0()( aFaFaXP),(1aFaXP ),0(1 aFaXP),0( bFbXP),0()( aFbFbXaP)

30、.()0(aFbFbXaP Proof. )(aXbXPbXaP aXPbXP ).()(aFbF 性质性质4. 1limaXkaPaXPk )1()(limkaFaFk ).0()( aFaF XaPaXP).(1)()(aFaFF )( XaaXPaXP)(1)0()(aFaFaF ).0(1 aF同理可证另外的等式同理可证另外的等式. . ex1.设设X是随机变量，已知它的分布函数为是随机变量，已知它的分布函数为F(x)，试，试用分布函数表示下列事件的概率：用分布函数表示下列事件的概率：4 )3( ;512 )2( ;1 )1(2 XXXSolution. 111 )1( XPXP).1

31、()01( FF2512 )2( XPXP).2(1F 224 )3(2 XPXP).02()2( FFex2.设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为 2 120 sin0 0)( xxxAxxF.6| XPA及及求求Solution. ,2sin)2(AAF ,1)02( F由分布函数的右连续性，可得由分布函数的右连续性，可得 .1 A666 XPXP而而)6()06( FF.2106sin 求求: (1) 常数常数A，B的值；的值； (2) P(0X1)练习练习1：设随机变量设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：xBarctgxAxF,)(1)(0)() 1 (FF由性质解：1

32、)2(0)2(BABA121BA)0() 1 () 10()2(FFXP410,10,0)()(xxxxxFC练习练习2:下列函数中可作为随机变量分布函数的是下列函数中可作为随机变量分布函数的是 ( )arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 说明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx单增为正确答案易证C二二. 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 xxkxxkkkpxXPxXPxF)( xxxxxppxxxpxx 1 032212111分布

33、函数的特点：分布函数的特点：F(x)为一阶梯形右连续函数，跳跃点为一阶梯形右连续函数，跳跃点在在x=xk处，跳跃值为处，跳跃值为pk.由概率分布得出了分布函数，同样分布函数也可惟一由概率分布得出了分布函数，同样分布函数也可惟一确定确定xk及及pk, 即惟一决定分布律即惟一决定分布律.如图所示如图所示x)(xF1x2x3xoex3.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为,2/16/13/1210ipX求求).(xF解解)(xXPxF 当当0 x时时, , xX故故0)( xF当当10 x时时, ,310)( XPxXPxF21613110)( XPXPxF当当21 x时时, ,当当2 x时时

34、, ,1210)( XPXPXPxF故故,2, 121, 2/110, 3/10, 0)( xxxxxF)(xFx1/61/21/3121 1/621O)(xF的图形是阶的图形是阶在在跃跃, ,2, 1, 0 x处有跳处有跳其跃度分别其跃度分别,0 XP,1 XP.2 XP梯状的图形梯状的图形, ,等于等于练习练习.设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X02 P414121求求X的分布函数的分布函数.Solution. . 12 4320 410 0)( xxxxxFex4.设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为,3, 132,19/1521,19/91, 0)( xxxxxF求

35、求X的概率分布的概率分布. .解解由于由于)(xF是一个阶梯型函数是一个阶梯型函数, , 故知故知X是一是一个离散型随机变量个离散型随机变量, ,)(xF的跳跃点分别为的跳跃点分别为 1, 2, 3,对应的跳跃高度分别为对应的跳跃高度分别为 9/19, , 6/19, , 4/19, , 如图如图. .3211199/196/194/)(xFx.19/419/619/9321ipX故故X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：解：0, 00.4, 01( )0.8, 121, 2xxF xxx 练习练习.已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.ex5. 考虑如下

36、试验：在区间考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录它上任取一点，记录它的坐标的坐标X。那么。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到取到0，1上任一点的可能性相同。求上任一点的可能性相同。求X的分布函数。的分布函数。 当当x0时时 0 xF时时当当10 x xxXPxXPxF 0时时当当1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由几何概率的计算不难求出由几何概率的计算不难求出X的分布函数的分布函数 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：教学要求：教学要求：1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质理解连续型随机变量的概率密度及性质;2. 掌握正态分

37、布、均匀分布和指数分布掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率会应用概率密度计算有关事件的概率. .密度密度连续型随机变量的概率连续型随机变量的概率一一 .几种常用的连续型分布几种常用的连续型分布二二 .正态分布正态分布三三 .注意事项及课堂练习注意事项及课堂练习四四一、连续型随机变量的概率密度一、连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间, 对这对这种类型的随机变量种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样不能象离散型随机变量那样, 以以指定它取每个值概率的方式指定它取每个值概率的方式, 去给出

38、其概率分布去给出其概率分布, 而而是通过给出所谓是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式来讨论的方式来讨论.1. 连续型随机变量及其密度函数的定义连续型随机变量及其密度函数的定义.,)(,)()( ,),(),(简称概率密度简称概率密度概率密度函数概率密度函数的的称为称为其中函数其中函数为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数函数函数存在非负存在非负的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量XxfXdttfxXPxFxxfxFXx 2. 概率密度函数的性质概率密度函数的性质; 0)( )1( xf; 1)( )2( dxxf这两条性质是判定一个

39、这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为1;)()()( )3(211221 xxdxxfxFxFxXxP);()(,)( )4(xfxFxf 的连续点处的连续点处在在;)(,)(不存在不存在的不连续点处的不连续点处在在xFxf )()(lim)(0000证明证明用用xxFxxFxFx ; 0)0()(, )5( aFaFaXPa对任意实数对任意实数.)( 2121212121 xxdxxfxXxPxXxPxXxPxXxP从而从而注意注意: (1) F(x)为连续函数为连续函数; (2) 概率为

40、概率为0的事件，不一定是不可能事件；的事件，不一定是不可能事件；(3) 对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不对于连续型随机变量，求区间上的概率时可以不 考虑端点的情况考虑端点的情况. 即有即有(4) 可由分布函数求分布密度，对于可由分布函数求分布密度，对于 不存在不存在 的点可人为的补充定义的点可人为的补充定义. . )(xF badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)( 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量

41、， f (x)相当于线密度相当于线密度.x ,(xxx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)(5). 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解: 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo若不计高阶

42、无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP)( 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.ex1.设设X的分布函数为的分布函数为,1 110 0 0)( xxxxxF求求X的分布密度的分布密度).(xf解解),()(xFxf 而端点处情况可人为规定而端点处情况可人为规定. 其它其它 010 1)(xxf. 010 1)( 其它其它xxfor xdttfxXPxF)()()(解解:

43、 其它其它0,11,12)(2xxxf 求求 : F(x) 设连续型随机变量设连续型随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 f (x)ex2.1x 当当时时,( )0F x 11,x 当当 xdttdtxF121120)( 21arcsin112 xxx 1, 111,21arcsin111, 0)(2xxxxxxxF 即得所求的分布函数为即得所求的分布函数为:112112( )0101F xdtt dtdt 1x 当当时时,ex3.设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为 其它其它 022 cos)( xxaxf.40)3(),()2( ,)1( XPxFa求求解解得得由由1)()1(

44、 dxxf,2cos122adxxa .21 a; 00)(,2)2( dxxFxx时时当当 dxxfxFxx )()(,22时时当当 );1(sin21cos212 xdxxx dxxfxFxx )()(,2时时当当 . 1cos2122 dxx 2 122 )1(sin212 0)( xxxxxF,42)0()4(40)3( FFXP .42cos214040 dxxXP 或或练习：练习：设随机变量X的概率密度为1|x|01|x|x1A)x(f2 求(1)A; (2)P(-1/2X1/2); 解解:(1)由性质2得:1121dxx1Adx)x(f即11xarcsinAA=1,所以 A=1/

45、(2)P(-1/2X1/2)=2/12/1dx)x(f2/12/12dxx112/12/1xarcsin1=1/(/6+/6)=1/3.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度随机变量随机变量的值的值系数系数求求的分布函数为的分布函数为设连续型随机变量设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX ex4.),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量, )(lim)(xFaFax ,)(连续连续所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1

46、 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF 所所以以,21 A解之得解之得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf 的概率密度为的概率密度为随机变量随机变量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa 二、几种常用的连续型分布二、几种常用的连续型分布 1. 均匀分布均匀分布 若若 r.vX的概率密度为：的概率密度为：其它, 0,1)(bxaabxf)(xfab则称则称X服从区间服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作： X U(a, b)它的实际背景是：它的实际背景是： r.v X

47、 取值在区间取值在区间(a, b) 上，并且上，并且取值在取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比长度成正比. 则则 X 具有具有(a,b)上的上的均匀分布均匀分布.其分布函数为其分布函数为: bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0)(概率密度函数概率密度函数f(x)与分布函数与分布函数F(x)的图形可用图示的图形可用图示abO xfabO xF1ex5.某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，分钟来一班车，即即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，等时刻有汽车到达此站，

48、如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀之间的均匀随机变量随机变量, 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解解依题意，依题意，以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位其它其它,)(0300301xxf0, 30 .XU 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为：所求概率为：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5

49、 分钟的概率是分钟的概率是1/3.从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，ex6. 设随机变量设随机变量XU1, 6 ，求一元二次方程，求一元二次方程 t 2+Xt +1= 0有实根的概率。有实根的概率。 解解 当当=X2-40时，方程有实根。所求概率为时，方程有实根。所求概率为P XP XXP XP X2(40)(22)(2)(2) 或或而而X的密度函数为的密度函数为1,16,( )50,xf x 其其它它. .662214(2)( )55P Xf x dxdx (2)0P X 24(40

50、)5P X 从而从而另解另解22(40)1(40)P XP X1( 22)PX 22211141( )11555f x dxdx xf x1,16,( )50, 其其它它. .ex7. 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布，现对上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大于试求至少有两次观测值大于3 的的概率概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为 ., 0, 52,31)(其其他他xxf设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 ”, Y 表示表示3次独次独立观测中观测值大于立观测中观测值大于3的次数的次数.解解

51、)(3XPAP由由于于,32d3153 x则则23,.3YB2 YP.2720 因而有因而有22322133C 303322133C 2. 指数分布指数分布 若若 r.vX的概率密度为：的概率密度为： 0 , 00 ,1)(xxexfx .,0的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中 X ).( EX记为记为其分布函数为其分布函数为: 0 , 00 ,1)(xxexFx 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度0( )(0)00 xxef xx为常数则称则称X

52、服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。0001)( xxexFx 指数分布的另一常见的定义方式指数分布的另一常见的定义方式其分布函数为其分布函数为 f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示)(xfxO )(xFxO1ex8. 电子元件的寿命X(年）服从参数为1/3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？解解: :, 0003)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXPx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXPXXPXXPxxe

53、x9.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计以分计)服服 从指数分布，其密度函数为从指数分布，其密度函数为 其它其它 00 51)(51xexfx某顾客等待时间超过某顾客等待时间超过10分钟，他就离开分钟，他就离开.一个月他去银一个月他去银行行5次次.以以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，表示一个月内他未等到服务而离去的次数，写出写出X的分布律并求的分布律并求 .1 XP解解以以Y表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间，表示顾客在某银行的窗口等待服务的时间， 则顾客未等到服务而离去的概率为则顾客未等到服务而离去的概率为 10 YPp.5121051 e

54、dxex的的分分布布律律为为X).5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0( )1(5225 keeCkXPkkk011 XPXP5205)1(1 eC.)1(152 e 正态分布是概率统计中最重要的分布，一方面，正态分布是正态分布是概率统计中最重要的分布，一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差，炮弹弹落点的分自然界最常见的一种分布，例如测量的误差，炮弹弹落点的分布，电子管或半导体器件中热噪声电流和电压，人的生理特征布，电子管或半导体器件中热噪声电流和电压，人的生理特征的尺寸：身高，体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：的尺寸：身高，体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸

55、：直径，长度，宽度，高度；直径，长度，宽度，高度；都近似服从正态分布。一般说来都近似服从正态分布。一般说来，若影响某个数量指标，若影响某个数量指标的的随机因素很多，而每个因素所起的作随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则用不太大，则这个这个指标服从正态分布，这点可以利用概率论的指标服从正态分布，这点可以利用概率论的极限定理加以证明，另一方面，极限定理加以证明，另一方面， 正态分布具有许多良好的性质正态分布具有许多良好的性质，许多分布可以利用正态分布来近似，另外一些分布又可以通，许多分布可以利用正态分布来近似，另外一些分布又可以通过正态分布来导出，因此在理论研究中，过正态分布来导出，因此在

56、理论研究中， 正态分布十分重要。正态分布十分重要。三、正态分布三、正态分布 1. 正态分布的定义正态分布的定义 如果连续型随机变量如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 )( 21)(222)( xexfx .,)0(,分布或高斯分布分布或高斯分布的正态的正态服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中 X ).,(2 NX记为记为得得令令特别地特别地1, 0, )( 21)(22 xexx 称称X服从标准正态分布服从标准正态分布.).1 , 0( NX记为记为2. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数 .d21)( ),(222)(2 xttexFXNX 的分布函数为的分布函数为则

57、则若若.d21)( ),1 , 0(22 xttexXNX 的分布函数为的分布函数为则则若若XN(,2) 密度函数为密度函数为 ， x e21xf 2x22（1 1） 图形关于图形关于x =对称。对称。 X单调减，单调减，（2 2）X=时有时有最大值最大值 M=M= 21（3 3）固定）固定,变小变小, 图形陡峭图形陡峭 变大变大, 图形平坦图形平坦.3. 正态分布的简单性质正态分布的简单性质 （4 4）固定）固定 ,增大图形往右平移，增大图形往右平移，减小图形往减小图形往 左平移左平移xf(x)0增大增大减小减小 x dxe21xF x2x22,)()(XN(,2） 其 分 布 函 数 图

58、形 为 和和 的图形如图所示。的图形如图所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa ( ),0,( )()xxxx显然，为偶函数 关于对称 即(5) ()1( );xx 证证dtexxt 2221)( dyexyyt 2221 令令-xdyexy 22211 ).(1x (x).)()(，可以查表求值xxXP 例如查表可得例如查表可得 ).( 101 ).(750 ).(101X750P0.8643226607734017501.).( 637702266086430750101.).().( )()(1221xxxXxP1)(2)()(xxxxXP)(1 2xxXP另外还有几

59、个重要公式：另外还有几个重要公式： 当当X N (0,1), );()( )6( xxF证证dtexFxt 222)(21)( dzexzzt 2221).( x可见可见则则若若),(2 NX)()(aFbFbXaP ).()( ab因此可用标准正态分布表计算一般正态分布事件的概率因此可用标准正态分布表计算一般正态分布事件的概率.);(1)( )7( xxf);1 , 0(,),( )8(2NYXYNX则则若若 210.(108,9)(108,3 ),exXNN设;6 .1171 .101)1( XP求求;9 . 0)2( aXPa使使求求.01. 0|)3( aaXPa使使求求解解)1 .1

60、01()6 .117(6 .1171 .101)1(FFXP )31081 .101()31086 .117( )3 . 2()2 . 3( .9886. 00107. 09993. 0 查查表表)()2(aFaXP , 9 . 0)3108( a,28. 13108 a查查表表得得.84.111 a02|)3( XPaXPaaXP)0()2(1FaF )3108()31082(1 a,01. 0)31082(1 a,99. 0)31082( a,33. 231082 a查表得查表得.495.57 a练习练习1:1:2 (2, ), (24)0.3, (0).XNPXP X若随机变量且求802